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8.已知关于$x$的方程$(m-2)x^2 -2(m+1)x +m+1=0$有实数根，求$m$的取值范围.
甲的解法:根据题意,得
$\Delta =4(m+1)^2 -4(m-2)(m+1)≥0$.
整理,得$3m+3≥0$.
解这个不等式,得$m≥-1$.
由于$m-2≠0$,即$m≠2$,
所以$m$的取值范围是$m≥-1$且$m≠2$.
乙的解法:当$m-2=0$即$m=2$时,
原方程为$-6x+3=0$,是一元一次方程,
解这个方程,得$x=\frac{1}{2}$,方程有实数根.
当$m-2≠0$即$m≠2$时,是一元二次方程,要使一元二次方程有实数根,须满足
$\Delta =4(m+1)^2 -4(m-2)(m+1)≥0$.
整理,得$3m+3≥0$,即$m≥-1$.
综上可得,$m$的取值范围是$m≥-1$.
比较以上两种解法,你认为这两种解法是否有错误,请说明原因.
9.已知$α,β$是方程$x^2 +2x -5=0$的两个不同实数根,求$α^2 +αβ +2α$的值.
小明、小亮及小丽三人的解答思路是:
小明:利用求根公式求得两根,然后将两根代入$α^2 +αβ +2α$中求值.
小亮:将$α^2 +αβ +2α$分解因式,再利用根与系数的关系得到相关式子的值,并代入求值.
小丽:利用根的定义及根与系数的关系即可解决.
请你从上述三种思路提示中选取一种自己喜欢的方法解决上述问题.
甲的解法:根据题意,得
$\Delta =4(m+1)^2 -4(m-2)(m+1)≥0$.
整理,得$3m+3≥0$.
解这个不等式,得$m≥-1$.
由于$m-2≠0$,即$m≠2$,
所以$m$的取值范围是$m≥-1$且$m≠2$.
乙的解法:当$m-2=0$即$m=2$时,
原方程为$-6x+3=0$,是一元一次方程,
解这个方程,得$x=\frac{1}{2}$,方程有实数根.
当$m-2≠0$即$m≠2$时,是一元二次方程,要使一元二次方程有实数根,须满足
$\Delta =4(m+1)^2 -4(m-2)(m+1)≥0$.
整理,得$3m+3≥0$,即$m≥-1$.
综上可得,$m$的取值范围是$m≥-1$.
比较以上两种解法,你认为这两种解法是否有错误,请说明原因.
9.已知$α,β$是方程$x^2 +2x -5=0$的两个不同实数根,求$α^2 +αβ +2α$的值.
小明、小亮及小丽三人的解答思路是:
小明:利用求根公式求得两根,然后将两根代入$α^2 +αβ +2α$中求值.
小亮:将$α^2 +αβ +2α$分解因式,再利用根与系数的关系得到相关式子的值,并代入求值.
小丽:利用根的定义及根与系数的关系即可解决.
请你从上述三种思路提示中选取一种自己喜欢的方法解决上述问题.
答案
8. 乙的解法正确，因为题目中没有明确是一元二次方程，即不能确定$m-2 ≠ 0$，应分类讨论.
9. 提示:由$α$是方程的根，得$α^2 +2α -5 = 0$.
$\therefore α^2 +2α +αβ = 5 + αβ$.
$\because α,β$是方程$x^2 +2x -5 = 0$的两个实数根，
由根与系数的关系得$αβ = -5$，
$\therefore α^2 +2α +αβ = 0$.
9. 提示:由$α$是方程的根，得$α^2 +2α -5 = 0$.
$\therefore α^2 +2α +αβ = 5 + αβ$.
$\because α,β$是方程$x^2 +2x -5 = 0$的两个实数根，
由根与系数的关系得$αβ = -5$，
$\therefore α^2 +2α +αβ = 0$.
