1.用公式法解方程$2x^2 + 5x = 3$时，应先将方程化为，对方程变形不能忽略。

1. 一般形式(或写方程)；系数的符号。

【分析】
要解决这道题，首先回忆公式法解一元二次方程的基本逻辑：公式法是通过求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算方程的根，使用公式的前提是要先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，而这三个系数是对应一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中的参数，因此首先需要把原方程化为一般形式。在将原方程右侧的项移到左侧的变形过程中，要注意移项需变号的规则，不能忽略系数的符号，否则会导致$a、b、c$取值错误，后续代入公式计算就会出错。
【解析】
公式法解一元二次方程的首要步骤是将方程整理为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，才能准确提取对应的系数参数。
原方程$2x^2 + 5x = 3$需要把右侧的3移到左侧，变形为$2x^2+5x-3=0$，移项过程中移动的项要改变符号，因此变形时不能忽略系数的符号。
【答案】
一般形式(或写方程)；系数的符号。
【知识点】
1. 公式法解方程
2. 一元二次方程一般形式
3. 移项法则
【点评】
本题考查公式法解方程的基础步骤，属于概念类基础题，掌握将方程化为一般形式的操作及注意事项，是后续正确运用公式法求解方程的核心前提。
【难度系数】
0.9

2.指出下列各解答方法错误的原因：
(1)解方程$x(x-3)=2(x-3)$，方程两边同时除以$(x-3)$，得$x=2$.

(2)解方程$x^2 -2x -3=12$，方程变形为$(x+1)(x-3)=12$，则$x+1=12$或$x-3=12$，所以$x=11$或$x=15$.

(3)已知关于$x$的方程$kx^2 -4kx +k -6=0$有两个相等的实数根，求$k$的值. 由于$\Delta =b^2 -4ac=(-4k)^2 -4k(k-6)=12k^2 +24k=0$，所以$k=0$或$k=-2$.

2.(1) 方程两边同除以含未知数的代数式可能导致丢根.
(2) 两个因式积不为零时，一般不能确定各个因式的值，更不能都等于12.
(3) 忽略了一元二次方程二次项系数不能为零这个条件.

【分析】
我们逐个分析三个错误解法的思考逻辑：
1. 对于第一小题，需回忆等式的基本性质：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。如果除以含未知数的整式，要先确认该整式不为0，否则会丢失使该整式为0的方程的根；
2. 对于第二小题，需回忆因式分解法解一元二次方程的核心依据：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0。只有当方程整理为“左边是因式乘积、右边为0”的形式时，才能拆分因式分别求解，否则拆分没有数学依据；
3. 对于第三小题，需明确：只有一元二次方程才有两个实数根（相等或不等），因此使用判别式Δ计算前，首先要保证方程的二次项系数不为0，否则方程退化为一次方程，不存在两个实根的情况。
【解析】
(1) 解方程时直接在两边除以$(x-3)$，默认了$x-3≠0$，但实际上$x-3$可能为0，$x=3$也是原方程的根，该操作会丢失这个根，不符合等式性质的使用条件；
(2) 因式分解法解方程要求等式右侧为0，本题中左边因式分解后乘积为12，不是0，不能直接令两个因式分别等于12，该推导没有依据，会得到错误的根，也会漏根；
(3) 题目说明方程有两个相等的实数根，说明方程是一元二次方程，要求二次项系数$k≠0$，原解法计算出$k=0$时，方程变为$-6=0$，无意义，不是一元二次方程，不符合题意，需要舍去，原解法忽略了二次项系数不为0的前提条件。
【答案】
(1) 方程两边同除以含未知数的代数式可能导致丢根.
(2) 两个因式积不为零时，一般不能确定各个因式的值，更不能都等于12.
(3) 忽略了一元二次方程二次项系数不能为零这个条件.
【知识点】
等式的性质、因式分解法解方程、一元二次方程判别式应用
【点评】
本题围绕一元二次方程相关的常见易错点设置，考查学生对概念适用前提的掌握程度，能够帮助学生养成严谨的解题思维，避免因忽略细节出现同类错误。
【难度系数】
0.7

