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完全平方公式
(1)语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的,加上(或减去)它们的.
(2)公式:$(a + b)^2 =$;$(a - b)^2 =$.
(1)语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的,加上(或减去)它们的.
(2)公式:$(a + b)^2 =$;$(a - b)^2 =$.
答案
(1)平方和；积的2倍；(2)$a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 - 2ab + b^2$
解析
(1)根据完全平方公式的语言叙述，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍。
(2)完全平方公式的表达式为：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
(2)完全平方公式的表达式为：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
【例1】计算$(2a + b)(a - 2b) - 2(a - b)^2$.
答案
解：
(2a + b)(a - 2b) - 2(a - b)²
= 2a·a + 2a·(-2b) + b·a + b·(-2b) - 2(a² - 2ab + b²)
= 2a² - 4ab + ab - 2b² - 2a² + 4ab - 2b²
= (2a² - 2a²) + (-4ab + ab + 4ab) + (-2b² - 2b²)
= ab - 4b²
ab - 4b²
(2a + b)(a - 2b) - 2(a - b)²
= 2a·a + 2a·(-2b) + b·a + b·(-2b) - 2(a² - 2ab + b²)
= 2a² - 4ab + ab - 2b² - 2a² + 4ab - 2b²
= (2a² - 2a²) + (-4ab + ab + 4ab) + (-2b² - 2b²)
= ab - 4b²
ab - 4b²
【变式1】计算:
(1)$(2a + b)^2$; (2)$(3x - 2y)^2$.
(1)$(2a + b)^2$; (2)$(3x - 2y)^2$.
答案
(1)$4a^2 + 4ab + b^2$；
(2)$9x^2 - 12xy + 4y^2$。
(2)$9x^2 - 12xy + 4y^2$。
解析
(1)
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，在$(2a + b)^2$中，$m = 2a$，$n = b$，则：
$(2a + b)^2=(2a)^2+2×2a× b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
(2)
根据完全平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，在$(3x - 2y)^2$中，$m = 3x$，$n = 2y$，则：
$(3x - 2y)^2=(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，在$(2a + b)^2$中，$m = 2a$，$n = b$，则：
$(2a + b)^2=(2a)^2+2×2a× b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
(2)
根据完全平方公式$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$，在$(3x - 2y)^2$中，$m = 3x$，$n = 2y$，则：
$(3x - 2y)^2=(3x)^2-2×3x×2y+(2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$
【例2】计算:
(1)$99.8^2$;
(2)$(50\frac{1}{2})^2$.
(1)$99.8^2$;
(2)$(50\frac{1}{2})^2$.
答案
(1)
$99.8^2$
$=(100 - 0.2)^2$
$=100^2 - 2× 100× 0.2 + 0.2^2$
$=10000 - 40 + 0.04$
$= 9960.04$
(2)
$(50\frac{1}{2})^2$
$=(50 + \frac{1}{2})^2$
$=50^2 + 2× 50× \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=2500 + 50 + \frac{1}{4}$
$=2550\frac{1}{4}$
$99.8^2$
$=(100 - 0.2)^2$
$=100^2 - 2× 100× 0.2 + 0.2^2$
$=10000 - 40 + 0.04$
$= 9960.04$
(2)
$(50\frac{1}{2})^2$
$=(50 + \frac{1}{2})^2$
$=50^2 + 2× 50× \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
$=2500 + 50 + \frac{1}{4}$
$=2550\frac{1}{4}$
【变式2】已知$a + b = 4,a^2 + b^2 = 10$,求$ab$的值.
答案
根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
已知$a + b = 4$，将其代入上述公式可得：
$4^2=a^2 + 2ab + b^2$，即$16=a^2 + 2ab + b^2$。
又已知$a^2 + b^2 = 10$，将其代入$16=a^2 + 2ab + b^2$可得：
$16 = 10+2ab$。
移项可得：
$2ab=16 - 10$，
$2ab = 6$。
两边同时除以$2$，解得：
$ab = 3$。
综上，$ab$的值为$3$。
已知$a + b = 4$，将其代入上述公式可得：
$4^2=a^2 + 2ab + b^2$，即$16=a^2 + 2ab + b^2$。
又已知$a^2 + b^2 = 10$，将其代入$16=a^2 + 2ab + b^2$可得：
$16 = 10+2ab$。
移项可得：
$2ab=16 - 10$，
$2ab = 6$。
两边同时除以$2$，解得：
$ab = 3$。
综上，$ab$的值为$3$。
1. 我们在学习许多代数公式时,可以用几何图形来推理验证.观察下列图形,可以推出公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的是().
答案
C
解析
图A可以表示$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
图B可以表示$(c+d)(a+b)$的展开；
图C中，大正方形边长为$a+b$，小正方形边长为$a - b$，
通过面积相等可得$(a+b)^2 - 4ab = (a - b)^2$，
即$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$；
图D可以表示$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$。
所以可以推出公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的是C。
图B可以表示$(c+d)(a+b)$的展开；
图C中，大正方形边长为$a+b$，小正方形边长为$a - b$，
通过面积相等可得$(a+b)^2 - 4ab = (a - b)^2$，
即$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$；
图D可以表示$(a+b)(a - b)=a^2 - b^2$。
所以可以推出公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$的是C。
2. 若$x^2 + ax + 16 = (x + 4)^2$,则$a$的值为().
A.-8
B.-4
C.8
D.4
A.-8
B.-4
C.8
D.4
答案
C
解析
将右边的完全平方公式展开，得$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$。
比较左右两边的系数，得$a = 8$。
比较左右两边的系数，得$a = 8$。
3. 运用完全平方公式计算:$(5x - 3y)^2 = 25x^2 +$$+ 9y^2$.
答案
$-30xy$
解析
根据完全平方公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将 $a = 5x$，$b = 3y$ 代入可得：
$(5x - 3y)^2=(5x)^2-2×5x×3y+(3y)^2 = 25x^2-30xy + 9y^2$。
$(5x - 3y)^2=(5x)^2-2×5x×3y+(3y)^2 = 25x^2-30xy + 9y^2$。
4. 计算:$(y - \frac{1}{2})^2 =$.
答案
$y^2 - y+\frac{1}{4}$
解析
根据完全平方公式$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将$a=y$，$b=\frac{1}{2}$代入公式可得：
$(y - \frac{1}{2})^2=y^2-2× y×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=y^2 - y+\frac{1}{4}$
$(y - \frac{1}{2})^2=y^2-2× y×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=y^2 - y+\frac{1}{4}$
