登录
10.已知关于$x$的一元二次方程$k^2x^2 + 2(k-1)x + 1 = 0$.
（1）若方程有实数根，求$k$的取值范围.
（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于8，求$k$的值.
解:(1)由于$k^2x^2 + 2(k-1)x + 1 = 0$是一元二次方程且有实数根，
$\therefore \Delta = [2(k-1)]^2 - 4k^2 ＞ 0$，即$k ＜ \frac{1}{2}$.
（2）设方程的两个实数根为$x_1,x_2$. 则
$x_1 + x_2 = \frac{2(k-1)}{k^2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{k^2}$.
$\therefore \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2}{x_1^2x_2^2}$
$= 4(k-1)^2 - 2k^2 = 2(k^2 - 4k + 2) = 8$.
整理，得$(k - 2)^2 = 6$.
解得$k_1 = 2 - \sqrt{6}$，$k_2 = 2 + \sqrt{6}$.
以上解答存在多处错误，请你指出来并给予纠正.
（1）若方程有实数根，求$k$的取值范围.
（2）若方程的两个实数根的倒数的平方和等于8，求$k$的值.
解:(1)由于$k^2x^2 + 2(k-1)x + 1 = 0$是一元二次方程且有实数根，
$\therefore \Delta = [2(k-1)]^2 - 4k^2 ＞ 0$，即$k ＜ \frac{1}{2}$.
（2）设方程的两个实数根为$x_1,x_2$. 则
$x_1 + x_2 = \frac{2(k-1)}{k^2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{k^2}$.
$\therefore \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 + 2x_1x_2}{x_1^2x_2^2}$
$= 4(k-1)^2 - 2k^2 = 2(k^2 - 4k + 2) = 8$.
整理，得$(k - 2)^2 = 6$.
解得$k_1 = 2 - \sqrt{6}$，$k_2 = 2 + \sqrt{6}$.
以上解答存在多处错误，请你指出来并给予纠正.
答案
10. 问题：① 求$k$的取值范围有误；
② 由根与系数的关系得$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值有误；
③ 求$k$值过程配方有误；
④ 所求$k$的一个值不合题意.
(1) 更正:由于$k^2x^2 + 2(k-1)x + 1 = 0$是一元二次方程且有实数根，则$k^2 ≠ 0$，即$k ≠ 0$，且
$\Delta = [2(k-1)]^2 - 4k^2 = -8k + 4 ≥ 0$，
$\therefore k ≤ \frac{1}{2},且k ≠ 0$.
(2) 更正:设方程的两个实数根为$x_1,x_2$. 则
$x_1 + x_2 = -\frac{2(k-1)}{k^2}, x_1x_2 = \frac{1}{k^2}$.
$\therefore \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1^2x_2^2}$
$= 4(k-1)^2 - 2k^2 = 2(k^2 - 4k + 2) = 8$.
整理，得$(k - 2)^2 = 6$.
解得$k_1 = 2 - \sqrt{6}, k_2 = 2 + \sqrt{6}$.
根据$k$的取值范围得$k = 2 - \sqrt{6}$.
② 由根与系数的关系得$x_1 + x_2$和$x_1x_2$的值有误；
③ 求$k$值过程配方有误；
④ 所求$k$的一个值不合题意.
(1) 更正:由于$k^2x^2 + 2(k-1)x + 1 = 0$是一元二次方程且有实数根，则$k^2 ≠ 0$，即$k ≠ 0$，且
$\Delta = [2(k-1)]^2 - 4k^2 = -8k + 4 ≥ 0$，
$\therefore k ≤ \frac{1}{2},且k ≠ 0$.
(2) 更正:设方程的两个实数根为$x_1,x_2$. 则
$x_1 + x_2 = -\frac{2(k-1)}{k^2}, x_1x_2 = \frac{1}{k^2}$.
$\therefore \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1^2x_2^2}$
$= 4(k-1)^2 - 2k^2 = 2(k^2 - 4k + 2) = 8$.
整理，得$(k - 2)^2 = 6$.
解得$k_1 = 2 - \sqrt{6}, k_2 = 2 + \sqrt{6}$.
