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9. 将一根长为$17\mathrm{cm}$的铁丝折成三段,再首尾相接围成一个三角形,如果要求围成的三角形边长都是整数,那么满足条件的三角形有 (
A.$6$个
B.$7$个
C.$8$个
D.$9$个
C
)A.$6$个
B.$7$个
C.$8$个
D.$9$个
答案
C
解析
设三角形三边长为$a \leq b \leq c$，则$a + b + c = 17$，且$a + b ＞ c$。由$a + b = 17 - c$得$17 - c ＞ c$，即$c ＜ 8.5$，又$c \geq \frac{17}{3} \approx 5.67$，故$c = 6,7,8$。
$c = 6$时，$a + b = 11$，$b \leq 6$，则$a = 11 - b \geq 5$，$b \geq 6$，得$(5,6,6)$；
$c = 7$时，$a + b = 10$，$b \leq 7$，$b \geq 5$，得$(5,5,7),(4,6,7),(3,7,7)$；
$c = 8$时，$a + b = 9$，$b \leq 8$，$b \geq 5$，得$(4,5,8),(3,6,8),(2,7,8),(1,8,8)$。
共$1 + 3 + 4 = 8$个。
$c = 6$时，$a + b = 11$，$b \leq 6$，则$a = 11 - b \geq 5$，$b \geq 6$，得$(5,6,6)$；
$c = 7$时，$a + b = 10$，$b \leq 7$，$b \geq 5$，得$(5,5,7),(4,6,7),(3,7,7)$；
$c = 8$时，$a + b = 9$，$b \leq 8$，$b \geq 5$，得$(4,5,8),(3,6,8),(2,7,8),(1,8,8)$。
共$1 + 3 + 4 = 8$个。
10. (2025·湛江)已知三角形的三边长为$2$,$a - 4$,$4$,化简$\vert a - 3\vert + \vert a - 11\vert$的结果是
8
.答案
答题卡：
根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形的三边长为$2$，$a - 4$，$4$，则：
$4 - 2 \lt a - 4 \lt 4 + 2$，
即$2 \lt a - 4 \lt 6$，
解得$6 \lt a \lt 10$。
当$6 \lt a \lt 10$时，$a - 3\gt 0$，$a - 11\lt 0$，
所以$\vert a - 3\vert + \vert a - 11\vert = a - 3 + 11 - a = 8$。
故答案为：$8$。
根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形的三边长为$2$，$a - 4$，$4$，则：
$4 - 2 \lt a - 4 \lt 4 + 2$，
即$2 \lt a - 4 \lt 6$，
解得$6 \lt a \lt 10$。
当$6 \lt a \lt 10$时，$a - 3\gt 0$，$a - 11\lt 0$，
所以$\vert a - 3\vert + \vert a - 11\vert = a - 3 + 11 - a = 8$。
故答案为：$8$。
11. 如图所示,六边形钢架$ABCDEF由6$条钢管连接而成. 为使这一钢架稳固,请你用$3$条钢管固定,设计两种不同的方案.
图(1)
图(2)
图(1)
图(2)
答案
方案一（图1）
连接AD、BE、CF，将六边形分割为6个三角形。
方案二（图2）
连接AC、CE、EA，将六边形分割为4个三角形。
（注：答案不唯一，合理即可，如连接BD、DF、FB等）
连接AD、BE、CF，将六边形分割为6个三角形。
方案二（图2）
连接AC、CE、EA，将六边形分割为4个三角形。
（注：答案不唯一，合理即可，如连接BD、DF、FB等）
12. 用一条长为$20\mathrm{cm}$的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的$2$倍,那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边的长是$5\mathrm{cm}$的等腰三角形吗？为什么？
(1)如果腰长是底边长的$2$倍,那么各边的长分别是多少？
(2)能围成有一边的长是$5\mathrm{cm}$的等腰三角形吗？为什么？
答案
(1)设底边长为$x\,cm$，则腰长为$2x\,cm$。
由周长为$20\,cm$，得$x + 2x + 2x=20$，解得$x = 4$。
腰长为$2x=8\,cm$。
验证三边关系：$8 + 8＞4$，$8 + 4＞8$，满足三角形三边关系。
故各边长分别为$4\,cm$，$8\,cm$，$8\,cm$。
(2)分两种情况讨论：
情况1：若$5\,cm$为底边长，则腰长为$\frac{20 - 5}{2}=7.5\,cm$。
