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6. 如图,某小区计划用18 m 的铁栅栏,再借助两面外墙(墙足够长)围成一个矩形车棚ABCD,为了方便存车,在CD(CD＞2)边开一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).当车棚的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为96 m²的车棚?
答案
设$AB=x$ m,则$BC=(18+2-x)$m. 根据题意,得$x(18+2-x)=96$. 整理,得$x^2-20x+96=0$. 解得$x=8$或$x=12$. 当$x=8$时,$18+2-x=18+2-8=12(\mathrm{m})$;当$x=12$时,$18+2-x=18+2-12=8(\mathrm{m})$. $\therefore$当车棚的长为12 m、宽为8 m时,能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 明确围栏构成：借助两面外墙围矩形，仅需用铁栅栏围BC、CD两条边，CD处2m宽的门无需铁栅栏，因此铁栅栏总长=BC的长度 + (CD的长度 - 门宽)；2. 设未知数表示边长：设AB的长度为x m，根据矩形对边相等可得CD=AB=x，代入上述关系即可表示出BC的长度为$(18+2-x)$m；3. 列方程求解：根据矩形面积=长×宽=96 m²列一元二次方程，解方程后验证解符合实际要求，最终确定车棚的长和宽。
【解析】
解：设$AB=x$ m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$CD=AB=x$ m，
∵CD边有2 m宽的门无需铁栅栏，铁栅栏总长为18 m，
∴$BC + (x - 2) = 18$，即$BC=(18+2-x)=(20-x)$ m，
根据车棚面积为$96\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-x)=96$，
整理得：$x^2-20x+96=0$，
解得$x_1=8$，$x_2=12$，均满足$CD=x＞2$的要求。
当$x=8$时，$BC=20-8=12$ m；当$x=12$时，$BC=20-12=8$ m，
矩形长大于宽，因此长为12 m，宽为8 m。
【答案】
当车棚的长为12 m、宽为8 m时，能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚。
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题型，解题的核心是正确梳理铁栅栏长度与矩形边长的关系，注意门的宽度不需要占用铁栅栏，避免列方程时漏加门宽导致出错，求解后要注意验证解是否符合题目的实际限制条件。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：1. 明确围栏构成：借助两面外墙围矩形，仅需用铁栅栏围BC、CD两条边，CD处2m宽的门无需铁栅栏，因此铁栅栏总长=BC的长度 + (CD的长度 - 门宽)；2. 设未知数表示边长：设AB的长度为x m，根据矩形对边相等可得CD=AB=x，代入上述关系即可表示出BC的长度为$(18+2-x)$m；3. 列方程求解：根据矩形面积=长×宽=96 m²列一元二次方程，解方程后验证解符合实际要求，最终确定车棚的长和宽。
【解析】
解：设$AB=x$ m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$CD=AB=x$ m，
∵CD边有2 m宽的门无需铁栅栏，铁栅栏总长为18 m，
∴$BC + (x - 2) = 18$，即$BC=(18+2-x)=(20-x)$ m，
根据车棚面积为$96\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(20-x)=96$，
整理得：$x^2-20x+96=0$，
解得$x_1=8$，$x_2=12$，均满足$CD=x＞2$的要求。
当$x=8$时，$BC=20-8=12$ m；当$x=12$时，$BC=20-12=8$ m，
矩形长大于宽，因此长为12 m，宽为8 m。
【答案】
当车棚的长为12 m、宽为8 m时，能围成一个面积为$96\ \mathrm{m}^2$的车棚。
【知识点】
一元二次方程应用；矩形面积计算；实际问题解的检验
【点评】
本题是面积类方程应用的基础题型，解题的核心是正确梳理铁栅栏长度与矩形边长的关系，注意门的宽度不需要占用铁栅栏，避免列方程时漏加门宽导致出错，求解后要注意验证解是否符合题目的实际限制条件。
【难度系数】
0.7
7. 老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量.如图是县城某小区的一块闲置空地，为长32m、宽20m的矩形，现在空地上修三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为570 m²，求小路的宽.
