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6. 如图所示,这是一个五边形的木框.
(1)它的形状具有稳定性吗？
(2)现准备在五边形的顶点处添加木条,使其成为稳定的木框,则木条最少需要添加多少根？请说明理由.
(1)它的形状具有稳定性吗？
(2)现准备在五边形的顶点处添加木条,使其成为稳定的木框,则木条最少需要添加多少根？请说明理由.
答案
(1) 不具有稳定性。因为三角形具有稳定性，而五边形不是三角形，所以不具有稳定性。
(2) 最少需要添加2根木条。理由：根据三角形具有稳定性，从五边形的一个顶点出发，可向不相邻的两个顶点连接木条，将五边形分成三个三角形，所以最少添加2根木条可使其成为稳定的木框。
(2) 最少需要添加2根木条。理由：根据三角形具有稳定性，从五边形的一个顶点出发，可向不相邻的两个顶点连接木条，将五边形分成三个三角形，所以最少添加2根木条可使其成为稳定的木框。
1. (2025·合肥)用一根小木棒与两根长度分别为$3\mathrm{cm}$,$5\mathrm{cm}$的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是 (
A.$9\mathrm{cm}$
B.$7\mathrm{cm}$
C.$2\mathrm{cm}$
D.$1\mathrm{cm}$
B
)A.$9\mathrm{cm}$
B.$7\mathrm{cm}$
C.$2\mathrm{cm}$
D.$1\mathrm{cm}$
答案
B
解析
设小木棒的长度为$x\mathrm{cm}$，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，
化简得：
$2 ＜ x ＜ 8$。
在选项中，只有$7\mathrm{cm}$满足这个条件。
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，
化简得：
$2 ＜ x ＜ 8$。
在选项中，只有$7\mathrm{cm}$满足这个条件。
2. (2024·广安)李师傅做了一个三角形的工件,其中两条边长分别为$30\mathrm{cm}和80\mathrm{cm}$,则第三边的长度可能是 (
A.$30\mathrm{cm}$
B.$50\mathrm{cm}$
C.$60\mathrm{cm}$
D.$120\mathrm{cm}$
C
)A.$30\mathrm{cm}$
B.$50\mathrm{cm}$
C.$60\mathrm{cm}$
D.$120\mathrm{cm}$
答案
C
解析
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，设第三边为 $x$，则：
$80 - 30 \lt x \lt 80 + 30$，
即：
$50 \lt x \lt 110$，
检查选项：
A. $30\mathrm{cm}$ 不满足 $50 \lt x \lt 110$，
B. $50\mathrm{cm}$ 不满足 $50 \lt x \lt 110$，
C. $60\mathrm{cm}$ 满足 $50 \lt x \lt 110$，
D. $120\mathrm{cm}$ 不满足 $50 \lt x \lt 110$，
因此，只有 $60\mathrm{cm}$ 满足条件。
$80 - 30 \lt x \lt 80 + 30$，
即：
$50 \lt x \lt 110$，
检查选项：
A. $30\mathrm{cm}$ 不满足 $50 \lt x \lt 110$，
B. $50\mathrm{cm}$ 不满足 $50 \lt x \lt 110$，
C. $60\mathrm{cm}$ 满足 $50 \lt x \lt 110$，
D. $120\mathrm{cm}$ 不满足 $50 \lt x \lt 110$，
因此，只有 $60\mathrm{cm}$ 满足条件。
3. (2025·珠海)2024珠海风筝节于10月19日在海天公园沙滩举办. 如图所示,敏敏自制了一个风筝去参加风筝节,为了使风筝更稳定地在空中飞行,她所设计的风筝骨架结构为三角形,这种设计的原理是 (
A.三角形具有稳定性
B.两点之间,线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
A
)A.三角形具有稳定性
B.两点之间,线段最短
C.两点确定一条直线
D.垂线段最短
答案
A
解析
三角形具有稳定性，在设计风筝骨架时采用三角形结构，可以使风筝更稳定地在空中飞行，这是利用了三角形的稳定性这一特性。而选项B“两点之间，线段最短”通常用于求解最短路径问题；选项C“两点确定一条直线”常用于确定几何图形的位置关系；选项D“垂线段最短”主要用于求解点到直线的距离等问题，均不符合本题情境。
4. 下列图形中不具有稳定性的是 (
A.
B.
C.
D.
B
)A.
B.
C.
D.
