登录
1. 我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步。如果设宽为x步，那么可列出方程 【 】
A.$x(x - 6)=864$
B.$x(x - 12)=864$
C.$x(x + 6)=864$
D.$x(x + 12)=864$
A.$x(x - 6)=864$
B.$x(x - 12)=864$
C.$x(x + 6)=864$
D.$x(x + 12)=864$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确矩形面积的计算公式，再根据题目给出的宽和长的数量关系表示出长的长度，最后结合面积数值列出对应方程即可。具体思考步骤：第一步，先明确设的未知数是宽为x步；第二步，根据“宽比长少12步”，可知长比宽多12步，所以长的长度可以用含x的式子表示；第三步，利用“矩形面积=长×宽”的等量关系代入数值列方程。
【解析】
设矩形田地的宽为$ x $步，
∵ 宽比长少12步，
∴ 矩形田地的长为$ (x + 12) $步，
又
∵ 矩形面积 = 长×宽，且该矩形田地面积为864平方步，
∴ 代入得方程：$ x(x + 12) = 864 $，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学典籍的内容考查列方程解应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出未知量，属于基础类型的题目。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确矩形面积的计算公式，再根据题目给出的宽和长的数量关系表示出长的长度，最后结合面积数值列出对应方程即可。具体思考步骤：第一步，先明确设的未知数是宽为x步；第二步，根据“宽比长少12步”，可知长比宽多12步，所以长的长度可以用含x的式子表示；第三步，利用“矩形面积=长×宽”的等量关系代入数值列方程。
【解析】
设矩形田地的宽为$ x $步，
∵ 宽比长少12步，
∴ 矩形田地的长为$ (x + 12) $步，
又
∵ 矩形面积 = 长×宽，且该矩形田地面积为864平方步，
∴ 代入得方程：$ x(x + 12) = 864 $，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学典籍的内容考查列方程解应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的式子表示出未知量，属于基础类型的题目。
【难度系数】
0.9
2.（广元中考）如图，在长为12 m、宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪。
如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为$x$ m，则可列方程 【 】
A.$(12 - x)(10 - x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
B.$(12 - 2x)(10 - x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
C.$(12 - x)(10 - 2x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
D.$(12 - 2x)(10 - 2x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为$x$ m，则可列方程 【 】
A.$(12 - x)(10 - x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
B.$(12 - 2x)(10 - x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
C.$(12 - x)(10 - 2x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
D.$(12 - 2x)(10 - 2x) = 12 × 10 × \frac{2}{5}$
答案
D
解析
【分析】
解答本题的核心是先找到等量关系：草坪的面积 = 矩形地面总面积×$\frac{2}{5}$。接下来分别表示等量关系两边的量：首先矩形地面总面积可直接用长×宽计算；再分析草坪的长和宽：因为花卉带在地面四周，宽度均为x m，所以水平方向左右各有宽为x的花卉带，草坪的长为原长减去2个x，即12-2x；竖直方向上下各有宽为x的花卉带，草坪的宽为原宽减去2个x，即10-2x。最后根据矩形面积公式表示出草坪面积，代入等量关系即可得到方程，对应选出正确选项。
【解析】
设花卉带的宽度为$x$ m：
1. 计算矩形地面的总面积：$S_{\mathrm{总}}=12×10$（平方米）
2. 推导草坪的长和宽：
四周都有宽度为x的花卉带，因此草坪的长为$12-2x$（m），草坪的宽为$10-2x$（m）
3. 表示草坪的面积：
草坪为矩形，面积$S_{\mathrm{草坪}}=(12-2x)(10-2x)$
4. 根据题意“草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$”，列方程得：
$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的几何类列方程应用题，易错点是忽略花卉带分布在四周，错误地只给长或宽减去1个x，解题时结合图形分析长度变化即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
解答本题的核心是先找到等量关系：草坪的面积 = 矩形地面总面积×$\frac{2}{5}$。接下来分别表示等量关系两边的量：首先矩形地面总面积可直接用长×宽计算；再分析草坪的长和宽：因为花卉带在地面四周，宽度均为x m，所以水平方向左右各有宽为x的花卉带，草坪的长为原长减去2个x，即12-2x；竖直方向上下各有宽为x的花卉带，草坪的宽为原宽减去2个x，即10-2x。最后根据矩形面积公式表示出草坪面积，代入等量关系即可得到方程，对应选出正确选项。
【解析】
设花卉带的宽度为$x$ m：
