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21.(临夏州)已知关于x的方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$.
(1) 若此方程的一个根为1,求m的值.
(2) 求证:无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
(1) 若此方程的一个根为1,求m的值.
(2) 求证:无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
答案
21. 提示:(1) 将 $x = 1$ 代入方程得 $m = \frac{1}{2}$.
(2) $\Delta = m^2 - 4m + 8 = (m - 2)^2 + 4 ＞ 0$,
$\therefore$ 无论 $m$ 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
(2) $\Delta = m^2 - 4m + 8 = (m - 2)^2 + 4 ＞ 0$,
$\therefore$ 无论 $m$ 取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
解析
【分析】
（1）已知方程的一个根为1，根据方程根的定义，根能使方程左右两边相等，因此将x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程即可求出m的值。
（2）要证明无论m取何实数，方程都有两个不相等的实数根，只需证明一元二次方程的根的判别式Δ恒大于0即可。先根据方程的系数写出Δ的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性证明Δ始终大于0，即可得出结论。
【解析】
（1）解：将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，可得：
$1^2 + m×1 + m - 2 = 0$
整理得：$2m - 1 = 0$
解得：$m = \frac{1}{2}$
（2）证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
化简得：$\Delta = m^2 - 4m + 8$
配方得：$\Delta = (m-2)^2 + 4$
$\because$ 无论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
$\therefore (m-2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$
$\therefore$ 无论$m$取何实数，此方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=\dfrac{1}{2}}$；(2) 无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根，得证。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根的判别式
3. 配方法应用
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题型，第一问直接考察根的定义的应用，难度较低；第二问考察根的判别式与配方法的结合，需要掌握判别式和方程根的个数的对应关系，以及配方证明代数式恒正的方法，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
（1）已知方程的一个根为1，根据方程根的定义，根能使方程左右两边相等，因此将x=1代入原方程，即可得到关于m的一元一次方程，解该方程即可求出m的值。
（2）要证明无论m取何实数，方程都有两个不相等的实数根，只需证明一元二次方程的根的判别式Δ恒大于0即可。先根据方程的系数写出Δ的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性证明Δ始终大于0，即可得出结论。
【解析】
（1）解：将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，可得：
$1^2 + m×1 + m - 2 = 0$
整理得：$2m - 1 = 0$
解得：$m = \frac{1}{2}$
（2）证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
化简得：$\Delta = m^2 - 4m + 8$
配方得：$\Delta = (m-2)^2 + 4$
$\because$ 无论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
$\therefore (m-2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$
$\therefore$ 无论$m$取何实数，此方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=\dfrac{1}{2}}$；(2) 无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根，得证。
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根的判别式
3. 配方法应用
【点评】
本题是一元二次方程的常考基础题型，第一问直接考察根的定义的应用，难度较低；第二问考察根的判别式与配方法的结合，需要掌握判别式和方程根的个数的对应关系，以及配方证明代数式恒正的方法，属于基础考点。
【难度系数】
0.8
22.(株洲)已知关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^2 + 2bx + (a - c) = 0$，其中$a,b,c$分别为$△ ABC$三边的长。
(1)如果$x = -1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。
(1)如果$x = -1$是方程的根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
(3)如果$△ ABC$是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。
答案
22. (1)$a = b$,$△ ABC$ 是等腰三角形.
(2)$a^2 = b^2 + c^2$,$△ ABC$ 是直角三角形,斜边为 $a$.
(3) 方程为 $x^2 + x = 0$,解得 $x_1 = 0, x_2 = -1$.
(2)$a^2 = b^2 + c^2$,$△ ABC$ 是直角三角形,斜边为 $a$.
(3) 方程为 $x^2 + x = 0$,解得 $x_1 = 0, x_2 = -1$.
解析
【分析】
(1)已知x=-1是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入方程化简，可得到a与b的数量关系，进而判断三角形形状。
(2)方程有两个相等实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0，代入系数计算化简，得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状。
(3)若△ABC是等边三角形，则三边a=b=c，代入原方程消去系数，转化为普通一元二次方程求解即可，注意三角形边长为正，可约去非零系数。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
将x=-1代入原方程得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$
化简得：$a+c-2b+a-c=0$
整理得$2a-2b=0$，即$a=b$
∴△ABC是等腰三角形。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2b)^2 - 4(a+c)(a - c)=0$
计算得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$
两边除以4整理得：$a^2 = b^2 + c^2$
根据勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形，斜边为a。
(3) 当△ABC是等边三角形时，a=b=c，代入原方程得：
$2ax^2 + 2ax = 0$
∵a为三角形边长，a≠0，两边除以2a得：
$x^2 + x = 0$
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)$a = b$,$△ ABC$ 是等腰三角形.
(2)$a^2 = b^2 + c^2$,$△ ABC$ 是直角三角形,斜边为 $a$.
(3) 方程为 $x^2 + x = 0$,解得 $x_1 = 0, x_2 = -1$.
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形形状判定相结合，既考查了方程相关性质的应用，也考查了特殊三角形的判定方法，是典型的代数几何综合基础题，解题时要注意结合题干条件灵活转化数量关系。
【难度系数】
0.7
(1)已知x=-1是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入方程化简，可得到a与b的数量关系，进而判断三角形形状。
(2)方程有两个相等实数根，根据一元二次方程根的判别式Δ=0，代入系数计算化简，得到三边的数量关系，结合勾股定理逆定理即可判断三角形形状。
(3)若△ABC是等边三角形，则三边a=b=c，代入原方程消去系数，转化为普通一元二次方程求解即可，注意三角形边长为正，可约去非零系数。
【解析】
(1) △ABC是等腰三角形，理由如下：
将x=-1代入原方程得：
$(a+c)×(-1)^2 + 2b×(-1) + (a - c) = 0$
化简得：$a+c-2b+a-c=0$
整理得$2a-2b=0$，即$a=b$
∴△ABC是等腰三角形。
(2) △ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2b)^2 - 4(a+c)(a - c)=0$
计算得：$4b^2 - 4(a^2 - c^2)=0$
两边除以4整理得：$a^2 = b^2 + c^2$
根据勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形，斜边为a。
(3) 当△ABC是等边三角形时，a=b=c，代入原方程得：
$2ax^2 + 2ax = 0$
∵a为三角形边长，a≠0，两边除以2a得：
$x^2 + x = 0$
因式分解得$x(x+1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)$a = b$,$△ ABC$ 是等腰三角形.
