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1. 计算$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$,结果等于( )
A.$-1$
B.$x - 1$
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{1}{x^{2} - 1}$
A.$-1$
B.$x - 1$
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{1}{x^{2} - 1}$
答案
C
解析
原式：$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1}$，
因为$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，
所以$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$，
$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2}{(x - 1)(x + 1)}$，
进行减法运算：
$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x + 1 - 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$，
因为$x \neq 1$，所以可以约去分子和分母的$x - 1$，
得到：$\frac{1}{x + 1}$。
因为$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，
所以$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$，
$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2}{(x - 1)(x + 1)}$，
进行减法运算：
$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x + 1 - 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$，
因为$x \neq 1$，所以可以约去分子和分母的$x - 1$，
得到：$\frac{1}{x + 1}$。
2. 化简$\frac{4}{x + 2} + x - 2$,结果是(
A.$1$
B.$\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$
C.$\frac{x}{x + 2}$
D.$\frac{x^{2}}{x + 2}$
D
)A.$1$
B.$\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$
C.$\frac{x}{x + 2}$
D.$\frac{x^{2}}{x + 2}$
答案
D
解析
$\begin{aligned}\frac{4}{x + 2} + x - 2&=\frac{4}{x + 2} + \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}\\&=\frac{4 + x^2 - 4}{x + 2}\\&=\frac{x^2}{x + 2}\end{aligned}$
3. 已知$A$为整式,若计算$\frac{A}{xy + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + xy}的结果为\frac{x - y}{xy}$,则$A = $( )
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
答案
A
解析
$\frac{A}{xy + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + xy} = \frac{x - y}{xy}$
分母因式分解：$xy + y^2 = y(x + y)$，$x^2 + xy = x(x + y)$
通分，最简公分母为$xy(x + y)$：
$\frac{A \cdot x}{xy(x + y)} - \frac{y \cdot y}{xy(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$
分子整理：$\frac{Ax - y^2}{xy(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$
两边同乘$xy(x + y)$：$Ax - y^2 = (x - y)(x + y)$
右侧展开：$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
移项：$Ax = x^2 - y^2 + y^2 = x^2$
解得：$A = x$
4. 设$p = \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1}$,$q = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$,则$p$,$q$的关系是(
A.$p = q$
B.$p ＞ q$
C.$p + q = 0$
D.$p ＜ q$
C
)A.$p = q$
B.$p ＞ q$
C.$p + q = 0$
D.$p ＜ q$
答案
C
解析
首先，根据题目给出$p$和$q$的表达式：
$p = \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1}$，
$q = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$，
为了找出$p$和$q$的关系可以先计算$p + q$的值：
$p + q= \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$
$= \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{b + 1}{b + 1}$
$= 1 - 1$
$= 0$
由此，得出$p + q = 0$，即$p$和$q$互为相反数。
$p = \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1}$，
$q = \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$，
为了找出$p$和$q$的关系可以先计算$p + q$的值：
$p + q= \frac{a}{a + 1} - \frac{b}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} - \frac{1}{b + 1}$
$= \frac{a + 1}{a + 1} - \frac{b + 1}{b + 1}$
$= 1 - 1$
$= 0$
由此，得出$p + q = 0$，即$p$和$q$互为相反数。
5. 计算$\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x}$,结果是
x
。答案
x
解析
$\frac{x^{2}}{x - 1} + \frac{x}{1 - x} = \frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{x^{2} - x}{x - 1} = \frac{x(x - 1)}{x - 1} = x$
6. 若$x + y = 2$,$xy = - 2$,则$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = $
-4
。答案
-4
解析
$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y^2 + x^2}{xy} = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{xy}$，将$x + y = 2$，$xy = -2$代入，得$\frac{2^2 - 2×(-2)}{-2} = \frac{4 + 4}{-2} = -4$
7. 对于任意的$x值都有\frac{2x + 7}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{M}{x + 2} + \frac{N}{x - 1}$,则$M$,$N$的值为(
A.$M = 1$,$N = 3$
B.$M = - 1$,$N = 3$
C.$M = 2$,$N = 4$
D.$M = 1$,$N = 4$
B
)A.$M = 1$,$N = 3$
B.$M = - 1$,$N = 3$
C.$M = 2$,$N = 4$
D.$M = 1$,$N = 4$
答案
B
解析
将等式右边通分，得$\frac{M(x - 1) + N(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)}$。因为等式左右两边分母相同，所以分子相等，即$2x + 7 = M(x - 1) + N(x + 2)$。展开右边得$Mx - M + Nx + 2N = (M + N)x + (-M + 2N)$。根据对应项系数相等，可得方程组$\begin{cases}M + N = 2\\-M + 2N = 7\end{cases}$，解得$M = -1$，$N = 3$。
8. 已知$b ＞ a ＞ 0$,则分式$\frac{a}{b}与\frac{a + 1}{b + 1}$的大小关系是(
A.$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + 1}{b + 1}$
B.$\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 1}$
C.$\frac{a}{b} ＞ \frac{a + 1}{b + 1}$
D.不能确定
A
)A.$\frac{a}{b} ＜ \frac{a + 1}{b + 1}$
B.$\frac{a}{b} = \frac{a + 1}{b + 1}$
C.$\frac{a}{b} ＞ \frac{a + 1}{b + 1}$
D.不能确定
答案
A
解析
将$\frac{a}{b}$与$\frac{a + 1}{b + 1}$进行作差比较，
$\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a(b + 1) - b(a + 1)}{b(b + 1)} = \frac{ab + a - ab - b}{b(b + 1)} = \frac{a - b}{b(b + 1)}$，
由于$b ＞ a ＞ 0$，所以$a - b \lt 0$，且$b(b + 1) \gt 0$，
因此，$\frac{a - b}{b(b + 1)} \lt 0$，
即$\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} \lt 0$，
所以，$\frac{a}{b} \lt \frac{a + 1}{b + 1}$。
$\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a(b + 1) - b(a + 1)}{b(b + 1)} = \frac{ab + a - ab - b}{b(b + 1)} = \frac{a - b}{b(b + 1)}$，
由于$b ＞ a ＞ 0$，所以$a - b \lt 0$，且$b(b + 1) \gt 0$，
因此，$\frac{a - b}{b(b + 1)} \lt 0$，
即$\frac{a}{b} - \frac{a + 1}{b + 1} \lt 0$，
所以，$\frac{a}{b} \lt \frac{a + 1}{b + 1}$。
