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9. 已知分式$\frac{x + 3}{x}$的值为整数,则满足条件的整数$x$的值有
4
个。答案
$4$
解析
要使分式$\frac{x + 3}{x}=1+\frac{3}{x}$的值为整数，则$\frac{3}{x}$必须为整数。
因为$x$为整数，所以$x$是$3$的因数。
$3$的因数有$\pm1$，$\pm3$。
当$x = \pm1$时，分式$\frac{x + 3}{x}$有意义；当$x=\pm3$时，分式$\frac{x + 3}{x}$也有意义。
所以满足条件的整数$x$的值为$\pm1$，$\pm3$，共$4$个。
因为$x$为整数，所以$x$是$3$的因数。
$3$的因数有$\pm1$，$\pm3$。
当$x = \pm1$时，分式$\frac{x + 3}{x}$有意义；当$x=\pm3$时，分式$\frac{x + 3}{x}$也有意义。
所以满足条件的整数$x$的值为$\pm1$，$\pm3$，共$4$个。
10. 计算：
(1)$\frac{2x^{2}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}$；
(2)$\frac{a - 3b}{a - b} - \frac{a + b}{b - a}$；
(3)$\frac{24}{x^{2} - 16} + \frac{3}{4 - x}$；
(4)$\frac{a^{2}}{a - 2} - a - 2$。
(1)$\frac{2x^{2}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}$；
(2)$\frac{a - 3b}{a - b} - \frac{a + b}{b - a}$；
(3)$\frac{24}{x^{2} - 16} + \frac{3}{4 - x}$；
(4)$\frac{a^{2}}{a - 2} - a - 2$。
答案
(1)
$\;\;\;\;\frac{2x^{2}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}$
$=\frac{2x^{2}-2}{x + 1}$
$=\frac{2(x^{2}-1)}{x + 1}$
$=\frac{2(x + 1)(x - 1)}{x + 1}$
$=2(x - 1)$
$=2x - 2$
(2)
$\;\;\;\;\frac{a - 3b}{a - b} - \frac{a + b}{b - a}$
$=\frac{a - 3b}{a - b}+\frac{a + b}{a - b}$
$=\frac{a - 3b+a + b}{a - b}$
$=\frac{2a - 2b}{a - b}$
$=\frac{2(a - b)}{a - b}$
$=2$
(3)
$\;\;\;\;\frac{24}{x^{2} - 16} + \frac{3}{4 - x}$
$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3}{x - 4}$
$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{24 - 3x - 12}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{12 - 3x}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{-3(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=-\frac{3}{x + 4}$
(4)
$\;\;\;\;\frac{a^{2}}{a - 2} - a - 2$
$=\frac{a^{2}}{a - 2}-(a + 2)$
$=\frac{a^{2}}{a - 2}-\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-(a^{2}-4)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-a^{2}+4}{a - 2}$
$=\frac{4}{a - 2}$
$\;\;\;\;\frac{2x^{2}}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}$
$=\frac{2x^{2}-2}{x + 1}$
$=\frac{2(x^{2}-1)}{x + 1}$
$=\frac{2(x + 1)(x - 1)}{x + 1}$
$=2(x - 1)$
$=2x - 2$
(2)
$\;\;\;\;\frac{a - 3b}{a - b} - \frac{a + b}{b - a}$
$=\frac{a - 3b}{a - b}+\frac{a + b}{a - b}$
$=\frac{a - 3b+a + b}{a - b}$
$=\frac{2a - 2b}{a - b}$
$=\frac{2(a - b)}{a - b}$
$=2$
(3)
$\;\;\;\;\frac{24}{x^{2} - 16} + \frac{3}{4 - x}$
$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3}{x - 4}$
$=\frac{24}{(x + 4)(x - 4)}-\frac{3(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{24 - 3x - 12}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{12 - 3x}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{-3(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=-\frac{3}{x + 4}$
(4)
$\;\;\;\;\frac{a^{2}}{a - 2} - a - 2$
$=\frac{a^{2}}{a - 2}-(a + 2)$
$=\frac{a^{2}}{a - 2}-\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-(a^{2}-4)}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-a^{2}+4}{a - 2}$
$=\frac{4}{a - 2}$
11. 先化简$\left(a + 1 - \frac{3}{a - 1}\right) ÷ \frac{a^{2} + 4a + 4}{a - 1}$,再从$- 2$,$0$,$1$,$2$中选取一个适合的数代入求值。
答案
原式$= \left( \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1} - \frac{3}{a - 1} \right) ÷ \frac{(a + 2)^{2}}{a - 1}$
$= \frac{a^{2} - 1 - 3}{a - 1} ÷ \frac{(a + 2)^{2}}{a - 1}$
$= \frac{a^{2} - 4}{a - 1} ÷ \frac{(a + 2)^{2}}{a - 1}$
$= \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{(a + 2)^{2}}$
$= \frac{a - 2}{a + 2}$
因为分母不能为$0$，所以$a - 1 \neq 0$，$a + 2 \neq 0$，即$a \neq 1$且$a \neq -2$。
从给定的数中选择一个代入，$a$可以取$0$，$2$，
当$a = 0$时，原式$= \frac{0 - 2}{0 + 2} = -1$；
当$a = 2$时，原式$= \frac{2 - 2}{2 + 2} = 0$。
$= \frac{a^{2} - 1 - 3}{a - 1} ÷ \frac{(a + 2)^{2}}{a - 1}$
$= \frac{a^{2} - 4}{a - 1} ÷ \frac{(a + 2)^{2}}{a - 1}$
$= \frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 1} \cdot \frac{a - 1}{(a + 2)^{2}}$
$= \frac{a - 2}{a + 2}$
因为分母不能为$0$，所以$a - 1 \neq 0$，$a + 2 \neq 0$，即$a \neq 1$且$a \neq -2$。
从给定的数中选择一个代入，$a$可以取$0$，$2$，
当$a = 0$时，原式$= \frac{0 - 2}{0 + 2} = -1$；
当$a = 2$时，原式$= \frac{2 - 2}{2 + 2} = 0$。
12. 已知$a - b - 1 = 0$,求代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^{2} - 2ab + b^{2}}$的值。
答案
3
解析
解：
由 $a - b - 1 = 0$，得 $a - b = 1$。
化简代数式：
$\begin{aligned}\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}&=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}\\&=\frac{3}{a - b}\end{aligned}$
将 $a - b = 1$ 代入，得：
$\frac{3}{1} = 3$
由 $a - b - 1 = 0$，得 $a - b = 1$。
化简代数式：
$\begin{aligned}\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}&=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}\\&=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}\\&=\frac{3}{a - b}\end{aligned}$
将 $a - b = 1$ 代入，得：
$\frac{3}{1} = 3$