答案
设小路的宽为$x$ m. 根据题意,得$(32-2x)(20-x)=570$. 解得$x_1=1$,$x_2=35$(不符合题意,舍去). $\therefore$小路的宽为1 m
解析
【分析】
本题是利用一元二次方程解决实际面积问题，可通过平移法简化计算：去掉三条小路后，剩余种植花草的区域可拼接成一个完整的矩形，只需找出拼接后矩形的长、宽与原矩形、小路宽度的关系，结合种植面积列方程求解即可。两条竖直小路共占据2x的长度，因此拼接后矩形的长为原长32m减去2x；一条水平小路占据x的宽度，因此拼接后矩形的宽为原宽20m减去x，列出方程求解后需结合实际场景舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设小路的宽为$ x $ m。
将种植花草的区域平移拼接，可得新矩形的长为$ (32-2x) $ m，宽为$ (20-x) $ m。
根据种花草的面积为$ 570\ \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ (32-2x)(20-x)=570 $
整理方程：
$ 640 - 32x - 40x + 2x^2 = 570 $
$ 2x^2 -72x +70 = 0 $
化简得：$ x^2 -36x +35 = 0 $
因式分解得：$ (x-1)(x-35)=0 $
解得：$ x_1=1 $，$ x_2=35 $
$ \because $ 小路宽度不能超过矩形空地的宽20m，$ x=35 $ 不符合实际意义，故舍去。
$ \therefore x=1 $
【答案】
小路的宽为1 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是典型的几何面积类应用题，通过平移法将分散的不规则区域转化为规则矩形，大幅降低了计算难度，解题的易错点是忽略对根的实际意义的检验，容易出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题是利用一元二次方程解决实际面积问题，可通过平移法简化计算：去掉三条小路后，剩余种植花草的区域可拼接成一个完整的矩形，只需找出拼接后矩形的长、宽与原矩形、小路宽度的关系，结合种植面积列方程求解即可。两条竖直小路共占据2x的长度，因此拼接后矩形的长为原长32m减去2x；一条水平小路占据x的宽度，因此拼接后矩形的宽为原宽20m减去x，列出方程求解后需结合实际场景舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设小路的宽为$ x $ m。
将种植花草的区域平移拼接，可得新矩形的长为$ (32-2x) $ m，宽为$ (20-x) $ m。
根据种花草的面积为$ 570\ \mathrm{m}^2 $，列方程得：
$ (32-2x)(20-x)=570 $
整理方程：
$ 640 - 32x - 40x + 2x^2 = 570 $
$ 2x^2 -72x +70 = 0 $
化简得：$ x^2 -36x +35 = 0 $
因式分解得：$ (x-1)(x-35)=0 $
解得：$ x_1=1 $，$ x_2=35 $
$ \because $ 小路宽度不能超过矩形空地的宽20m，$ x=35 $ 不符合实际意义，故舍去。
$ \therefore x=1 $
【答案】
小路的宽为1 m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是典型的几何面积类应用题，通过平移法将分散的不规则区域转化为规则矩形，大幅降低了计算难度，解题的易错点是忽略对根的实际意义的检验，容易出现多解错误。
【难度系数】
0.7
8. 如图是一张长为50 cm、宽为25 cm的矩形铁皮废料，焊工师傅决定先裁去两个小正方形和两个小矩形(阴影部分)，后按图中虚线部分折叠，焊接成一个有盖的长方体铁质工具箱，用来收纳工具。如果将该工具箱面积最大的一面作为底面，且底面面积为300 cm²，求该长方体铁质工具箱的容积。
答案
设裁去的小正方形的边长为$x$ cm. 根据题意,得$(\dfrac{1}{2}×50 -x)(25-2x)=300$. 解得$x_1=5$,$x_2=\dfrac{65}{2}$. 其中,$x_2=\dfrac{65}{2}＞25$,不符合题意,舍去. $\therefore$该长方体铁质工具箱的高为5 cm,容积为$300×5=1500(\mathrm{cm}^3)$
解析
【分析】
解题时首先设裁去的小正方形边长为$x$ cm，先结合折叠的性质分析长方体工具箱的各边长度：折叠后最大面的长为原长的一半减去$x$，即$(25-x)$cm，最大面的宽为原宽减去2个$x$，即$(25-2x)$cm，根据题目给出的底面面积为$300\mathrm{cm}^2$这一等量关系列一元二次方程，求解后根据实际边长为正的要求舍去不符合题意的根，最后根据长方体容积=底面积×高计算最终容积即可。
【解析】
解：设裁去的小正方形的边长为$x$ cm。
根据题意，面积最大的面作为底面，其长为$(\dfrac{1}{2}×50 -x)$cm，宽为$(25-2x)$cm，可列方程：
$(\dfrac{1}{2}×50 -x)(25-2x)=300$
整理得$(25-x)(25-2x)=300$，展开化简后解得$x_1=5$，$x_2=\dfrac{65}{2}$。
$\because x_2=\dfrac{65}{2}=32.5＞25$，不符合实际裁剪要求，故舍去。
$\therefore$该长方体铁质工具箱的高为$5$cm，容积为：
$300×5=1500(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{1500\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体容积计算；折叠的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题的核心是找准折叠后各边的数量关系列出方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先设裁去的小正方形边长为$x$ cm，先结合折叠的性质分析长方体工具箱的各边长度：折叠后最大面的长为原长的一半减去$x$，即$(25-x)$cm，最大面的宽为原宽减去2个$x$，即$(25-2x)$cm，根据题目给出的底面面积为$300\mathrm{cm}^2$这一等量关系列一元二次方程，求解后根据实际边长为正的要求舍去不符合题意的根，最后根据长方体容积=底面积×高计算最终容积即可。
【解析】
解：设裁去的小正方形的边长为$x$ cm。
根据题意，面积最大的面作为底面，其长为$(\dfrac{1}{2}×50 -x)$cm，宽为$(25-2x)$cm，可列方程：
$(\dfrac{1}{2}×50 -x)(25-2x)=300$
整理得$(25-x)(25-2x)=300$，展开化简后解得$x_1=5$，$x_2=\dfrac{65}{2}$。
$\because x_2=\dfrac{65}{2}=32.5＞25$，不符合实际裁剪要求，故舍去。
$\therefore$该长方体铁质工具箱的高为$5$cm，容积为：
$300×5=1500(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$\boxed{1500\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体容积计算；折叠的性质
【点评】
本题结合生活实际场景，考查了一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题的核心是找准折叠后各边的数量关系列出方程，同时要注意结合实际情况对方程的根进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