解析
【分析】
第8题：解题时首先要注意题目仅说明是“关于x的方程”，未明确为一元二次方程，因此需要分二次项系数为0（对应一元一次方程）和不为0（对应一元二次方程）两种情况讨论。甲的错误是直接默认方程为一元二次方程，忽略了m=2时一次方程也有实根的情况；乙分类讨论全面，先考虑一次方程再考虑二次方程，思路正确。
第9题：选择小丽的方法最简便，解题思路为：首先根据一元二次方程根的定义，将α代入原方程得到α²+2α的值，再将所求代数式拆分为含α²+2α和αβ的两部分，最后利用根与系数的关系求出αβ的值，代入即可算出结果，无需计算具体的根，能大幅简化运算。
【解析】
第8题解析
甲的解法错误，乙的解法正确，原因如下：
题目没有限定方程为一元二次方程，因此二次项系数可以为0：
1. 当$m-2=0$即$m=2$时，原方程化为$-6x+3=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$m-2≠0$即$m≠2$时，方程为一元二次方程，有实根需满足判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta =4(m+1)^2 -4(m-2)(m+1)=12(m+1)≥0$，解得$m≥-1$，此时m的范围是$m≥-1$且$m≠2$。
综合两种情况，m的取值范围是$m≥-1$，甲错误排除了$m=2$的合法取值，乙分类讨论全面，解法正确。
第9题解析（选择小丽的方法）
1. 因为$α$是方程$x^2 +2x -5=0$的实数根，将$α$代入方程得：
$α^2 +2α -5=0$，整理得$α^2 +2α =5$。
2. 将所求代数式变形：$α^2 +αβ +2α = (α^2 +2α) + αβ$，代入$α^2 +2α =5$，得原式$=5+αβ$。
3. 根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 +2x -5=0$的两根之积$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1}=-5$。
4. 将$αβ=-5$代入得：原式$=5+(-5)=0$。
【答案】
8. 乙的解法正确，因为题目中没有明确是一元二次方程，即不能确定$m-2 ≠ 0$，应分类讨论。
9. $\boxed{0}$
【知识点】
1. 一元二次方程判别式
2. 分类讨论思想
3. 根与系数的关系
【点评】
第8题提醒我们审题要仔细，当题目未明确方程类型时，要注意分类讨论一次方程和二次方程两种情况，避免漏解；第9题体现了整体代入思想的优势，利用根的定义和韦达定理求解，比直接求根代入运算更简便，准确率更高。
【难度系数】
0.7
第8题：解题时首先要注意题目仅说明是“关于x的方程”，未明确为一元二次方程，因此需要分二次项系数为0（对应一元一次方程）和不为0（对应一元二次方程）两种情况讨论。甲的错误是直接默认方程为一元二次方程，忽略了m=2时一次方程也有实根的情况；乙分类讨论全面，先考虑一次方程再考虑二次方程，思路正确。
第9题：选择小丽的方法最简便，解题思路为：首先根据一元二次方程根的定义，将α代入原方程得到α²+2α的值，再将所求代数式拆分为含α²+2α和αβ的两部分，最后利用根与系数的关系求出αβ的值，代入即可算出结果，无需计算具体的根，能大幅简化运算。
【解析】
第8题解析
甲的解法错误，乙的解法正确，原因如下：
题目没有限定方程为一元二次方程，因此二次项系数可以为0：
1. 当$m-2=0$即$m=2$时，原方程化为$-6x+3=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根，符合题意；
2. 当$m-2≠0$即$m≠2$时，方程为一元二次方程，有实根需满足判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta =4(m+1)^2 -4(m-2)(m+1)=12(m+1)≥0$，解得$m≥-1$，此时m的范围是$m≥-1$且$m≠2$。
综合两种情况，m的取值范围是$m≥-1$，甲错误排除了$m=2$的合法取值，乙分类讨论全面，解法正确。
第9题解析（选择小丽的方法）
1. 因为$α$是方程$x^2 +2x -5=0$的实数根，将$α$代入方程得：
$α^2 +2α -5=0$，整理得$α^2 +2α =5$。
2. 将所求代数式变形：$α^2 +αβ +2α = (α^2 +2α) + αβ$，代入$α^2 +2α =5$，得原式$=5+αβ$。
3. 根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 +2x -5=0$的两根之积$αβ = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1}=-5$。
4. 将$αβ=-5$代入得：原式$=5+(-5)=0$。
【答案】
8. 乙的解法正确，因为题目中没有明确是一元二次方程，即不能确定$m-2 ≠ 0$，应分类讨论。
9. $\boxed{0}$
【知识点】
1. 一元二次方程判别式
2. 分类讨论思想
3. 根与系数的关系
【点评】
第8题提醒我们审题要仔细，当题目未明确方程类型时，要注意分类讨论一次方程和二次方程两种情况，避免漏解；第9题体现了整体代入思想的优势，利用根的定义和韦达定理求解，比直接求根代入运算更简便，准确率更高。
【难度系数】
0.7