答案
B
解析
三角形具有稳定性，多边形（三角形除外）不具有稳定性。
选项A、C、D中的图形可以分割成三角形，具有稳定性；
选项B是梯形，不具有稳定性。
选项A、C、D中的图形可以分割成三角形，具有稳定性；
选项B是梯形，不具有稳定性。
5. 如图所示,工人师傅做了一个长方形窗框$ABCD$,$E$,$F$,$G$,$H$分别是四条边上的中点,为了使它稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在 (
A.$A$,$C$两点之间
B.$G$,$H$两点之间
C.$B$,$F$两点之间
D.$E$,$G$两点之间
B
)A.$A$,$C$两点之间
B.$G$,$H$两点之间
C.$B$,$F$两点之间
D.$E$,$G$两点之间
答案
B
解析
三角形具有稳定性，钉木条需构成三角形。A选项AC两点间木条将长方形分成两个三角形；B选项GH两点间木条在AB边上，不构成三角形；C选项BF两点间木条可与BC、CF构成三角形；D选项EG两点间木条可与相关边构成三角形。故不应钉在GH两点之间。
6. 已知$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,则$\vert a + b - c\vert - \vert a - b - c\vert =$
$2a - 2c$
.答案
$2a - 2c$
解析
答题卡：
根据三角形三边关系，在$\triangle ABC$中，$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$。
由$a + b ＞ c$可得$a + b - c＞0$；
由$b + c ＞ a$可得$a-(b + c)＜0$，即$a - b - c＜0$。
根据绝对值的性质：当$x＞0$时，$\vert x\vert=x$；当$x＜0$时，$\vert x\vert=-x$。
因为$a + b - c＞0$，所以$\vert a + b - c\vert=a + b - c$；
因为$a - b - c＜0$，所以$\vert a - b - c\vert=-(a - b - c)=-a + b + c$。
则$\vert a + b - c\vert - \vert a - b - c\vert=(a + b - c)-(-a + b + c)$
$=a + b - c + a - b - c$
$=2a-2c$
根据三角形三边关系，在$\triangle ABC$中，$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$。
由$a + b ＞ c$可得$a + b - c＞0$；
由$b + c ＞ a$可得$a-(b + c)＜0$，即$a - b - c＜0$。
根据绝对值的性质：当$x＞0$时，$\vert x\vert=x$；当$x＜0$时，$\vert x\vert=-x$。
因为$a + b - c＞0$，所以$\vert a + b - c\vert=a + b - c$；
因为$a - b - c＜0$，所以$\vert a - b - c\vert=-(a - b - c)=-a + b + c$。
则$\vert a + b - c\vert - \vert a - b - c\vert=(a + b - c)-(-a + b + c)$
$=a + b - c + a - b - c$
$=2a-2c$
7. 若$(a - 3)^2 + \sqrt{b - 5} = 0$,则以$a$,$b$为边长的等腰三角形的周长为
11或13
.答案
$11$或$13$
解析
由$(a - 3)^2 + \sqrt{b - 5} = 0$，因为$(a - 3)^2\geq0$，$\sqrt{b - 5}\geq0$，要使两数之和为$0$，则：
$\begin{cases}a - 3 = 0\\b - 5 = 0\end{cases}$
解得$a = 3$，$b = 5$。
当腰长为$3$时，三边分别为$3$，$3$，$5$，因为$3 + 3＞5$，$3 + 5＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 3 + 5 = 11$。
当腰长为$5$时，三边分别为$5$，$5$，$3$，因为$5 + 5＞3$，$5 + 3＞5$，满足三角形三边关系，此时周长为$5 + 5 + 3 = 13$。
$\begin{cases}a - 3 = 0\\b - 5 = 0\end{cases}$
解得$a = 3$，$b = 5$。
当腰长为$3$时，三边分别为$3$，$3$，$5$，因为$3 + 3＞5$，$3 + 5＞3$，满足三角形三边关系，此时周长为$3 + 3 + 5 = 11$。
当腰长为$5$时，三边分别为$5$，$5$，$3$，因为$5 + 5＞3$，$5 + 3＞5$，满足三角形三边关系，此时周长为$5 + 5 + 3 = 13$。
8. (2024·蜀山)已知三角形的三条边长分别为$3$,$5和x$.
(1)若$3$是该三角形的最短边长,求$x$的取值范围；
(2)三角形周长$y$的取值范围是
(3)若$x是小于7$的奇数,试判断该三角形的形状(按边的相等关系分类).
(1)若$3$是该三角形的最短边长,求$x$的取值范围；
(2)三角形周长$y$的取值范围是
$10 ＜ y ＜ 16$
；(3)若$x是小于7$的奇数,试判断该三角形的形状(按边的相等关系分类).
(1)$3 \leq x ＜ 8$；(3)等腰三角形。
答案
(1)$3 \leq x ＜ 8$；(2)$10 ＜ y ＜ 16$；(3)等腰三角形。
解析
(1) 由三角形三边关系得：$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
∵3是最短边，∴$x \geq 3$，
综上，$3 \leq x ＜ 8$。
(2) 周长$y = 3 + 5 + x = 8 + x$，
∵$2 ＜ x ＜ 8$，∴$8 + 2 ＜ y ＜ 8 + 8$，即$10 ＜ y ＜ 16$。
(3) ∵x是小于7的奇数，且$2 ＜ x ＜ 8$，
∴x的可能值为3，5。
当$x = 3$时，三边为3，3，5，是等腰三角形；
当$x = 5$时，三边为3，5，5，是等腰三角形。
综上，该三角形是等腰三角形。
∵3是最短边，∴$x \geq 3$，
综上，$3 \leq x ＜ 8$。
(2) 周长$y = 3 + 5 + x = 8 + x$，
∵$2 ＜ x ＜ 8$，∴$8 + 2 ＜ y ＜ 8 + 8$，即$10 ＜ y ＜ 16$。
(3) ∵x是小于7的奇数，且$2 ＜ x ＜ 8$，
∴x的可能值为3，5。
当$x = 3$时，三边为3，3，5，是等腰三角形；
当$x = 5$时，三边为3，5，5，是等腰三角形。
综上，该三角形是等腰三角形。
