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24.(淮安)小丽为校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过10件,单价为80元;如果一次性购买多于10件,那么每增加1件,购买的所有服装的单价降低2元,但单价不得低于50元.按此优惠条件,小丽一次性购买这种服装付了1200元.她购买了多少件这种服装?
答案
24. 解:设购买了 $x$ 件这种服装. 根据题意得
$[80 - 2(x - 10)]x = 1200$, 解得 $x_1 = 20, x_2 = 30$.
当 $x = 30$ 时, $80 - 2(30 - 10) = 40$(元),
由于 40 元 $＜ 50$ 元,不合题意,舍去.
答:她购买了 20 件这种服装.
$[80 - 2(x - 10)]x = 1200$, 解得 $x_1 = 20, x_2 = 30$.
当 $x = 30$ 时, $80 - 2(30 - 10) = 40$(元),
由于 40 元 $＜ 50$ 元,不合题意,舍去.
答:她购买了 20 件这种服装.
解析
【分析】
首先判断购买服装的数量范围：若购买10件，总费用为10×80=800元，小于1200元，因此购买数量x＞10。接下来推导单价的表达式：多于10件时每增加1件单价降2元，因此单价为80-2(x-10)元，同时要满足单价≥50元的限制。根据“总价=单价×数量”的等量关系列一元二次方程，求解后需要检验解是否符合单价不低于50元的要求，舍去不合题意的解即可得到答案。
【解析】
解：设购买了$x$件这种服装。
∵ 购买10件的总费用为$10×80=800$元＜$1200$元，
∴ $x＞10$。
根据题意列方程：
$[80 - 2(x - 10)]x = 1200$
整理得：$x^2 -50x +600=0$
因式分解得：$(x-20)(x-30)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=30$。
检验解的合理性：
当$x=30$时，单价为$80-2×(30-10)=40$元，$40＜50$，不符合单价不低于50元的条件，舍去；
当$x=20$时，单价为$80-2×(20-10)=60$元，$60＞50$，符合题意。
【答案】
她购买了20件这种服装。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的解法；实际问题验根
【点评】
本题属于优惠销售类应用题，解题的核心是正确梳理数量关系、列出单价的表达式，需要特别注意题目中给出的单价最低限制条件，求解方程后务必验根，排除不符合实际要求的增解。
【难度系数】
0.7
首先判断购买服装的数量范围：若购买10件，总费用为10×80=800元，小于1200元，因此购买数量x＞10。接下来推导单价的表达式：多于10件时每增加1件单价降2元，因此单价为80-2(x-10)元，同时要满足单价≥50元的限制。根据“总价=单价×数量”的等量关系列一元二次方程，求解后需要检验解是否符合单价不低于50元的要求，舍去不合题意的解即可得到答案。
【解析】
解：设购买了$x$件这种服装。
∵ 购买10件的总费用为$10×80=800$元＜$1200$元，
∴ $x＞10$。
根据题意列方程：
$[80 - 2(x - 10)]x = 1200$
整理得：$x^2 -50x +600=0$
因式分解得：$(x-20)(x-30)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=30$。
检验解的合理性：
当$x=30$时，单价为$80-2×(30-10)=40$元，$40＜50$，不符合单价不低于50元的条件，舍去；
当$x=20$时，单价为$80-2×(20-10)=60$元，$60＞50$，符合题意。
【答案】
她购买了20件这种服装。
【知识点】
一元二次方程的实际应用；一元二次方程的解法；实际问题验根
【点评】
本题属于优惠销售类应用题，解题的核心是正确梳理数量关系、列出单价的表达式，需要特别注意题目中给出的单价最低限制条件，求解方程后务必验根，排除不符合实际要求的增解。
【难度系数】
0.7
25.(泸州)某超市经营甲、乙两种商品，前年两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，今年乙种商品每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率.
(2)该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率.
(2)该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
答案
25. 解:(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为 $x$. 根据题意,得 $125(1 - x)^2 = 80$.
解得 $x_1 = 0.2$, $x_2 = 1.8$(不合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 $20\%$.
(2) 设购进甲种商品为 $y$ 件,则购进乙种商品为 $(100 - y)$ 件. 根据题意可得
$(125 - 25 × 2)y + 80(100 - y) ≤ 7800$.
解得 $y ≥ 40$, 则 $40 ≤ y ≤ 100$,$y$ 的最小值为 40.
答:最少购进 40 件甲种商品.
解得 $x_1 = 0.2$, $x_2 = 1.8$(不合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为 $20\%$.
