7. 如图，$OA⊥OB$，$AB⊥x$轴于点$C$，点$A(\sqrt{3},1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$的表达式.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$，使得$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$？若存在，请求出所有符合条件的点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)把点 $A(\sqrt{3}, 1)$ 代入反比例函数 $y=\frac{k}{x}$，得 $k=1 × \sqrt{3}=\sqrt{3}$。
$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{\sqrt{3}}{x}$。
(2) 存在。理由：$\because$ 点 $A$ 的坐标为$(\sqrt{3}, 1)$，$OA⊥OB$，$AB⊥x$ 轴于点 $C$，
$\therefore OC=\sqrt{3}$，$AC=1$。
$\therefore OA=\sqrt{AC^2 + OC^2}=2$。
$\because \tan A=\frac{OC}{AC}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ A=60°$。
$\because OA⊥OB$，
$\therefore ∠ AOB=90°$。
$\therefore ∠ B=30°$。
$\therefore OB=2OC=2\sqrt{3}$。
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA · OB=\frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
$\because S_{△ AOP}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$，
$\therefore \frac{1}{2}OP · AC=\frac{1}{2} × 2\sqrt{3}$。
$\therefore OP=2\sqrt{3}$。
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(-2\sqrt{3}, 0)$或$(2\sqrt{3}, 0)$。

8. 如图，一次函数$y_1=kx+b$与反比例函数$y_2=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象相交于$A(1,m)$，$B(n,1)$两点.
(1)求直线AB的函数表达式.
(2)根据图象，写出当$y_1＞y_2$时$x$的取值范围.
(3)若点P在$y$轴上，求$PA+PB$的最小值.

8. 解：(1)把 $A(1, m)$，$B(n, 1)$ 两点的坐标分别代入反比例函数 $y_2=\frac{3}{x}(x＞0)$，
得 $m=3$，$n=3$。
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(1, 3)$，点 $B$ 的坐标为$(3, 1)$。
把点 $A(1, 3)$，$B(3, 1)$ 代入一次函数 $y_1=kx+b$，
得 $\begin{cases}3=k + b,\\1=3k + b.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=4.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=-x+4$。
(2) 由函数图象，得当 $1＜x＜3$ 时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
$\therefore$ 当 $y_1＞y_2$ 时，$x$ 的取值范围是 $1＜x＜3$。
(3) 如图，作点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点 $C$，连接 $BC$ 交 $y$ 轴于点 $P$，连接 $PA$，则 $PA+PB$ 的最小值等于 $BC$ 的长。过点 $C$ 作 $y$ 轴的平行线，过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线，两平行线相交于点 $D$。根据题意可知，$CD=2$，$BD=4$。

在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中，$BC=\sqrt{CD^2 + BD^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$，
$\therefore PA+PB$ 的最小值为 $2\sqrt{5}$。