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典例1 下列方程中，哪些是分式方程，哪些不是分式方程？
(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$；
(2)$x-\frac{1}{x}=2$；
(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$；
(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$。
规律方法 判断一个方程是不是分式方程，关键看分母中是否含有未知数，若有，则是分式方程；若没有，则不是分式方程。
(1)$2x+\frac{x-1}{5}=10$；
(2)$x-\frac{1}{x}=2$；
(3)$\frac{1}{2x+1}-3=0$；
(4)$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$。
规律方法 判断一个方程是不是分式方程，关键看分母中是否含有未知数，若有，则是分式方程；若没有，则不是分式方程。
答案
解：
根据分式方程的判定规则：分母中含有未知数的方程是分式方程，逐个判断如下：
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，均不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
根据分式方程的判定规则：分母中含有未知数的方程是分式方程，逐个判断如下：
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，均不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
解析
【分析】
要判断方程是否为分式方程，首先明确核心判定标准：分母中含有未知数的方程是分式方程。解题时只需逐个检查每个方程的所有分母，判断分母中是否存在未知数即可：若分母含未知数则为分式方程，若所有分母都是常数、不含未知数则不是分式方程。
【解析】
根据分式方程的判定规则：分母中含有未知数的方程是分式方程，逐个判断如下：
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，均不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
【答案】
(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程
【知识点】
分式方程的定义、方程的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是抓住分式方程的核心判定特征，注意不要误将含有分数的方程都判定为分式方程，只有分母中含有未知数的方程才是分式方程，分母为常数的含分数的方程仍属于整式方程。
【难度系数】
0.9
要判断方程是否为分式方程，首先明确核心判定标准：分母中含有未知数的方程是分式方程。解题时只需逐个检查每个方程的所有分母，判断分母中是否存在未知数即可：若分母含未知数则为分式方程，若所有分母都是常数、不含未知数则不是分式方程。
【解析】
根据分式方程的判定规则：分母中含有未知数的方程是分式方程，逐个判断如下：
(1) 方程$2x+\frac{x-1}{5}=10$的分母为5，不含未知数，不是分式方程；
(2) 方程$x-\frac{1}{x}=2$的分母为$x$，含有未知数，是分式方程；
(3) 方程$\frac{1}{2x+1}-3=0$的分母为$2x+1$，含有未知数，是分式方程；
(4) 方程$\frac{2x}{3}+\frac{x-1}{2}=0$的分母为3和2，均不含未知数，不是分式方程。
综上，(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程。
【答案】
(2)(3)是分式方程，(1)(4)不是分式方程
【知识点】
分式方程的定义、方程的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是抓住分式方程的核心判定特征，注意不要误将含有分数的方程都判定为分式方程，只有分母中含有未知数的方程才是分式方程，分母为常数的含分数的方程仍属于整式方程。
【难度系数】
0.9
举一反三 下列方程中，不是分式方程的是（
A.$\frac{x^2}{3} - x = 0$
B.$\frac{2}{x} = 1$
C.$\frac{2}{3 - x} = x$
D.$\frac{1}{y} + y = 2$
A
）.A.$\frac{x^2}{3} - x = 0$
B.$\frac{2}{x} = 1$
C.$\frac{2}{3 - x} = x$
D.$\frac{1}{y} + y = 2$
答案
1. A
解析
【分析】
要判断哪个方程不是分式方程，首先要明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个查看四个选项里方程的分母是否含有未知数，分母不含未知数的就不属于分式方程，也就是本题要选的答案。
【解析】
首先明确分式方程的判定规则：分母中含有未知数的方程为分式方程，否则为整式方程，对各选项逐一分析：
A选项：方程$\frac{x^2}{3} - x = 0$的分母是3，属于常数，不含未知数，是整式方程，不是分式方程；
B选项：方程$\frac{2}{x} = 1$的分母是x，含有未知数x，属于分式方程；
C选项：方程$\frac{2}{3 - x} = x$的分母是$3-x$，含有未知数x，属于分式方程；
D选项：方程$\frac{1}{y} + y = 2$的分母是y，含有未知数y，属于分式方程。
因此符合题意的是A选项。
【答案】A
【知识点】分式方程的定义、整式方程的识别
【点评】本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记分式方程的判定核心，只要抓住“分母是否含有未知数”这一特征就能快速判断，得分难度较低。
【难度系数】0.9
要判断哪个方程不是分式方程，首先要明确分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐个查看四个选项里方程的分母是否含有未知数，分母不含未知数的就不属于分式方程，也就是本题要选的答案。
【解析】
首先明确分式方程的判定规则：分母中含有未知数的方程为分式方程，否则为整式方程，对各选项逐一分析：
A选项：方程$\frac{x^2}{3} - x = 0$的分母是3，属于常数，不含未知数，是整式方程，不是分式方程；
B选项：方程$\frac{2}{x} = 1$的分母是x，含有未知数x，属于分式方程；
C选项：方程$\frac{2}{3 - x} = x$的分母是$3-x$，含有未知数x，属于分式方程；
D选项：方程$\frac{1}{y} + y = 2$的分母是y，含有未知数y，属于分式方程。
