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15.(宁夏)如图2-2-1，某小区有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60m²，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道。若设人行通道的宽度为x m，则根据题意列出关于x的方程是……【 】
A.$x^2 + 9x - 8 = 0$
B.$x^2 - 9x - 8 = 0$
C.$x^2 - 9x + 8 = 0$
D.$2x^2 - 9x + 8 = 0$
A.$x^2 + 9x - 8 = 0$
B.$x^2 - 9x - 8 = 0$
C.$x^2 - 9x + 8 = 0$
D.$2x^2 - 9x + 8 = 0$
答案
C
解析
【分析】
解决这类通道类面积应用题，可采用平移法简化计算：将人行通道全部平移到空地边缘，两块绿地即可拼成一个完整的矩形，只需表示出拼接后矩形的长和宽，再结合绿地总面积列方程化简即可。首先判断通道数量：水平方向（空地长的方向）共有3条竖直通道（左、中、右各1条），竖直方向（空地宽的方向）共有2条水平通道（上、下各1条），通道宽度均为x，由此可推出拼接后绿地的长和宽，再根据矩形面积公式列方程整理即可。
【解析】
设人行通道的宽度为x m。
将两块绿地平移合并后，得到的矩形绿地的长为$(18-3x)\mathrm{m}$，宽为$(6-2x)\mathrm{m}$。
根据两块绿地面积之和为$60\mathrm{m}^2$，结合矩形面积公式列方程：
$(18-3x)(6-2x)=60$
展开左边得：
$6x^2 - 54x + 108 = 60$
移项、合并同类项得：
$6x^2 -54x +48 = 0$
方程两边同时除以6化简得：
$x^2 -9x +8 = 0$
因此符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 平移法处理面积问题
【点评】
本题是常见的面积型一元二次方程应用题，核心技巧是通过平移法将分散的绿地拼接为规则矩形，简化长、宽的推导过程，解题时要注意准确数出不同方向的通道数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这类通道类面积应用题，可采用平移法简化计算：将人行通道全部平移到空地边缘，两块绿地即可拼成一个完整的矩形，只需表示出拼接后矩形的长和宽，再结合绿地总面积列方程化简即可。首先判断通道数量：水平方向（空地长的方向）共有3条竖直通道（左、中、右各1条），竖直方向（空地宽的方向）共有2条水平通道（上、下各1条），通道宽度均为x，由此可推出拼接后绿地的长和宽，再根据矩形面积公式列方程整理即可。
【解析】
设人行通道的宽度为x m。
将两块绿地平移合并后，得到的矩形绿地的长为$(18-3x)\mathrm{m}$，宽为$(6-2x)\mathrm{m}$。
根据两块绿地面积之和为$60\mathrm{m}^2$，结合矩形面积公式列方程：
$(18-3x)(6-2x)=60$
展开左边得：
$6x^2 - 54x + 108 = 60$
移项、合并同类项得：
$6x^2 -54x +48 = 0$
方程两边同时除以6化简得：
$x^2 -9x +8 = 0$
因此符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 平移法处理面积问题
【点评】
本题是常见的面积型一元二次方程应用题，核心技巧是通过平移法将分散的绿地拼接为规则矩形，简化长、宽的推导过程，解题时要注意准确数出不同方向的通道数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
16.(潍坊)关于$x$的方程$kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0$，下列说法正确的是 …………【 】
A.当$k = 0$时，方程无解
B.当$k = 1$时，方程有一个实数解
C.当$k = -1$时，方程有两个相等的实数解
D.当$k ≠ 0$时，方程有两个不相等的实数解
A.当$k = 0$时，方程无解
B.当$k = 1$时，方程有一个实数解
C.当$k = -1$时，方程有两个相等的实数解
D.当$k ≠ 0$时，方程有两个不相等的实数解
答案
C
解析
【分析】
本题考查含参数的方程根的情况判断，解题时需先根据k的取值判断方程类型：k=0时方程为一元一次方程，k≠0时为一元二次方程，再分别结合一元一次方程求解方法、一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的性质，逐个验证各选项即可得到正确结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：当k=0时，原方程化简为x - 1 = 0，解得x=1，方程有实数解，故A错误；
B选项：当k=1时，原方程化简为x² - 1 = 0，解得x₁=1，x₂=-1，方程有两个不相等的实数解，故B错误；
C选项：当k=-1时，原方程化简为-x² + 2x - 1 = 0，整理得x² - 2x + 1 = 0，此时判别式Δ=(-2)² - 4×1×1=0，所以方程有两个相等的实数解，故C正确；