此时三边长为$5\,cm$，$7.5\,cm$，$7.5\,cm$。
验证三边关系：$7.5 + 7.5＞5$，$7.5 + 5＞7.5$，满足三角形三边关系。
情况2：若$5\,cm$为腰长，则底边长为$20 - 5×2 = 10\,cm$。
此时三边长为$5\,cm$，$5\,cm$，$10\,cm$。
验证三边关系：$5 + 5=10$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
综上，能围成，此时三边长为$5\,cm$，$7.5\,cm$，$7.5\,cm$。
由周长为$20\,cm$，得$x + 2x + 2x=20$，解得$x = 4$。
腰长为$2x=8\,cm$。
验证三边关系：$8 + 8＞4$，$8 + 4＞8$，满足三角形三边关系。
故各边长分别为$4\,cm$，$8\,cm$，$8\,cm$。
(2)分两种情况讨论：
情况1：若$5\,cm$为底边长，则腰长为$\frac{20 - 5}{2}=7.5\,cm$。
此时三边长为$5\,cm$，$7.5\,cm$，$7.5\,cm$。
验证三边关系：$7.5 + 7.5＞5$，$7.5 + 5＞7.5$，满足三角形三边关系。
情况2：若$5\,cm$为腰长，则底边长为$20 - 5×2 = 10\,cm$。
此时三边长为$5\,cm$，$5\,cm$，$10\,cm$。
验证三边关系：$5 + 5=10$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去。
综上，能围成，此时三边长为$5\,cm$，$7.5\,cm$，$7.5\,cm$。
13. 如图所示,有一个四边形木框$ABCD$,为了使它保持稳定的形状,需在$AC或BD$上钉上一根木条,现量得$BC = 8\mathrm{cm}$,$CD = 6\mathrm{cm}$,$AB = 4\mathrm{cm}$,$AD = 5\mathrm{cm}$,一根$3\mathrm{cm}$长的木条能否满足要求？请说明理由.
答案
要使四边形木框$ABCD$保持稳定，需在$AC$或$BD$上钉一根木条，即判断$AC$或$BD$中是否存在长度为$3\mathrm{cm}$的可能。
在$\triangle ACD$中，根据三角形三边关系：
$CD - AD \lt AC \lt CD + AD$，
$6 - 5 \lt AC \lt 6 + 5$，
$1 \lt AC \lt 11$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系：
$BC - AB \lt AC \lt BC + AB$，
$8 - 4 \lt AC \lt 8 + 4$，
$4 \lt AC \lt 12$。
综合两个不等式，$AC$的取值范围是$4 \lt AC \lt 11$，$3\mathrm{cm}$不在此范围内。
在$\triangle ABD$中，根据三角形三边关系：
$AB - AD \lt BD \lt AB + AD$，
$4 - 5 \lt BD \lt 4 + 5$，
$-1 \lt BD \lt 9$（距离不能为负，即$0 \lt BD \lt 9$）。
在$\triangle BCD$中，根据三角形三边关系：
$BC - CD \lt BD \lt BC + CD$，
$8 - 6 \lt BD \lt 8 + 6$，
$2 \lt BD \lt 14$。
综合两个不等式，$BD$的取值范围是$2 \lt BD \lt 9$，$3\mathrm{cm}$在此范围内。
所以，一根$3\mathrm{cm}$长的木条能满足要求，可钉在$BD$上。
在$\triangle ACD$中，根据三角形三边关系：
$CD - AD \lt AC \lt CD + AD$，
$6 - 5 \lt AC \lt 6 + 5$，
$1 \lt AC \lt 11$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形三边关系：
$BC - AB \lt AC \lt BC + AB$，
$8 - 4 \lt AC \lt 8 + 4$，
$4 \lt AC \lt 12$。
综合两个不等式，$AC$的取值范围是$4 \lt AC \lt 11$，$3\mathrm{cm}$不在此范围内。
在$\triangle ABD$中，根据三角形三边关系：
$AB - AD \lt BD \lt AB + AD$，
$4 - 5 \lt BD \lt 4 + 5$，
$-1 \lt BD \lt 9$（距离不能为负，即$0 \lt BD \lt 9$）。
在$\triangle BCD$中，根据三角形三边关系：
$BC - CD \lt BD \lt BC + CD$，
$8 - 6 \lt BD \lt 8 + 6$，
$2 \lt BD \lt 14$。
综合两个不等式，$BD$的取值范围是$2 \lt BD \lt 9$，$3\mathrm{cm}$在此范围内。
所以，一根$3\mathrm{cm}$长的木条能满足要求，可钉在$BD$上。
