5. 如图，P是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的一点，$PN ⊥ x$轴于点N，$PM ⊥ y$轴于点M，矩形OMPN的面积为2，且$ON=1$，一次函数$y=x+b$的图象经过点P。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式。
(2)设直线$y=x+b$与x轴的交点为A，点Q在y轴上，当$△ QOA$的面积为矩形OMPN面积的$\frac{1}{4}$时，求点Q的坐标。

解：(1)$\because PN⊥x$ 轴，$PM⊥y$ 轴，矩形 $OMPN$ 的面积为 2，$ON=1$，
$\therefore PM=ON=1$，$PN=OM=2$。
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(1, 2)$。
$\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 和一次函数 $y=x+b$ 都经过点 $P$，
$\therefore$ 将点 $P$ 的坐标分别代入，得 $2=\frac{k}{1}$，$2=1+b$。
解得 $k=2$，$b=1$。
$\therefore$ 反比例函数和一次函数的表达式分别为 $y=\frac{2}{x}$ 和 $y=x+1$。
(2) 将 $y=0$ 代入 $y=x+1$，
得 $x=-1$。
$\therefore$ 直线 $y=x+1$ 与 $x$ 轴的交点 $A$ 的坐标为$(-1, 0)$。
$\therefore OA=1$。
$\because S_{△ QOA}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{矩形}OMPN}$，$S_{\mathrm{矩形}OMPN}=2$，
$\therefore S_{△ QOA}=\frac{1}{2}$。
$\because$ 点 $Q$ 在 $y$ 轴上，
$\therefore OQ⊥OA$。
$\therefore S_{△ QOA}=\frac{1}{2}OA · OQ=\frac{1}{2}$。
又 $\because OA=1$，
$\therefore OQ=1$，即点 $Q$ 到 $x$ 轴的距离为 1。
$\therefore$ 在 $y$ 轴的正半轴和负半轴各有一个满足要求的点 $Q$。
$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为$(0, 1)$或$(0, -1)$。

6. 如图，一次函数 $ y = kx + b $ 与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象相交于 $ A(2, 4) $，$ B(-4, n) $ 两点，与 $ x $ 轴相交于点 $ C $。
(1) 求 $ m $，$ n $ 的值。
(2) 写出不等式 $ kx + b ＜ \frac{m}{x} $ 的解集。
(3) 将 $ x $ 轴下方的图象沿 $ x $ 轴翻折，使点 $ B $ 落在点 $ B' $ 处，连接 $ AB' $，$ B'C $，求 $ △ AB'C $ 的面积。

6. 解：(1)把点 $A(2, 4)$ 代入 $y=\frac{m}{x}$，
得 $m=8$。
把 $B(-4, n)$ 代入 $y=\frac{8}{x}$，得 $n=-2$。
$\therefore m=8$，$n=-2$。
(2) 由图象可知，不等式 $kx + b ＜ \frac{m}{x}$ 的解集为 $x＜-4$ 或 $0＜x＜2$。
(3) 如图，设一次函数 $y=kx + b$ 与 $y$ 轴的交点为 $D$。

把点 $A(2, 4)$，$B(-4, -2)$ 分别代入 $y=kx + b$，得 $\begin{cases}2k + b = 4,\\-4k + b = -2.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k=1,\\b=2.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=x+2$。
$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为$(0, 2)$，点 $C$ 的坐标为$(-2, 0)$。
$\therefore OC=OD=2$。
$\therefore ∠ DCO=45°$。
$\because$ 点 $B$ 与点 $B'$ 关于 $x$ 轴对称，点 $B$ 的坐标为$(-4, -2)$，
$\therefore$ 点 $B'$ 的坐标为$(-4, 2)$，$BC=B'C$，$∠ 1=∠ 2=∠ DCO=45°$。
$\therefore ∠ DCB'=180°-∠ 1-∠ DCO=90°$。
$\because BC=\frac{2}{\cos45°}=2\sqrt{2}$，$AC=\frac{2+2}{\cos45°}=4\sqrt{2}$，
$\therefore S_{△ AB'C}=\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × 4\sqrt{2}=8$。