D选项：当k≠0时，方程为一元二次方程，判别式Δ=(1-k)² - 4×k×(-1)=k² + 2k +1=(k+1)²≥0，当k=-1时Δ=0，方程有两个相等的实数解，并非总有两个不相等的实数解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程求解，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略k=0时方程为一元一次方程的情况，直接默认方程是二次方程进行判断，解题时要先根据参数取值确定方程类型，再对应分析根的情况，核心考查分类讨论的数学思想，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题考查含参数的方程根的情况判断，解题时需先根据k的取值判断方程类型：k=0时方程为一元一次方程，k≠0时为一元二次方程，再分别结合一元一次方程求解方法、一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的性质，逐个验证各选项即可得到正确结论。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：当k=0时，原方程化简为x - 1 = 0，解得x=1，方程有实数解，故A错误；
B选项：当k=1时，原方程化简为x² - 1 = 0，解得x₁=1，x₂=-1，方程有两个不相等的实数解，故B错误；
C选项：当k=-1时，原方程化简为-x² + 2x - 1 = 0，整理得x² - 2x + 1 = 0，此时判别式Δ=(-2)² - 4×1×1=0，所以方程有两个相等的实数解，故C正确；
D选项：当k≠0时，方程为一元二次方程，判别式Δ=(1-k)² - 4×k×(-1)=k² + 2k +1=(k+1)²≥0，当k=-1时Δ=0，方程有两个相等的实数解，并非总有两个不相等的实数解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程求解，一元二次方程根的判别式，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略k=0时方程为一元一次方程的情况，直接默认方程是二次方程进行判断，解题时要先根据参数取值确定方程类型，再对应分析根的情况，核心考查分类讨论的数学思想，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
17.(徐州)解方程:$x^2 - 2x - 3 = 0.$
答案
$x_1 = -1, x_2 = 3$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的基础题，首先观察方程为标准一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，可优先选择计算量更小的因式分解法解题：首先对二次三项式$x^2-2x-3$做十字相乘分解，找到两个数乘积为常数项$-3$、和为一次项系数$-2$，即$-3$和$1$，即可将方程左边拆分为两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
使用因式分解法求解：
第一步，对原方程左侧的二次三项式因式分解，可得：
$(x-3)(x+1)=0$
第二步，根据乘积为0的因式性质，可得两个一元一次方程：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
第三步，分别求解两个一元一次方程：
解$x-3=0$得$x=3$，解$x+1=0$得$x=-1$。
【答案】
$x_1 = -1, x_2 = 3$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，核心考查对一元二次方程常用解法的掌握程度，选择匹配的解法可以有效提升解题效率，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元二次方程的基础题，首先观察方程为标准一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，可优先选择计算量更小的因式分解法解题：首先对二次三项式$x^2-2x-3$做十字相乘分解，找到两个数乘积为常数项$-3$、和为一次项系数$-2$，即$-3$和$1$，即可将方程左边拆分为两个一次因式的乘积；再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
使用因式分解法求解：
第一步，对原方程左侧的二次三项式因式分解，可得：
$(x-3)(x+1)=0$
第二步，根据乘积为0的因式性质，可得两个一元一次方程：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
第三步，分别求解两个一元一次方程：
解$x-3=0$得$x=3$，解$x+1=0$得$x=-1$。
【答案】
$x_1 = -1, x_2 = 3$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，核心考查对一元二次方程常用解法的掌握程度，选择匹配的解法可以有效提升解题效率，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.9
18.(山西)解方程:$2(x-3)^2 = x^2 - 9.$
答案
$x_1 = 3, x_2 = 9$
解析
【分析】
观察方程结构可知，等号右侧的$x^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(x-3)(x+3)$，因此优先选择因式分解法求解，能简化计算过程。注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个根。解题时先将右侧项移到左侧，再对左侧因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：移项，得$2(x-3)^2 - (x^2 -9) = 0$