3.关于$x$的一元二次方程$x^2 - ax + 3 = 0$的一个根比$a$小1，则另一个根是【 】

A.4
B.3
C.2
D.1

D

【分析】
解题时首先根据“一个根比a小1”表示出这个根为a-1，再结合一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将x=a-1代入原方程求出参数a的值，最后代入原方程求解或利用韦达定理计算另一个根即可。
【解析】
设方程中比a小1的根为$x_1$，则$x_1 = a - 1$。
∵$x_1$是方程$x^2 - ax + 3 = 0$的根，将$x = a - 1$代入方程得：
$(a - 1)^2 - a(a - 1) + 3 = 0$
展开并合并同类项：
$a^2 - 2a + 1 - a^2 + a + 3 = 0$
$-a + 4 = 0$
解得：$a = 4$。
将$a=4$代入原方程得：$x^2 - 4x + 3 = 0$，
因式分解得：$(x - 1)(x - 3) = 0$，
解得$x_1=3$，$x_2=1$。
其中$x=3 = a-1=4-1$，是题目所述的已知根，因此另一个根为1。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义；因式分解法解一元二次方程；韦达定理
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，核心是利用根的定义建立关于参数a的方程，求出参数后即可得到完整方程求解另一个根，解题思路清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7

4.已知$m$为任意实数，$P=\frac{7}{15}m -1$，$Q=m^2 - \frac{8}{15}m$，则$P$与$Q$的关系为$······$【 】

A.$P＞Q$
B.$P=Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定

C

【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法：先计算两个代数式的差，再判断差的正负性，若差大于0，则被减数大；若差小于0，则减数大；若差等于0，则两者相等。本题可先计算Q-P，再通过配方将结果转化为“完全平方+正数”的形式，结合平方的非负性即可判断差的正负，进而得到P和Q的大小关系。
【解析】
要判断P与Q的大小关系，计算$Q-P$：
$\begin{aligned}Q-P&=(m^2 - \frac{8}{15}m) - (\frac{7}{15}m -1)\\&=m^2 - \frac{8}{15}m - \frac{7}{15}m +1\\&=m^2 - m +1\end{aligned}$
对$m^2 -m +1$进行配方：
$\begin{aligned}m^2 -m +1&=m^2 -m + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 +1\\&=(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
∵m为任意实数，根据平方的非负性，$(m-\frac{1}{2})^2≥0$，
∴$(m-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$Q-P＞0$，
∴$Q＞P$，也就是$P＜Q$。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，核心考查作差法的应用以及配方运算的熟练度，通过转化为完全平方式判断符号的思路在代数式证明、最值求解类问题中也经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

5. 关于$x$的方程$x^2 - (m+1)x + m = 0$的两根的差为1，那么$m$的值为……【 】

A.0或1
B.1或2
C.$-1$或2
D.0或2

D

【分析】
本题要求根据一元二次方程两根的差求参数m的值，我们可以先通过因式分解法直接求出方程的两个根，再结合“两根差为1”的条件列方程求解。注意两根的差为1包含两根中任意一个比另一个大1的情况，所以计算时要带绝对值避免漏解。也可以利用韦达定理，结合完全平方公式的变形$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$列式计算，两种方法均符合学段要求。
【解析】
首先对原方程进行因式分解：
$x^2 - (m+1)x + m = 0$
十字相乘得：$(x-1)(x-m)=0$
解得方程的两根为$x_1=1$，$x_2=m$
已知两根的差为1，因此两根差的绝对值为1，即：
$|x_1 - x_2| = |1 - m| = 1$
去掉绝对值符号得两种情况：
① $1 - m = 1$，解得$m=0$
② $1 - m = -1$，解得$m=2$
综上，m的值为0或2，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 绝对值的性质
3. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，解题的关键是准确求出方程的根，同时注意两根差为1包含两种大小关系，不要遗漏带绝对值的步骤，避免漏解。
【难度系数】
0.7

