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13.（内江中考）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - px +1=0$（$p$为常数）有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
（1）填空：$x_1 + x_2 =$
（2）求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$和$x_1 + \frac{1}{x_1}$的值；
（3）已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p +1$，求$p$的值.
（1）填空：$x_1 + x_2 =$
p
，$x_1x_2 =$1
；（2）求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$和$x_1 + \frac{1}{x_1}$的值；
（3）已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p +1$，求$p$的值.
答案
13. (1) p 1
(2)
∵$x_1+x_2=p$, $x_1x_2=1$,
∴$x_1=\frac{1}{x_2}$, $x_2=\frac{1}{x_1}$.
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=x_2+x_1=p$, $x_1+\frac{1}{x_1}=x_1+x_2=p$
(3) 由根与系数的关系,得$x_1+x_2=p$, $x_1x_2=1$.
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1$,
∴$p^2-2=2p+1$. 解得$p=3$或$p=-1$. 当$p=3$时,$Δ=p^2-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$Δ=p^2-4=-3＜0$.
∴$p=3$
(2)
∵$x_1+x_2=p$, $x_1x_2=1$,
∴$x_1=\frac{1}{x_2}$, $x_2=\frac{1}{x_1}$.
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=x_2+x_1=p$, $x_1+\frac{1}{x_1}=x_1+x_2=p$
(3) 由根与系数的关系,得$x_1+x_2=p$, $x_1x_2=1$.
∵$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1$,
∴$p^2-2=2p+1$. 解得$p=3$或$p=-1$. 当$p=3$时,$Δ=p^2-4=9-4=5＞0$;当$p=-1$时,$Δ=p^2-4=-3＜0$.
∴$p=3$
解析
【分析】
（1）第一问直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入题目对应系数即可得到结果。
（2）第二问先对所求代数式变形：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分后可转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，代入第一问结果计算即可；再根据$x_1x_2=1$可得$\frac{1}{x_1}=x_2$，即可求出$x_1+\frac{1}{x_1}$的值。
（3）第三问先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件列关于$p$的方程，解方程求出$p$的可能值后，再根据方程有两个不相等的实数根，用判别式$\Delta＞0$检验，舍去不符合条件的$p$值即可。
【解析】
（1）已知方程为$x^2 - px +1=0$，其中$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=p$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=1$。
（2）由（1）得$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$；
由$x_1x_2=1$可得$\frac{1}{x_1}=x_2$，因此$x_1+\frac{1}{x_1}=x_1+x_2=p$。
（3）由完全平方公式可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，$x_1^2+x_2^2=2p+1$代入上式得：
$p^2 - 2 = 2p + 1$，
整理得$p^2-2p-3=0$，解得$p=3$或$p=-1$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(-p)^2-4×1×1=p^2-4＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合条件；当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，不符合条件，舍去。
∴$p=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p}$，$\boldsymbol{1}$
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\boldsymbol{p}$，$x_1 + \frac{1}{x_1}=\boldsymbol{p}$
(3) $\boldsymbol{p=3}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，根的判别式
【点评】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系设置问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理和完全平方公式的变形应用，需要注意求出参数值后要结合根的判别式验证结果是否符合题意，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）第一问直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入题目对应系数即可得到结果。
（2）第二问先对所求代数式变形：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分后可转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，代入第一问结果计算即可；再根据$x_1x_2=1$可得$\frac{1}{x_1}=x_2$，即可求出$x_1+\frac{1}{x_1}$的值。
（3）第三问先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件列关于$p$的方程，解方程求出$p$的可能值后，再根据方程有两个不相等的实数根，用判别式$\Delta＞0$检验，舍去不符合条件的$p$值即可。
【解析】
（1）已知方程为$x^2 - px +1=0$，其中$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=p$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=1$。
（2）由（1）得$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，
对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$；
由$x_1x_2=1$可得$\frac{1}{x_1}=x_2$，因此$x_1+\frac{1}{x_1}=x_1+x_2=p$。
（3）由完全平方公式可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，$x_1^2+x_2^2=2p+1$代入上式得：
$p^2 - 2 = 2p + 1$，
整理得$p^2-2p-3=0$，解得$p=3$或$p=-1$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta=(-p)^2-4×1×1=p^2-4＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合条件；当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，不符合条件，舍去。
∴$p=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{p}$，$\boldsymbol{1}$
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}=\boldsymbol{p}$，$x_1 + \frac{1}{x_1}=\boldsymbol{p}$
(3) $\boldsymbol{p=3}$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，根的判别式
【点评】
本题围绕一元二次方程根与系数的关系设置问题，解题的关键是熟练掌握韦达定理和完全平方公式的变形应用，需要注意求出参数值后要结合根的判别式验证结果是否符合题意，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
14.（遂宁中考）已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$。
（1）求证：无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$，求$m$的值。
（1）求证：无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 9$，求$m$的值。
答案
(1) $x^2-(m+2)x+m-1=0$. 这里,$a=1$, $b=-(m+2)$, $c=m-1$,
∴$Δ=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8＞0$.