利用平方差公式分解$x^2-9$，得$2(x-3)^2 - (x-3)(x+3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)[2(x-3) - (x+3)] = 0$
化简括号内的整式：
$2(x-3)-(x+3) = 2x - 6 - x - 3 = x - 9$
因此方程可化为$(x-3)(x-9) = 0$
即$x-3=0$或$x-9=0$
解得$x_1=3，x_2=9$
【答案】
$x_1 = 3, x_2 = 9$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是解方程基础题，解题时要先观察方程结构选择简便解法，切忌直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.75
观察方程结构可知，等号右侧的$x^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(x-3)(x+3)$，因此优先选择因式分解法求解，能简化计算过程。注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个根。解题时先将右侧项移到左侧，再对左侧因式分解，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：移项，得$2(x-3)^2 - (x^2 -9) = 0$
利用平方差公式分解$x^2-9$，得$2(x-3)^2 - (x-3)(x+3) = 0$
提取公因式$(x-3)$，得$(x-3)[2(x-3) - (x+3)] = 0$
化简括号内的整式：
$2(x-3)-(x+3) = 2x - 6 - x - 3 = x - 9$
因此方程可化为$(x-3)(x-9) = 0$
即$x-3=0$或$x-9=0$
解得$x_1=3，x_2=9$
【答案】
$x_1 = 3, x_2 = 9$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是解方程基础题，解题时要先观察方程结构选择简便解法，切忌直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.75
19.(安徽)解方程：$x^2 - 2x = 4.$
答案
$x_1 = 1 + \sqrt{5}, x_2 = 1 - \sqrt{5}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解类题目，常用解法有配方法、公式法、因式分解法。观察方程左边为$x^2-2x$，一次项系数为-2，优先选择配方法更简便：只需在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左边转化为完全平方式，再通过开平方运算即可求出方程的解；也可先将方程整理为一般形式，代入一元二次方程求根公式计算。
【解析】
我们用配方法求解：
步骤1：方程两边同时加1（一次项系数-2的一半的平方是$(-1)^2=1$），得：
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$
步骤2：将左边写成完全平方形式，计算右边结果，得：
$(x - 1)^2 = 5$
步骤3：两边同时开平方，注意平方根有正负两个值：
$x - 1 = \pm\sqrt{5}$
步骤4：移项求解：
$x = 1 \pm \sqrt{5}$
【答案】
$x_1 = 1 + \sqrt{5}, x_2 = 1 - \sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程求解；配方法；开平方运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，重点考查配方法的应用，解题时要注意开平方后不要遗漏负根，计算过程仔细即可正确解答。
【难度系数】
0.85
本题是一元二次方程求解类题目，常用解法有配方法、公式法、因式分解法。观察方程左边为$x^2-2x$，一次项系数为-2，优先选择配方法更简便：只需在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左边转化为完全平方式，再通过开平方运算即可求出方程的解；也可先将方程整理为一般形式，代入一元二次方程求根公式计算。
【解析】
我们用配方法求解：
步骤1：方程两边同时加1（一次项系数-2的一半的平方是$(-1)^2=1$），得：
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$
步骤2：将左边写成完全平方形式，计算右边结果，得：
$(x - 1)^2 = 5$
步骤3：两边同时开平方，注意平方根有正负两个值：
$x - 1 = \pm\sqrt{5}$
步骤4：移项求解：
$x = 1 \pm \sqrt{5}$
【答案】
$x_1 = 1 + \sqrt{5}, x_2 = 1 - \sqrt{5}$
【知识点】
一元二次方程求解；配方法；开平方运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，重点考查配方法的应用，解题时要注意开平方后不要遗漏负根，计算过程仔细即可正确解答。
【难度系数】
0.85
20.(北京)关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2m+1)x + m^2 -1 =0$有两个不相等的实数根.