(2) 设购进甲种商品为 $y$ 件,则购进乙种商品为 $(100 - y)$ 件. 根据题意可得
$(125 - 25 × 2)y + 80(100 - y) ≤ 7800$.
解得 $y ≥ 40$, 则 $40 ≤ y ≤ 100$,$y$ 的最小值为 40.
答:最少购进 40 件甲种商品.
解析
【分析】
（1）第一问是平均变化率类问题，首先明确时间跨度：从前年到今年共经过2年，乙商品初始进价为125元，两年后进价为80元，可设年平均下降率为x，根据“初始值×(1-下降率)^年数=最终值”的等量关系列一元二次方程求解，注意下降率的取值范围为0＜x＜1，需要舍去不符合实际意义的解。
（2）第二问是不等式实际应用题，首先计算今年甲商品的进价：前年进价125元，每年下降25元，两年后进价为125-25×2=75元；再设购进甲种商品y件，则乙种商品为(100-y)件，根据“总进货资金不超过7800元”的不等关系列不等式，解不等式得到y的取值范围，取最小正整数即为最少购进甲种商品的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$，从前年到今年共2年，根据题意列方程：
$125(1 - x)^2 = 80$
整理得$(1-x)^2=\frac{16}{25}$，开方得$1-x=\pm0.8$
解得 $x_1 = 0.2=20\%$， $x_2 = 1.8$，由于下降率不能大于1，$x_2=1.8$不符合实际，舍去。
(2) 先计算今年甲种商品的进价：$125 - 25 × 2=75$（元）
设购进甲种商品为$y$件，则购进乙种商品为$(100 - y)$件，根据总资金不超过7800元列不等式：
$75y + 80(100 - y) ≤ 7800$
去括号得$75y + 8000 -80y ≤7800$
移项合并同类项得$-5y ≤ -200$
系数化为1得$y ≥ 40$，$y$为正整数，所以$y$的最小值为40。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为$\boxed{20\%}$；
(2) 最少购进$\boxed{40}$件甲种商品。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于基础实际应用类题型，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，列对应的方程或不等式求解，同时要注意结合实际情况对解进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是平均变化率类问题，首先明确时间跨度：从前年到今年共经过2年，乙商品初始进价为125元，两年后进价为80元，可设年平均下降率为x，根据“初始值×(1-下降率)^年数=最终值”的等量关系列一元二次方程求解，注意下降率的取值范围为0＜x＜1，需要舍去不符合实际意义的解。
（2）第二问是不等式实际应用题，首先计算今年甲商品的进价：前年进价125元，每年下降25元，两年后进价为125-25×2=75元；再设购进甲种商品y件，则乙种商品为(100-y)件，根据“总进货资金不超过7800元”的不等关系列不等式，解不等式得到y的取值范围，取最小正整数即为最少购进甲种商品的数量。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$，从前年到今年共2年，根据题意列方程：
$125(1 - x)^2 = 80$
整理得$(1-x)^2=\frac{16}{25}$，开方得$1-x=\pm0.8$
解得 $x_1 = 0.2=20\%$， $x_2 = 1.8$，由于下降率不能大于1，$x_2=1.8$不符合实际，舍去。
(2) 先计算今年甲种商品的进价：$125 - 25 × 2=75$（元）
设购进甲种商品为$y$件，则购进乙种商品为$(100 - y)$件，根据总资金不超过7800元列不等式：
$75y + 80(100 - y) ≤ 7800$
去括号得$75y + 8000 -80y ≤7800$
移项合并同类项得$-5y ≤ -200$
系数化为1得$y ≥ 40$，$y$为正整数，所以$y$的最小值为40。
【答案】
(1) 乙种商品每件进价的年平均下降率为$\boxed{20\%}$；
(2) 最少购进$\boxed{40}$件甲种商品。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于基础实际应用类题型，解题关键是找准题目中的等量关系和不等关系，列对应的方程或不等式求解，同时要注意结合实际情况对解进行取舍，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.7
26.(烟台)直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在某平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售,若按每件60元销售,每天可卖出20件.该电商通过市场调查发现,每件小商品售价每降低5元,日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变,该电商想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
（1）若日利润保持不变,该电商想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元?
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件62.5元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售?
答案
26. 解:(1) 设售价应定为 $x$ 元,那么每件的利润为
$(x - 40)$ 元,日销售量为 $20 + \frac{10(60 - x)}{5} = (140 - 2x)$ 件. 依题意,得
$(x - 40)(140 - 2x) = (60 - 40) × 20$.
整理,得 $x^2 - 110x + 3000 = 0$.
解得 $x_1 = 50$, $x_2 = 60$(舍去).