1. 计算矩形地面的总面积：$S_{\mathrm{总}}=12×10$（平方米）
2. 推导草坪的长和宽：
四周都有宽度为x的花卉带，因此草坪的长为$12-2x$（m），草坪的宽为$10-2x$（m）
3. 表示草坪的面积：
草坪为矩形，面积$S_{\mathrm{草坪}}=(12-2x)(10-2x)$
4. 根据题意“草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$”，列方程得：
$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的几何类列方程应用题，易错点是忽略花卉带分布在四周，错误地只给长或宽减去1个x，解题时结合图形分析长度变化即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
3.（深圳模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m。停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地面积为520 m²，求车道的宽度（单位：m）。设停车场内车道的宽度为x m，则根据题意可列方程为 【 】
A.$(40 - 2x)(22 - x) = 520$
B.$(40 - x)(22 - x) = 520$
C.$(40 - x)(22 - 2x) = 520$
D.$(40 - x)(22 + x) = 520$
A.$(40 - 2x)(22 - x) = 520$
B.$(40 - x)(22 - x) = 520$
C.$(40 - x)(22 - 2x) = 520$
D.$(40 - x)(22 + x) = 520$
答案
B
解析
【分析】
这是一道列一元二次方程解决面积问题的应用题，解题核心是利用平移法将分散的停车位转化为规则矩形来计算面积。首先明确未知数是车道宽度x，我们思考：分散的停车位直接计算面积较繁琐，可将上下两排停车位向中间平移，消除中间横向车道的影响，再整合水平方向的空缺区域，得到拼接后矩形的长和宽，再结合停车位总面积即可列出方程。
【解析】
设车道的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，通过平移将所有停车位拼接为一个完整的矩形：
1. 竖直方向：停车场总宽为$ 22 \, \mathrm{m} $，中间横向车道宽度为$ x $，因此拼接后矩形的竖直边长为$ (22 - x) \, \mathrm{m} $；
2. 水平方向：停车场总长为$ 40 \, \mathrm{m} $，水平方向入口、出口共占用宽度为$ x $，因此拼接后矩形的水平边长为$ (40 - x) \, \mathrm{m} $；
3. 已知停车位总面积为$ 520 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，可列方程：
$ (40 - x)(22 - x) = 520 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用，图形平移的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于典型的面积类方程应用题型，解题的关键是灵活运用平移法将分散的不规则区域转化为规则的矩形，大幅简化面积计算过程，避免拆分多块计算时容易出现的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道列一元二次方程解决面积问题的应用题，解题核心是利用平移法将分散的停车位转化为规则矩形来计算面积。首先明确未知数是车道宽度x，我们思考：分散的停车位直接计算面积较繁琐，可将上下两排停车位向中间平移，消除中间横向车道的影响，再整合水平方向的空缺区域，得到拼接后矩形的长和宽，再结合停车位总面积即可列出方程。
【解析】
设车道的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，通过平移将所有停车位拼接为一个完整的矩形：
1. 竖直方向：停车场总宽为$ 22 \, \mathrm{m} $，中间横向车道宽度为$ x $，因此拼接后矩形的竖直边长为$ (22 - x) \, \mathrm{m} $；
2. 水平方向：停车场总长为$ 40 \, \mathrm{m} $，水平方向入口、出口共占用宽度为$ x $，因此拼接后矩形的水平边长为$ (40 - x) \, \mathrm{m} $；
3. 已知停车位总面积为$ 520 \, \mathrm{m}^2 $，根据矩形面积公式$ \mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽} $，可列方程：
$ (40 - x)(22 - x) = 520 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的实际应用，图形平移的应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于典型的面积类方程应用题型，解题的关键是灵活运用平移法将分散的不规则区域转化为规则的矩形，大幅简化面积计算过程，避免拆分多块计算时容易出现的错误。
【难度系数】
0.7
4.（泌阳期末）如图，小程的爸爸用一段长10 m的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5 m）的矩形鸭舍，其面积为15 m²，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门（由其他材料制成），则BC的长为
5
m.答案
4. 5
解析
【分析】
解题时先明确各边和铁丝网的关系：AD边靠墙无需铁丝网，AB侧的1m门不用铁丝网，因此铁丝网总长=AB长度+CD长度+BC长度-门宽。我们可以先设BC的长为x m，用含x的式子表示出垂直于墙的边长，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合墙长的限制条件舍去不符合实际的解即可。
【解析】