(2)$a^2 = b^2 + c^2$,$△ ABC$ 是直角三角形,斜边为 $a$.
(3) 方程为 $x^2 + x = 0$,解得 $x_1 = 0, x_2 = -1$.
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式，勾股定理逆定理
【点评】
本题将一元二次方程知识与三角形形状判定相结合，既考查了方程相关性质的应用，也考查了特殊三角形的判定方法，是典型的代数几何综合基础题，解题时要注意结合题干条件灵活转化数量关系。
【难度系数】
0.7
23.(巴中)先化简,再求值:
$( \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 1} + 2$
$x ) ÷ \frac{x^2 + 4x + 4}{1 - x}$
其中$x$满足$x^2 - 4x + 3 = 0$.
$( \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 1} + 2$
$x ) ÷ \frac{x^2 + 4x + 4}{1 - x}$其中$x$满足$x^2 - 4x + 3 = 0$.
答案
23. 提示:原式 $= -\frac{1}{x + 2}$;
解方程得 $x_1 = 1$(舍去),$x_2 = 3$;
把 $x = 3$ 代入, 原式 $= -\frac{1}{5}$.
解方程得 $x_1 = 1$(舍去),$x_2 = 3$;
把 $x = 3$ 代入, 原式 $= -\frac{1}{5}$.
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先处理括号内的运算，将整式2-x通分，和前面的分式合并为同分母分式相加；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子分母中的多项式因式分解，约分化简得到最简结果；第三步解一元二次方程得到x的取值，再根据分式有意义的条件（分母不为0）舍去不符合要求的根，最后将合法的x值代入最简式计算即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 处理括号内的运算，对2-x通分，分母为x-1：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 4}{x - 1} + 2 - x\\=&\frac{x^2 - 2x + 4}{x - 1} + \frac{(2 - x)(x - 1)}{x - 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 4 + (2x - 2 - x^2 + x)}{x - 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 4 + 3x - x^2 - 2}{x - 1}\\=&\frac{x + 2}{x - 1}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法，同时因式分解多项式：
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=\frac{x + 2}{x - 1} ÷ \frac{(x + 2)^2}{1 - x}\\=&\frac{x + 2}{x - 1} × \frac{1 - x}{(x + 2)^2}\\=&\frac{x + 2}{x - 1} × \frac{-(x - 1)}{(x + 2)^2}\\=&-\frac{1}{x + 2}\end{aligned}$
3. 解方程$x^2 - 4x + 3 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
4. 考虑分式有意义的条件：分母$x - 1≠0$，$1 - x≠0$，$x + 2≠0$，故$x≠1$且$x≠-2$，舍去$x=1$，取$x=3$。
5. 代入$x=3$到最简式计算得：$-\frac{1}{3 + 2}=-\frac{1}{5}$。
【答案】
$-\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，解一元二次方程
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题时需注意运算顺序，保证通分、约分的正确性，尤其要牢记分式的分母不能为0，需对求得的未知数的值进行检验，舍去增根，避免代入无意义的取值导致错误。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步先处理括号内的运算，将整式2-x通分，和前面的分式合并为同分母分式相加；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子分母中的多项式因式分解，约分化简得到最简结果；第三步解一元二次方程得到x的取值，再根据分式有意义的条件（分母不为0）舍去不符合要求的根，最后将合法的x值代入最简式计算即可。
【解析】
解：先化简原式：
1. 处理括号内的运算，对2-x通分，分母为x-1：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 - 2x + 4}{x - 1} + 2 - x\\=&\frac{x^2 - 2x + 4}{x - 1} + \frac{(2 - x)(x - 1)}{x - 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 4 + (2x - 2 - x^2 + x)}{x - 1}\\=&\frac{x^2 - 2x + 4 + 3x - x^2 - 2}{x - 1}\\=&\frac{x + 2}{x - 1}\end{aligned}$
2. 将除法转化为乘法，同时因式分解多项式：
$\begin{aligned}&\mathrm{原式}=\frac{x + 2}{x - 1} ÷ \frac{(x + 2)^2}{1 - x}\\=&\frac{x + 2}{x - 1} × \frac{1 - x}{(x + 2)^2}\\=&\frac{x + 2}{x - 1} × \frac{-(x - 1)}{(x + 2)^2}\\=&-\frac{1}{x + 2}\end{aligned}$
3. 解方程$x^2 - 4x + 3 = 0$，因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
4. 考虑分式有意义的条件：分母$x - 1≠0$，$1 - x≠0$，$x + 2≠0$，故$x≠1$且$x≠-2$，舍去$x=1$，取$x=3$。
5. 代入$x=3$到最简式计算得：$-\frac{1}{3 + 2}=-\frac{1}{5}$。
【答案】
$-\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，解一元二次方程
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题时需注意运算顺序，保证通分、约分的正确性，尤其要牢记分式的分母不能为0，需对求得的未知数的值进行检验，舍去增根，避免代入无意义的取值导致错误。
【难度系数】
0.7
