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举一反三 解下列方程：
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$；(2)$\frac{2}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$。
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$。
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$；(2)$\frac{2}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$。
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2-(x^2-1)=4$。
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
答案
(1) 方程两边乘$x(x-2)$,得 $x-2=3x$.
解得 $x=-1$.
检验: 当 $x=-1$ 时,$x(x-2)≠0$,
所以,原分式方程的解为 $x=-1$.
(2) 方程两边乘$(x-3)$,得
$2=x-3+2$.
解得 $x=3$.
检验: 当 $x=3$ 时,$x-3=0$,
因此 $x=3$ 不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
解得 $x=-1$.
检验: 当 $x=-1$ 时,$x(x-2)≠0$,
所以,原分式方程的解为 $x=-1$.
(2) 方程两边乘$(x-3)$,得
$2=x-3+2$.
解得 $x=3$.
检验: 当 $x=3$ 时,$x-3=0$,
因此 $x=3$ 不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将其转化为已学的整式方程求解，通用步骤为：①找各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②解所得的整式方程；③检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若为0则是增根，需舍去，原方程无解。
针对(1)：两个分母分别为$x$和$x-2$，最简公分母为$x(x-2)$，乘公分母后即可转化为一元一次方程求解；针对(2)：分母$x-3$和$3-x$互为相反数，可先将右侧分式变形为同分母形式，确定最简公分母为$x-3$，再去分母求解，最后必须检验。
【解析】
(1) 方程两边乘$x(x-2)$，得 $x-2=3x$，
移项合并同类项得$-2x=2$，解得 $x=-1$，
检验: 当 $x=-1$ 时,$x(x-2)≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
(2) 先将右侧$\frac{2}{3-x}$变形为$\frac{2}{-(x-3)}$，原方程可改写为$\frac{2}{x-3}=1+\frac{2}{x-3}$，
方程两边乘$(x-3)$，得$2=x-3+2$，解得 $x=3$，
检验: 当 $x=3$ 时,$x-3=0$，因此$x=3$不是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=-1$；(2) 原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根；一元一次方程的解法
【点评】
这两道题是分式方程求解的基础典型题，重点考察分式方程“转化为整式方程”的核心求解思路，解题时要注意处理互为相反数的分母时避免符号错误，尤其要牢记解分式方程必须验根，排除增根。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是通过去分母将其转化为已学的整式方程求解，通用步骤为：①找各分母的最简公分母，方程两边同时乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②解所得的整式方程；③检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若为0则是增根，需舍去，原方程无解。
针对(1)：两个分母分别为$x$和$x-2$，最简公分母为$x(x-2)$，乘公分母后即可转化为一元一次方程求解；针对(2)：分母$x-3$和$3-x$互为相反数，可先将右侧分式变形为同分母形式，确定最简公分母为$x-3$，再去分母求解，最后必须检验。
【解析】
(1) 方程两边乘$x(x-2)$，得 $x-2=3x$，
移项合并同类项得$-2x=2$，解得 $x=-1$，
检验: 当 $x=-1$ 时,$x(x-2)≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
(2) 先将右侧$\frac{2}{3-x}$变形为$\frac{2}{-(x-3)}$，原方程可改写为$\frac{2}{x-3}=1+\frac{2}{x-3}$，
方程两边乘$(x-3)$，得$2=x-3+2$，解得 $x=3$，
检验: 当 $x=3$ 时,$x-3=0$，因此$x=3$不是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=-1$；(2) 原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的验根；一元一次方程的解法
【点评】
这两道题是分式方程求解的基础典型题，重点考察分式方程“转化为整式方程”的核心求解思路，解题时要注意处理互为相反数的分母时避免符号错误，尤其要牢记解分式方程必须验根，排除增根。
【难度系数】
0.7
1. 下列方程中,是分式方程的是(
A.$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$
B.$x-4y=7$
C.$2x=3(x-5)$
D.$\frac{4}{x-2}=1$
D
).A.$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$
B.$x-4y=7$
C.$2x=3(x-5)$
D.$\frac{4}{x-2}=1$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一核对每个选项的分母是否含有未知数，就能快速得出正确答案。
【解析】
根据分式方程的定义逐一判断：