解：设BC的长为$x\ \mathrm{m}$，则垂直于墙的边长为$\frac{10+1-x}{2}=\frac{11-x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$15\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x·\frac{11-x}{2}=15$
整理得：
$x^2-11x+30=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
∵墙长为$5.5\ \mathrm{m}$，即$x≤5.5$，
∴$x=6$不符合题意，舍去。
即BC的长为$5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题验根
【点评】
本题属于面积类实际应用题，解题的易错点有两个：一是忽略门的宽度，错误计算各边和铁丝网总长的关系；二是忘记结合墙长的限制条件对根进行取舍，解题时要注意结合实际意义判断解的合理性。
【难度系数】
0.6
解题时先明确各边和铁丝网的关系：AD边靠墙无需铁丝网，AB侧的1m门不用铁丝网，因此铁丝网总长=AB长度+CD长度+BC长度-门宽。我们可以先设BC的长为x m，用含x的式子表示出垂直于墙的边长，再结合矩形面积公式列一元二次方程求解，最后结合墙长的限制条件舍去不符合实际的解即可。
【解析】
解：设BC的长为$x\ \mathrm{m}$，则垂直于墙的边长为$\frac{10+1-x}{2}=\frac{11-x}{2}\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积为$15\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x·\frac{11-x}{2}=15$
整理得：
$x^2-11x+30=0$
因式分解得：
$(x-5)(x-6)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=6$。
∵墙长为$5.5\ \mathrm{m}$，即$x≤5.5$，
∴$x=6$不符合题意，舍去。
即BC的长为$5\ \mathrm{m}$。
【答案】
5
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题验根
【点评】
本题属于面积类实际应用题，解题的易错点有两个：一是忽略门的宽度，错误计算各边和铁丝网总长的关系；二是忘记结合墙长的限制条件对根进行取舍，解题时要注意结合实际意义判断解的合理性。
【难度系数】
0.6
5. 如图是一个长为 30 m、宽为 20 m 的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余地方种植花草. 要使种植花草的面积为$ 532 m^2$，则小道进出口的宽度应为
1
m.答案
5. 1
解析
【分析】
这是典型的面积类一元二次方程应用题，可通过平移法简化计算：将所有小道平移到矩形花园的边缘，种植花草的区域就会拼成一个完整的矩形。设小道宽度为$x$m，用含$x$的代数式表示出新矩形的长和宽，再根据种植面积为$532\ \mathrm{m}^2$列方程求解即可，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设小道进出口的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
将小道平移到花园边缘后，种植花草区域的矩形长为$(30-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20-x)\ \mathrm{m}$，根据题意列方程：
$(30-2x)(20-x)=532$
展开并整理方程：
$600-30x-40x+2x^2=532$
$2x^2-70x+68=0$
两边同除以2得：
$x^2-35x+34=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-34)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=34$
因为$x=34＞20$，不符合实际情况，故舍去，因此$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移法简化计算
【点评】
本题核心解题技巧是通过平移将零散的种植区域转化为规则矩形，降低列方程的难度，同时要注意结合实际情境对一元二次方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
这是典型的面积类一元二次方程应用题，可通过平移法简化计算：将所有小道平移到矩形花园的边缘，种植花草的区域就会拼成一个完整的矩形。设小道宽度为$x$m，用含$x$的代数式表示出新矩形的长和宽，再根据种植面积为$532\ \mathrm{m}^2$列方程求解即可，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：设小道进出口的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
将小道平移到花园边缘后，种植花草区域的矩形长为$(30-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20-x)\ \mathrm{m}$，根据题意列方程：
$(30-2x)(20-x)=532$
展开并整理方程：
$600-30x-40x+2x^2=532$
$2x^2-70x+68=0$
两边同除以2得：
$x^2-35x+34=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-34)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=34$
因为$x=34＞20$，不符合实际情况，故舍去，因此$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；平移法简化计算
【点评】
本题核心解题技巧是通过平移将零散的种植区域转化为规则矩形，降低列方程的难度，同时要注意结合实际情境对一元二次方程的根进行取舍，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