6. 关于$x$的方程$m(x+h)^2 + k = 0$（$m,h,k$均为常数，$m≠0$）的解是$x_1=-3$，$x_2=2$，那么方程$m(x+h-3)^2 + k = 0$的解是…………………………【 】

A.$-6,-1$
B.$0,5$
C.$-3,5$
D.$-6,2$

B

【分析】
解题时先观察两个方程的结构特点，发现二者形式高度相似，仅含x的部分存在差异：第二个方程中的$x+h-3$可整理为$(x-3)+h$，相当于把第一个方程中的x替换为了$x-3$。根据一元二次方程解的定义，令第二个方程中$(x-3)$的取值等于第一个方程的两个解，即可快速求出第二个方程的解，无需展开计算参数m、h、k的具体值。
【解析】
已知方程$m(x+h)^2 + k = 0$的解为$x_1=-3$，$x_2=2$。
将待解方程$m(x+h-3)^2 + k = 0$变形为：$m[(x-3)+h]^2 + k = 0$。
设$y=x-3$，则上述方程可化为$m(y+h)^2 +k=0$，该方程的解与已知方程的解相同，即$y_1=-3$，$y_2=2$。
分别列方程求解x：
当$y=-3$时，$x-3=-3$，解得$x=0$；
当$y=2$时，$x-3=2$，解得$x=5$。
因此方程$m(x+h-3)^2 +k=0$的解为$x_1=0$，$x_2=5$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的定义，换元法解方程
【点评】
本题侧重考查整体代换的数学思想，无需计算未知参数的具体值，通过观察方程结构的共性即可快速求解，能有效提升解题效率，是一元二次方程解的应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

7.关于$x$的一元二次方程$(k^2 - 1)x^2 - (3k - 1)x + 2 = 0$有一个根为1，求$k$的值。
请指出以下解答方法错误的原因，并把错误纠正过来。
解:把方程的根1代入方程，得
$k^2 - 3k + 2 = 0$，解得$k_1 = 1,k_2 = 2$。
所以$k$的值为1或2。

7. 忽略了$k^2 - 1 ≠ 0$这个条件。更正：由于$k^2 - 1 ≠ 0$，即$k ≠ \pm 1$，所以$k$值为2.

【分析】
要解决这道题，首先要抓住题目中“一元二次方程”这个关键前提，一元二次方程要求二次项系数不能为0，这是容易被忽略的隐含条件。解题思路分三步：第一步先根据一元二次方程的定义，确定k的限制条件；第二步将x=1代入方程，求解得到k的可能值；第三步结合第一步的限制条件，排除不符合要求的k值，得到最终正确结果。原解答的问题就是漏掉了第一步的限制条件，导致出现增根。
【解析】
原解答错误原因：忽略了一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，即$k^2 - 1 ≠ 0$。
正确解法：
1. 因为方程$(k^2 - 1)x^2 - (3k - 1)x + 2 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数不为0：
$k^2 - 1 ≠ 0$，解得$k ≠ ±1$。
2. 将$x=1$代入原方程，得：
$(k^2 - 1)×1^2 - (3k - 1)×1 + 2 = 0$
化简得：$k^2 - 1 - 3k + 1 + 2 = 0$，即$k^2 - 3k + 2 = 0$
因式分解得：$(k-1)(k-2)=0$，解得$k_1=1$，$k_2=2$。
3. 结合$k ≠ ±1$的限制条件，舍去$k=1$，因此$k=2$。
【答案】
忽略了$k^2 - 1 ≠ 0$这个条件。更正：由于$k^2 - 1 ≠ 0$，即$k ≠ \pm 1$，所以$k$值为2。
【知识点】
一元二次方程的定义；方程的根的性质；解一元二次方程
【点评】
本题是典型的易错题，核心陷阱在于题干中“一元二次方程”的隐含限制条件，很多同学做题时只关注方程的根的代入计算，忽略了二次项系数不能为0的要求，从而出现增根。做题时要先审题明确题目的前提条件，求解后注意检验结果是否符合所有限制要求。
【难度系数】
0.6