(1) 求$m$的取值范围.
(2) 写出一个满足条件的$m$的值,并求此时方程的根.
(1) 求$m$的取值范围.
(2) 写出一个满足条件的$m$的值,并求此时方程的根.
答案
20. 提示:(1) 由 $\Delta = 4m + 5 ＞ 0$,得 $m ＞ -\frac{5}{4}$.
(2) 如 $m = 1$,方程为 $x^2 + 3x = 0$,
解得 $x_1 = 0, x_2 = -3$.
(2) 如 $m = 1$,方程为 $x^2 + 3x = 0$,
解得 $x_1 = 0, x_2 = -3$.
解析
【分析】
（1）对于一元二次方程，当判别式$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，因此我们先确定方程各项系数，代入判别式公式得到关于$m$的不等式，求解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）在第（1）问求得的$m$的取值范围内选取一个便于计算的数值，代入原方程后求解方程的根即可。
【解析】
（1）已知一元二次方程$x^2 + (2m+1)x + m^2 -1 = 0$有两个不相等的实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2m+1$，常数项$c=m^2-1$。
根据一元二次方程根的判别式性质，得$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入系数计算：
$\begin{aligned}\Delta&=(2m+1)^2 - 4×1×(m^2 -1)\\&=4m^2 + 4m +1 -4m^2 +4\\&=4m +5\end{aligned}$
列不等式$4m +5 ＞ 0$，解得$m ＞ -\frac{5}{4}$。
（2）选取$m=1$（满足$m ＞ -\frac{5}{4}$，取值不唯一），将$m=1$代入原方程得：
$x^2 + (2×1 +1)x + 1^2 -1 = 0$，化简得$x^2 + 3x = 0$
因式分解得$x(x+3)=0$，因此$x=0$或$x+3=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-3$。
【答案】
（1）$m ＞ -\dfrac{5}{4}$
（2）示例：$m=1$时，方程的根为$x_1=0$，$x_2=-3$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，第一问属于基础计算类问题，第二问为开放性问题，只要选取的$m$值符合第一问的取值范围、计算正确即可，整体侧重对基础公式和计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
（1）对于一元二次方程，当判别式$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，因此我们先确定方程各项系数，代入判别式公式得到关于$m$的不等式，求解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）在第（1）问求得的$m$的取值范围内选取一个便于计算的数值，代入原方程后求解方程的根即可。
【解析】
（1）已知一元二次方程$x^2 + (2m+1)x + m^2 -1 = 0$有两个不相等的实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2m+1$，常数项$c=m^2-1$。
根据一元二次方程根的判别式性质，得$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，代入系数计算：
$\begin{aligned}\Delta&=(2m+1)^2 - 4×1×(m^2 -1)\\&=4m^2 + 4m +1 -4m^2 +4\\&=4m +5\end{aligned}$
列不等式$4m +5 ＞ 0$，解得$m ＞ -\frac{5}{4}$。
（2）选取$m=1$（满足$m ＞ -\frac{5}{4}$，取值不唯一），将$m=1$代入原方程得：
$x^2 + (2×1 +1)x + 1^2 -1 = 0$，化简得$x^2 + 3x = 0$
因式分解得$x(x+3)=0$，因此$x=0$或$x+3=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-3$。
【答案】
（1）$m ＞ -\dfrac{5}{4}$
（2）示例：$m=1$时，方程的根为$x_1=0$，$x_2=-3$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，第一问属于基础计算类问题，第二问为开放性问题，只要选取的$m$值符合第一问的取值范围、计算正确即可，整体侧重对基础公式和计算能力的考查。
【难度系数】
0.8