根据$k$的取值范围得$k = 2 - \sqrt{6}$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的综合应用，解题思路如下：①解决第一问时，首先要明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，其次方程有实数根意味着判别式Δ≥0（包含两个相等实根的情况），联立两个条件即可求出k的取值范围；②解决第二问时，首先要准确记忆根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；其次要正确对代数式变形，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；最后求出k值后必须代入第一问的取值范围检验，舍去不符合条件的解。
【解析】
首先指出原解答的4处错误：
① 第一问求k的取值范围时，遗漏了一元二次方程二次项系数不为0的条件，且判别式符号使用错误（有实根应Δ≥0而非Δ＞0）；
② 根与系数关系应用错误，$x_1+x_2$和$x_1x_2$的符号均有误；
③ 代数式变形错误，$x_1^2+x_2^2$应等于$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，原解答误写为加$2x_1x_2$；
④ 求出k值后未结合k的取值范围检验，多保留了不符合条件的解。
更正解答：
(1)
∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数$k^2≠0$，即$k≠0$，
又
∵方程有实数根，
∴$\Delta = [2(k-1)]^2 - 4k^2 ≥ 0$，
展开计算得：$4(k^2-2k+1)-4k^2 = -8k +4 ≥0$，解得$k≤\frac{1}{2}$，
综上，k的取值范围是$k≤\frac{1}{2}$且$k≠0$。
(2) 设方程的两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2 = -\frac{2(k-1)}{k^2}$，$x_1x_2 = \frac{1}{k^2}$，
对所求代数式变形：
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$，
代入根与系数的结果计算：
$=\frac{4(k-1)^2 - 2k^2}{1}=8$，
整理得$k^2-4k-2=0$，配方得$(k-2)^2=6$，解得$k_1=2+\sqrt{6}$，$k_2=2-\sqrt{6}$，
结合(1)中k的取值范围，$2+\sqrt{6}＞\frac{1}{2}$不符合条件舍去，
∴$k=2-\sqrt{6}$。
【答案】
原解答错误：① 遗漏二次项系数不为0的条件，判别式符号错误；② 根与系数关系的结果符号错误；③ 平方和变形时符号错误；④ 未检验k的取值范围舍去不合理解。
更正后结果：(1)$k≤ \frac{1}{2}$且$k≠ 0$；(2)$k=2-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，易错点较多，重点考查对概念掌握的严谨性和代数变形能力，解题时要注意前提条件的限制，求出参数后需检验是否符合题意，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
本题考查一元二次方程的综合应用，解题思路如下：①解决第一问时，首先要明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，其次方程有实数根意味着判别式Δ≥0（包含两个相等实根的情况），联立两个条件即可求出k的取值范围；②解决第二问时，首先要准确记忆根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；其次要正确对代数式变形，$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$；最后求出k值后必须代入第一问的取值范围检验，舍去不符合条件的解。
【解析】
首先指出原解答的4处错误：
① 第一问求k的取值范围时，遗漏了一元二次方程二次项系数不为0的条件，且判别式符号使用错误（有实根应Δ≥0而非Δ＞0）；
② 根与系数关系应用错误，$x_1+x_2$和$x_1x_2$的符号均有误；
③ 代数式变形错误，$x_1^2+x_2^2$应等于$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，原解答误写为加$2x_1x_2$；
④ 求出k值后未结合k的取值范围检验，多保留了不符合条件的解。
更正解答：
(1)
∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数$k^2≠0$，即$k≠0$，
又
∵方程有实数根，
∴$\Delta = [2(k-1)]^2 - 4k^2 ≥ 0$，
展开计算得：$4(k^2-2k+1)-4k^2 = -8k +4 ≥0$，解得$k≤\frac{1}{2}$，
综上，k的取值范围是$k≤\frac{1}{2}$且$k≠0$。
(2) 设方程的两个实数根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系：
$x_1+x_2 = -\frac{2(k-1)}{k^2}$，$x_1x_2 = \frac{1}{k^2}$，
对所求代数式变形：
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$，
代入根与系数的结果计算：
$=\frac{4(k-1)^2 - 2k^2}{1}=8$，
整理得$k^2-4k-2=0$，配方得$(k-2)^2=6$，解得$k_1=2+\sqrt{6}$，$k_2=2-\sqrt{6}$，
结合(1)中k的取值范围，$2+\sqrt{6}＞\frac{1}{2}$不符合条件舍去，
∴$k=2-\sqrt{6}$。
【答案】
原解答错误：① 遗漏二次项系数不为0的条件，判别式符号错误；② 根与系数关系的结果符号错误；③ 平方和变形时符号错误；④ 未检验k的取值范围舍去不合理解。
更正后结果：(1)$k≤ \frac{1}{2}$且$k≠ 0$；(2)$k=2-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，易错点较多，重点考查对概念掌握的严谨性和代数变形能力，解题时要注意前提条件的限制，求出参数后需检验是否符合题意，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
11.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤衫,第一个月以80元/件销售,售出了200件;第二个月若单价不变,预计可售出200件.根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,批发商为了增加销售量,决定第二个月降价销售,最低单价高于进价;第二个月结束后,将剩余的T恤衫一次性清仓销售,清仓单价为40元.设第二个月单价降低x元.
（1）根据题意填表(代数式无须化简):
（2）批发商希望通过销售这批T恤衫获利9000元,那么第二月的销售单价应为多少元?
（1）根据题意填表(代数式无须化简):
（2）批发商希望通过销售这批T恤衫获利9000元,那么第二月的销售单价应为多少元?
答案
11. (1) 自上至下、自左至右依次为
$80 - x$，$200 + 10x$； $40$，$400 - 10x$.