因此符合题意的是A选项。
【答案】A
【知识点】分式方程的定义、整式方程的识别
【点评】本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记分式方程的判定核心，只要抓住“分母是否含有未知数”这一特征就能快速判断，得分难度较低。
【难度系数】0.9
典例2 解分式方程：
(1)$\frac{5}{x+1}=\frac{3}{x-3}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{4}{x^2-1}$。
温馨提示 (1)解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,注意方程两边的每一项都要乘最简公分母,切勿漏项；
(2)解分式方程可能产生使原方程中分母为0的情况,所以解分式方程必须验根。
(1)$\frac{5}{x+1}=\frac{3}{x-3}$；
(2)$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{4}{x^2-1}$。
温馨提示 (1)解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,注意方程两边的每一项都要乘最简公分母,切勿漏项；
(2)解分式方程可能产生使原方程中分母为0的情况,所以解分式方程必须验根。
答案
解：(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$
展开括号，得
$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项，得
$2x=18$
系数化为1，得
$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开括号，得
$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项，得
$2x+2=4$
解得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，
因此原分式方程无解。
$5(x-3)=3(x+1)$
展开括号，得
$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项，得
$2x=18$
系数化为1，得
$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开括号，得
$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项，得
$2x+2=4$
解得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，
因此原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，注意方程所有项都要乘公分母，不能漏乘；②解得到的整式方程；③验根，把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若公分母为0则是增根，原分式方程无解。
第(1)题两个分母为$x+1$和$x-3$，最简公分母为二者乘积$(x+1)(x-3)$，去分母后解一元一次方程即可；第(2)题中$x^2-1$可因式分解为$(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$，注意去分母时左边的常数项$-1$也要乘公分母，最后必须验根判断解的有效性。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$
展开括号，得
$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项，得
$2x=18$
系数化为1，得
$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开括号，得
$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项，得
$2x+2=4$
解得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，
因此原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=9$；(2)原分式方程无解
【知识点】
解分式方程；去分母；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考察分式方程的求解规范，要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时牢记验根是解分式方程必不可少的步骤，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，注意方程所有项都要乘公分母，不能漏乘；②解得到的整式方程；③验根，把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若公分母为0则是增根，原分式方程无解。
第(1)题两个分母为$x+1$和$x-3$，最简公分母为二者乘积$(x+1)(x-3)$，去分母后解一元一次方程即可；第(2)题中$x^2-1$可因式分解为$(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$，注意去分母时左边的常数项$-1$也要乘公分母，最后必须验根判断解的有效性。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-3)$，得
$5(x-3)=3(x+1)$
展开括号，得
$5x-15=3x+3$
移项、合并同类项，得
$2x=18$
系数化为1，得
$x=9$
检验：当$x=9$时，$(x+1)(x-3)=(9+1)×(9-3)=60≠0$，
所以$x=9$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$
展开括号，得
$x^2+2x+1-x^2+1=4$
合并同类项，得
$2x+2=4$
解得
$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，所以$x=1$是增根，
因此原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=9$；(2)原分式方程无解
【知识点】
解分式方程；去分母；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考察分式方程的求解规范，要注意去分母时不要漏乘不含分母的项，同时牢记验根是解分式方程必不可少的步骤，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
