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1. 三角形的三边关系
三角形两边的和
2. 三角形的稳定性
三角形是具有
三角形两边的和
大于
第三边；三角形两边的差小于
第三边. 若$a$,$b$,$c$为三角形的三边长,则$\vert a - b\vert ＜ c ＜ a + b$.2. 三角形的稳定性
三角形是具有
稳定性
的图形.答案
1. 大于；小于 2. 稳定性
解析
1. 根据三角形三边关系定理，三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。2. 三角形具有稳定性这一特性。
【例1】 (2024·广元)下列长度的三条线段能组成三角形的是 (
A. $6\mathrm{cm}$,$8\mathrm{cm}$,$9\mathrm{cm}$
B. $4\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$,$10\mathrm{cm}$
C. $5\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$11\mathrm{cm}$
D. $3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$,$8\mathrm{cm}$
(1)根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形,只需看较小的两边之和是否大于第三边即可；
(2)已知三角形的两边确定第三边的取值范围时,一般利用三边关系构建不等式(组)求解,注意“两边之差”指的是长边与短边的差；
(3)在解决与等腰三角形的边有关的问题时,若腰或底边不确定,需分类讨论,防止出现漏解,同时也要注意三边长应满足三角形的三边关系.
A
)A. $6\mathrm{cm}$,$8\mathrm{cm}$,$9\mathrm{cm}$
B. $4\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$,$10\mathrm{cm}$
C. $5\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$11\mathrm{cm}$
D. $3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$,$8\mathrm{cm}$
(1)根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形,只需看较小的两边之和是否大于第三边即可；
(2)已知三角形的两边确定第三边的取值范围时,一般利用三边关系构建不等式(组)求解,注意“两边之差”指的是长边与短边的差；
(3)在解决与等腰三角形的边有关的问题时,若腰或底边不确定,需分类讨论,防止出现漏解,同时也要注意三边长应满足三角形的三边关系.
答案
A
解析
A选项：较小两边为6cm、8cm，6+8=14＞9，能组成三角形；B选项：较小两边为4cm、4cm，4+4=8＜10，不能组成三角形；C选项：较小两边为5cm、6cm，5+6=11，不大于第三边，不能组成三角形；D选项：较小两边为3cm、4cm，3+4=7＜8，不能组成三角形。
1. 下列各组的三条线段不能组成三角形的是 (
A.$2\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$
B.$2\mathrm{cm}$,$2\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$
C.$3\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$
D.$3\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$5\mathrm{cm}$
B
)A.$2\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$4\mathrm{cm}$
B.$2\mathrm{cm}$,$2\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$
C.$3\mathrm{cm}$,$6\mathrm{cm}$,$7\mathrm{cm}$
D.$3\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,$5\mathrm{cm}$
答案
B
解析
对于选项A，$2+3＞4$，$2+4＞3$，$3+4＞2$，满足三角形三边关系，能组成三角形。
对于选项B，$2 + 2=4＜6$，不满足三角形三边关系，不能组成三角形。
对于选项C，$3+6＞7$，$3+7＞6$，$6+7＞3$，满足三角形三边关系，能组成三角形。
对于选项D，$3+3＞5$，$3+5＞3$，$3+5＞3$，满足三角形三边关系，能组成三角形。
对于选项B，$2 + 2=4＜6$，不满足三角形三边关系，不能组成三角形。
对于选项C，$3+6＞7$，$3+7＞6$，$6+7＞3$，满足三角形三边关系，能组成三角形。
对于选项D，$3+3＞5$，$3+5＞3$，$3+5＞3$，满足三角形三边关系，能组成三角形。
2. 三角形的三边长分别为$5$,$1 + 2x$,$8$,若$x$为奇数,则此三角形的周长是
20或24
.答案
20或24
解析
根据三角形三边关系，得$8 - 5 ＜ 1 + 2x ＜ 8 + 5$，即$3 ＜ 1 + 2x ＜ 13$，解得$1 ＜ x ＜ 6$。因为$x$为奇数，所以$x = 3$或$5$。当$x = 3$时，三边长为$5$，$7$，$8$，周长为$5 + 7 + 8 = 20$；当$x = 5$时，三边长为$5$，$11$，$8$，周长为$5 + 11 + 8 = 24$。
3. (教材题变式)等腰三角形的一边长为$3$,一边长为$6$,则它的周长为
15
.答案
$15$
解析
分两种情况考虑：
当$3$为腰长时，三角形的三边分别为$3$，$3$，$6$。
由于$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以不能组成三角形。
当$3$为底边时，三角形的三边分别为$3$，$6$，$6$。
此时，$3 + 6 \gt 6$，$6 + 6 \gt 3$，满足三角形三边关系，所以能组成等腰三角形，其周长为$3 + 6 + 6 = 15$。
当$3$为腰长时，三角形的三边分别为$3$，$3$，$6$。
由于$3 + 3 = 6$，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以不能组成三角形。
当$3$为底边时，三角形的三边分别为$3$，$6$，$6$。
此时，$3 + 6 \gt 6$，$6 + 6 \gt 3$，满足三角形三边关系，所以能组成等腰三角形，其周长为$3 + 6 + 6 = 15$。
【例2】 同学们试着用数学的眼光观察世界,下列图形中,没有运用到三角形的稳定性的是 (
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
D
解析
三角形具有稳定性，即三角形的三边确定后，其形状和大小就不会改变。
选项A，自行车的车架是由多个三角形结构组成，利用了三角形的稳定性。
选项B，屋顶的架构是三角形结构，利用了三角形的稳定性。
选项C，三脚架的结构是三角形，利用了三角形的稳定性。
选项D，该图可伸缩的栅栏，在收缩或拉伸时四边形会改变形状，没有利用三角形的稳定性。
选项A，自行车的车架是由多个三角形结构组成，利用了三角形的稳定性。
选项B，屋顶的架构是三角形结构，利用了三角形的稳定性。
选项C，三脚架的结构是三角形，利用了三角形的稳定性。
选项D，该图可伸缩的栅栏，在收缩或拉伸时四边形会改变形状，没有利用三角形的稳定性。
4. 如图所示,一扇窗户打开后,用窗钩$AB$即可固定,这里所用的几何原理是 (
A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.三角形具有稳定性
D
)A.两点之间,线段最短
B.垂线段最短
C.两点确定一条直线
D.三角形具有稳定性
答案
D
解析
题目中窗户打开后用窗钩$AB$固定，形成了一个三角形结构。三角形具有稳定性，能够使窗户保持固定的打开状态，这是应用三角形稳定性的典型例子。
5. (2024·泸州中考)下列图形具有稳定性的是 (
A.
B.
C.
D.
D
)A.
B.
C.
D.
答案
D
解析
三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性。选项A是由多个四边形组成，不稳定；选项B是由一个三角形和一个四边形组成，四边形部分不稳定；选项C是梯形，属于四边形，不稳定；选项D是由两个三角形组成，具有稳定性。