∴无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根
(2) 由根与系数的关系,得$x_1+x_2=m+2$, $x_1x_2=m-1$.
∵$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$,
∴$(m+2)^2-3(m-1)=9$. 解得$m=-2$或$m=1$
∴$Δ=b^2-4ac=[-(m+2)]^2-4×1×(m-1)=m^2+4m+4-4m+4=m^2+8＞0$.
∴无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根
(2) 由根与系数的关系,得$x_1+x_2=m+2$, $x_1x_2=m-1$.
∵$x_1^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=9$,
∴$(m+2)^2-3(m-1)=9$. 解得$m=-2$或$m=1$
解析
【分析】
（1）要证明无论m取何值，一元二次方程都有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入Δ=b²-4ac化简，判断化简结果的符号即可完成证明。
（2）已知方程两根的代数式的值求参数m，可利用一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$关于m的表达式，再将$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$利用完全平方公式变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，整体代入得到关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$，可得$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)$
$= m^2 +4m +4 -4m +4 = m^2 +8$。
∵对任意实数m，都有$m^2≥0$，
∴$m^2 +8 ≥ 8 ＞ 0$，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1x_2 = m - 1$。
对$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2$变形可得：
$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2$，
结合题意该式值为9，代入得：
$(m + 2)^2 - 3(m - 1) = 9$，
整理得$m^2 +m -2 =0$，
解得$m=-2$或$m=1$。
【答案】
(1) 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的典型基础考题，第一问侧重考查根的判别式的应用，核心是通过计算判别式并判断其符号完成证明；第二问侧重考查韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握代数式的变形技巧，将所求代数式转化为两根和、两根积的形式整体代入求解，计算量小，解题思路固定。
【难度系数】
0.7
（1）要证明无论m取何值，一元二次方程都有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可。首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入Δ=b²-4ac化简，判断化简结果的符号即可完成证明。
（2）已知方程两根的代数式的值求参数m，可利用一元二次方程根与系数的关系，先写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$关于m的表达式，再将$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$利用完全平方公式变形为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，整体代入得到关于m的方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0$，可得$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m-1$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+2)]^2 - 4×1×(m-1)$
$= m^2 +4m +4 -4m +4 = m^2 +8$。
∵对任意实数m，都有$m^2≥0$，
∴$m^2 +8 ≥ 8 ＞ 0$，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = m + 2$，$x_1x_2 = m - 1$。
对$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2$变形可得：
$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2$，
结合题意该式值为9，代入得：
$(m + 2)^2 - 3(m - 1) = 9$，
整理得$m^2 +m -2 =0$，
解得$m=-2$或$m=1$。
【答案】
(1) 无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $m$的值为$\boldsymbol{-2}$或$\boldsymbol{1}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的典型基础考题，第一问侧重考查根的判别式的应用，核心是通过计算判别式并判断其符号完成证明；第二问侧重考查韦达定理的应用，解题关键是熟练掌握代数式的变形技巧，将所求代数式转化为两根和、两根积的形式整体代入求解，计算量小，解题思路固定。
【难度系数】
0.7