(2) 提示:依题意,得
$(80 - 50) × 200 + (80 - x - 50)(200 + 10x)$
$- (50 - 40)(400 - 10x) = 9000$.
解得$x_1 = x_2 = 10$.
$\therefore 80 - x = 70$.
$80 - x$，$200 + 10x$； $40$，$400 - 10x$.
(2) 提示:依题意,得
$(80 - 50) × 200 + (80 - x - 50)(200 + 10x)$
$- (50 - 40)(400 - 10x) = 9000$.
解得$x_1 = x_2 = 10$.
$\therefore 80 - x = 70$.
解析
【分析】
（1）填表思路：先明确各阶段售价和销量的关联：第二个月单价比第一个月80元降低x元，直接可得对应单价；销量在原预计200件基础上，每降1元多售10件，可得出第二个月销量；清仓单价题目直接给出，总进货量减去前两个月销量即可得到清仓销量。
（2）利润问题解题思路：总利润=第一个月利润+第二个月利润-清仓亏损额（清仓售价低于进价，属于亏损）。按照“单件利润×销量=阶段利润”分别计算三个阶段的盈亏，结合总获利9000元列一元二次方程求解，最后验证解是否满足“第二月单价高于进价”的实际要求。
【解析】
（1）第二个月单价：第一个月单价为80元，降低x元后为$\boxed{80 - x}$元；
第二个月销量：原预计销售200件，单价每降1元多售10件，降x元多售10x件，故销量为$\boxed{200 + 10x}$件；
清仓时单价：题目明确清仓单价为$\boxed{40}$元；
清仓时销量：总进货量为800件，减去第一个月售出的200件、第二个月售出的$(200+10x)$件，即$800-200-(200+10x)=\boxed{400 - 10x}$件。
（2）根据总获利9000元列方程：
第一个月单件利润为$80-50=30$元，利润为$30×200$元；
第二个月单件利润为$(80-x-50)$元，销量为$(200+10x)$件，利润为$(80-x-50)(200+10x)$元；
清仓阶段单件亏损$50-40=10$元，总亏损为$10×(400-10x)$元。
因此列方程得：
$(80 - 50)×200 + (80 - x - 50)(200 + 10x) - (50 - 40)(400 - 10x) = 9000$
整理得：
$x^2 -20x +100 = 0$
解得$x_1=x_2=10$。
验证：此时第二个月单价为$80-10=70$元，$70＞50$，符合单价高于进价的要求。
【答案】
（1）自上至下、自左至右依次为：$80 - x$，$200 + 10x$；$40$，$400 - 10x$
（2）第二个月的销售单价应为70元。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售阶段的售价、销量、利润的对应关系，注意清仓阶段为亏损状态，计算总利润时要扣除这部分亏损，求出方程的解后需要验证是否符合题目的实际限制条件，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
（1）填表思路：先明确各阶段售价和销量的关联：第二个月单价比第一个月80元降低x元，直接可得对应单价；销量在原预计200件基础上，每降1元多售10件，可得出第二个月销量；清仓单价题目直接给出，总进货量减去前两个月销量即可得到清仓销量。
（2）利润问题解题思路：总利润=第一个月利润+第二个月利润-清仓亏损额（清仓售价低于进价，属于亏损）。按照“单件利润×销量=阶段利润”分别计算三个阶段的盈亏，结合总获利9000元列一元二次方程求解，最后验证解是否满足“第二月单价高于进价”的实际要求。
【解析】
（1）第二个月单价：第一个月单价为80元，降低x元后为$\boxed{80 - x}$元；
第二个月销量：原预计销售200件，单价每降1元多售10件，降x元多售10x件，故销量为$\boxed{200 + 10x}$件；
清仓时单价：题目明确清仓单价为$\boxed{40}$元；
清仓时销量：总进货量为800件，减去第一个月售出的200件、第二个月售出的$(200+10x)$件，即$800-200-(200+10x)=\boxed{400 - 10x}$件。
（2）根据总获利9000元列方程：
第一个月单件利润为$80-50=30$元，利润为$30×200$元；
第二个月单件利润为$(80-x-50)$元，销量为$(200+10x)$件，利润为$(80-x-50)(200+10x)$元；
清仓阶段单件亏损$50-40=10$元，总亏损为$10×(400-10x)$元。
因此列方程得：
$(80 - 50)×200 + (80 - x - 50)(200 + 10x) - (50 - 40)(400 - 10x) = 9000$
整理得：
$x^2 -20x +100 = 0$
解得$x_1=x_2=10$。
验证：此时第二个月单价为$80-10=70$元，$70＞50$，符合单价高于进价的要求。
【答案】
（1）自上至下、自左至右依次为：$80 - x$，$200 + 10x$；$40$，$400 - 10x$
（2）第二个月的销售单价应为70元。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题关键是理清不同销售阶段的售价、销量、利润的对应关系，注意清仓阶段为亏损状态，计算总利润时要扣除这部分亏损，求出方程的解后需要验证是否符合题目的实际限制条件，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