A选项：方程$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$的分母是5和4，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
B选项：方程$x-4y=7$是二元一次整式方程，分母无未知数，不是分式方程；
C选项：方程$2x=3(x-5)$是一元一次整式方程，分母无未知数，不是分式方程；
D选项：方程$\frac{4}{x-2}=1$的分母为$x-2$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，属于分式方程。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义；分式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对分式方程特征的掌握，解题时要注意区分分母为常数的整式方程和分母含未知数的分式方程，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需逐一核对每个选项的分母是否含有未知数，就能快速得出正确答案。
【解析】
根据分式方程的定义逐一判断：
A选项：方程$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$的分母是5和4，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
B选项：方程$x-4y=7$是二元一次整式方程，分母无未知数，不是分式方程；
C选项：方程$2x=3(x-5)$是一元一次整式方程，分母无未知数，不是分式方程；
D选项：方程$\frac{4}{x-2}=1$的分母为$x-2$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义，属于分式方程。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义；分式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对分式方程特征的掌握，解题时要注意区分分母为常数的整式方程和分母含未知数的分式方程，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
2. 解分式方程 $1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$ 时，去分母变形正确的是（
A.$2 - 6x + 2 = -5$
B.$6x - 2 - 2 = -5$
C.$2 - 6x - 1 = 5$
D.$6x - 2 + 1 = 5$
A
）。A.$2 - 6x + 2 = -5$
B.$6x - 2 - 2 = -5$
C.$2 - 6x - 1 = 5$
D.$6x - 2 + 1 = 5$
答案
2. A
解析
【分析】
要判断分式方程去分母的变形是否正确，首先需要确定各分母的最简公分母，再将方程两边每一项都乘以最简公分母消去分母即可。第一步先对分母变形：观察到分母$2-6x=-2(3x-1)$，因此最简公分母可以取$2-6x$；第二步给方程两边所有项都乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的常数项1，同时要注意负号的运算，最后化简得到的式子和选项对比即可。
【解析】
原方程为：$1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$
步骤1：整理分母，确定最简公分母
$\because 2-6x=-2(3x-1)$，$\therefore$ 最简公分母为$2-6x$
步骤2：方程两边同时乘以$2-6x$（每一项都要乘，避免漏乘）：
$1×(2-6x) - \frac{1}{3x-1}×(2-6x) = -\frac{5}{2-6x}×(2-6x)$
步骤3：化简每一项：
左边第一项：$1×(2-6x)=2-6x$
左边第二项：$-\frac{1}{3x-1}×(2-6x)=-\frac{1}{3x-1}×[-2(3x-1)]=2$
右边：$-\frac{5}{2-6x}×(2-6x)=-5$
步骤4：合并后得到：$2-6x + 2 = -5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母，最简公分母确定，符号运算
【点评】
本题是分式方程去分母的基础考查题，易错点在于去分母时漏乘常数项、处理负号时出错，解题时先对分母因式分解确定公分母，再逐项乘以公分母核对符号即可得分。
【难度系数】
0.7
要判断分式方程去分母的变形是否正确，首先需要确定各分母的最简公分母，再将方程两边每一项都乘以最简公分母消去分母即可。第一步先对分母变形：观察到分母$2-6x=-2(3x-1)$，因此最简公分母可以取$2-6x$；第二步给方程两边所有项都乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的常数项1，同时要注意负号的运算，最后化简得到的式子和选项对比即可。
【解析】
原方程为：$1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$
步骤1：整理分母，确定最简公分母
$\because 2-6x=-2(3x-1)$，$\therefore$ 最简公分母为$2-6x$
步骤2：方程两边同时乘以$2-6x$（每一项都要乘，避免漏乘）：
$1×(2-6x) - \frac{1}{3x-1}×(2-6x) = -\frac{5}{2-6x}×(2-6x)$
步骤3：化简每一项：
左边第一项：$1×(2-6x)=2-6x$
左边第二项：$-\frac{1}{3x-1}×(2-6x)=-\frac{1}{3x-1}×[-2(3x-1)]=2$
右边：$-\frac{5}{2-6x}×(2-6x)=-5$
步骤4：合并后得到：$2-6x + 2 = -5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母，最简公分母确定，符号运算
【点评】
本题是分式方程去分母的基础考查题，易错点在于去分母时漏乘常数项、处理负号时出错，解题时先对分母因式分解确定公分母，再逐项乘以公分母核对符号即可得分。
【难度系数】
0.7
3. 解分式方程：
(1)$\dfrac{5}{x+3}=\dfrac{4}{x}$；
(2)$1-\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{4}{(x-5)(x-1)}$.