答:售价应定为 50 元.
(2) 该商品需要打 $a$ 折销售. 由题意,得
$62.5 × \frac{a}{10} ≤ 50$. 解得 $a ≤ 8$.
答:该商品至少需打 8 折销售.
$(x - 40)$ 元,日销售量为 $20 + \frac{10(60 - x)}{5} = (140 - 2x)$ 件. 依题意,得
$(x - 40)(140 - 2x) = (60 - 40) × 20$.
整理,得 $x^2 - 110x + 3000 = 0$.
解得 $x_1 = 50$, $x_2 = 60$(舍去).
答:售价应定为 50 元.
(2) 该商品需要打 $a$ 折销售. 由题意,得
$62.5 × \frac{a}{10} ≤ 50$. 解得 $a ≤ 8$.
答:该商品至少需打 8 折销售.
解析
【分析】
（1）本问属于销售利润类问题，核心等量关系为：总利润=单件利润×销售量。首先计算原销售方式的日总利润，再设售价为x元，分别用含x的式子表示出降价后的单件利润和日销售量，根据日利润不变列一元二次方程求解；由于需要尽快销售完商品，需选择售价更低（对应销售量更大）的解，舍去不符合题意的解。
（2）本问属于打折销售的不等式应用问题，核心是明确打折的计算规则：打a折时，实际售价=标价×$\frac{a}{10}$，根据“销售价格不超过（1）中的售价”列一元一次不等式求解即可。
【解析】
(1) 设每件售价应定为$x$元。
则每件商品的利润为$(x - 40)$元，
售价从60元降到$x$元，共降价$(60-x)$元，已知每降价5元日销量增加10件，因此日销售量为：
$20 + \frac{10(60 - x)}{5} = (140 - 2x)$件。
原销售方式的日利润为$(60-40)×20=400$元，根据日利润保持不变列方程：
$(x - 40)(140 - 2x) = 400$
整理得：$x^2 - 110x + 3000 = 0$
解得：$x_1 = 50$，$x_2 = 60$
由于要尽快销售完商品，售价越低销售量越大，因此舍去$x_2=60$，取$x=50$。
(2) 设该商品需要打$a$折销售。
根据打折的售价计算规则，实际售价为$62.5 × \frac{a}{10}$元，要求销售价格不超过50元，列不等式：
$62.5 × \frac{a}{10} ≤ 50$
解得：$a ≤ 8$
即该商品至少需打8折销售。
【答案】
（1）每件售价应定为50元；
（2）该商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合热门的直播购物、线下打折的生活场景考查数学知识的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系和不等关系，列对应方程或不等式求解，同时注意结合实际需求对解进行取舍，考查内容贴合生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
（1）本问属于销售利润类问题，核心等量关系为：总利润=单件利润×销售量。首先计算原销售方式的日总利润，再设售价为x元，分别用含x的式子表示出降价后的单件利润和日销售量，根据日利润不变列一元二次方程求解；由于需要尽快销售完商品，需选择售价更低（对应销售量更大）的解，舍去不符合题意的解。
（2）本问属于打折销售的不等式应用问题，核心是明确打折的计算规则：打a折时，实际售价=标价×$\frac{a}{10}$，根据“销售价格不超过（1）中的售价”列一元一次不等式求解即可。
【解析】
(1) 设每件售价应定为$x$元。
则每件商品的利润为$(x - 40)$元，
售价从60元降到$x$元，共降价$(60-x)$元，已知每降价5元日销量增加10件，因此日销售量为：
$20 + \frac{10(60 - x)}{5} = (140 - 2x)$件。
原销售方式的日利润为$(60-40)×20=400$元，根据日利润保持不变列方程：
$(x - 40)(140 - 2x) = 400$
整理得：$x^2 - 110x + 3000 = 0$
解得：$x_1 = 50$，$x_2 = 60$
由于要尽快销售完商品，售价越低销售量越大，因此舍去$x_2=60$，取$x=50$。
(2) 设该商品需要打$a$折销售。
根据打折的售价计算规则，实际售价为$62.5 × \frac{a}{10}$元，要求销售价格不超过50元，列不等式：
$62.5 × \frac{a}{10} ≤ 50$
解得：$a ≤ 8$
即该商品至少需打8折销售。
【答案】
（1）每件售价应定为50元；
（2）该商品至少需打8折销售。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；销售利润问题
【点评】
本题结合热门的直播购物、线下打折的生活场景考查数学知识的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系和不等关系，列对应方程或不等式求解，同时注意结合实际需求对解进行取舍，考查内容贴合生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