(1)$\dfrac{5}{x+3}=\dfrac{4}{x}$；
(2)$1-\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{4}{(x-5)(x-1)}$.
答案
3. 解 (1)方程两边乘 $x(x+3)$,得
$5x=4x+12.$
解得 $x=12.$
检验:当 $x=12$ 时,$x(x+3)≠0$,
所以,原分式方程的解为 $x=12.$
(2)方程两边乘$(x-5)(x-1)$,得
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4.$
解得 $x=1.$
检验:当 $x=1$ 时,$(x-5)(x-1)=0$,
因此 $x=1$ 不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
$5x=4x+12.$
解得 $x=12.$
检验:当 $x=12$ 时,$x(x+3)≠0$,
所以,原分式方程的解为 $x=12.$
(2)方程两边乘$(x-5)(x-1)$,得
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4.$
解得 $x=1.$
检验:当 $x=1$ 时,$(x-5)(x-1)=0$,
因此 $x=1$ 不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的解是否使原分式的分母为0（即是否为增根）。(1)小题中两个分母为$x+3$和$x$，最简公分母是$x(x+3)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母得到一元一次方程，解出$x$后检验即可；(2)小题中分母为$x-1$和$(x-5)(x-1)$，最简公分母是$(x-5)(x-1)$，同乘后消去分母得到整式方程，解出$x$后检验，若所得解使最简公分母为0则为增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘$x(x+3)$，去分母得：
$5x=4(x+3)$
展开得$5x=4x+12$
移项合并同类项，解得$x=12$
检验：当$x=12$时，$x(x+3)=12×15=180≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解。
(2) 方程两边乘$(x-5)(x-1)$，去分母得：
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$
展开左边得$x^2-6x+5-x^2+5x=4$
合并同类项得$-x+5=4$
移项解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-5)(x-1)=(-4)×0=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解，所以原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=12$；(2)无解
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的检验；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，解题的关键是准确确定最简公分母完成去分母步骤，要注意解分式方程必须检验，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.75
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的解是否使原分式的分母为0（即是否为增根）。(1)小题中两个分母为$x+3$和$x$，最简公分母是$x(x+3)$，方程两边同乘最简公分母即可消去分母得到一元一次方程，解出$x$后检验即可；(2)小题中分母为$x-1$和$(x-5)(x-1)$，最简公分母是$(x-5)(x-1)$，同乘后消去分母得到整式方程，解出$x$后检验，若所得解使最简公分母为0则为增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘$x(x+3)$，去分母得：
$5x=4(x+3)$
展开得$5x=4x+12$
移项合并同类项，解得$x=12$
检验：当$x=12$时，$x(x+3)=12×15=180≠0$，所以$x=12$是原分式方程的解。
(2) 方程两边乘$(x-5)(x-1)$，去分母得：
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$
展开左边得$x^2-6x+5-x^2+5x=4$
合并同类项得$-x+5=4$
移项解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-5)(x-1)=(-4)×0=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解，所以原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=12$；(2)无解
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的检验；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题型，解题的关键是准确确定最简公分母完成去分母步骤，要注意解分式方程必须检验，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.75
