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8. 设 $ x_1 $、$ x_2 $ 是方程 $ 2x^2 +6x -5=0 $ 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1) $ (x_1 +1)(x_2 +1) $；
(2) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(3) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} $；
(4) $ (x_1 - x_2)^2 $。
(1) $ (x_1 +1)(x_2 +1) $；
(2) $ x_1^2 + x_2^2 $；
(3) $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} $；
(4) $ (x_1 - x_2)^2 $。
答案
8.
∵x₁、x₂是方程2x²+6x-5=0的两个根，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5/2.
(1) 原式=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=-9/2
(2) 原式=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=14
(3) 原式=$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2}=-\frac{28}{5}$
(4) 原式=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=19
∵x₁、x₂是方程2x²+6x-5=0的两个根，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-5/2.
(1) 原式=x₁x₂+(x₁+x₂)+1=-9/2
(2) 原式=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=14
(3) 原式=$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2}=-\frac{28}{5}$
(4) 原式=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=19
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：① 首先根据给定的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；② 再将每个小问中需要求值的代数式，通过多项式展开、通分、完全平方公式变形等方式，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子；③ 最后将第一步求出的$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1$、$x_2$是方程$2x^2 +6x -5=0$的两个根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$
(1) 展开待求式：
$(x_1 +1)(x_2 +1)=x_1x_2+(x_1+x_2)+1$
代入数值计算：$-\frac{5}{2}+(-3)+1=-\frac{9}{2}$
(2) 由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值计算：$(-3)^2-2×(-\frac{5}{2})=9+5=14$
(3) 先通分再变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$\frac{(-3)^2-2×(-\frac{5}{2})}{-\frac{5}{2}}=\frac{14}{-\frac{5}{2}}=-\frac{28}{5}$
(4) 由完全平方公式展开变形得：
$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：$(-3)^2-4×(-\frac{5}{2})=9+10=19$
【答案】
(1) $-\frac{9}{2}$；(2) $14$；(3) $-\frac{28}{5}$；(4) $19$
【知识点】
韦达定理，代数式变形，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是掌握将待求代数式转化为两根之和、两根之积的表达式的变形方法，熟练掌握整式运算和乘法公式可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：① 首先根据给定的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；② 再将每个小问中需要求值的代数式，通过多项式展开、通分、完全平方公式变形等方式，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的式子；③ 最后将第一步求出的$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
已知$x_1$、$x_2$是方程$2x^2 +6x -5=0$的两个根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{2}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$
(1) 展开待求式：
$(x_1 +1)(x_2 +1)=x_1x_2+(x_1+x_2)+1$
代入数值计算：$-\frac{5}{2}+(-3)+1=-\frac{9}{2}$
(2) 由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
代入数值计算：$(-3)^2-2×(-\frac{5}{2})=9+5=14$
(3) 先通分再变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}$
代入数值计算：$\frac{(-3)^2-2×(-\frac{5}{2})}{-\frac{5}{2}}=\frac{14}{-\frac{5}{2}}=-\frac{28}{5}$
(4) 由完全平方公式展开变形得：
$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$
代入数值计算：$(-3)^2-4×(-\frac{5}{2})=9+10=19$
【答案】
(1) $-\frac{9}{2}$；(2) $14$；(3) $-\frac{28}{5}$；(4) $19$
【知识点】
韦达定理，代数式变形，完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是掌握将待求代数式转化为两根之和、两根之积的表达式的变形方法，熟练掌握整式运算和乘法公式可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. (河北中考)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m$、$n$，则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于 【 】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需按以下步骤思考：①首先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的值；②根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$、两根之积$n$；③根据平面直角坐标系各象限的点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
第一步：将方程化为一般形式
对原方程$x(x+2)-3=0$展开整理：
$x^2 + 2x - 3 = 0$
可得$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
第二步：利用根与系数的关系求$m、n$
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值：
$m = -\frac{2}{1} = -2$
$n = \frac{-3}{1} = -3$
第三步：判断点所在象限
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限点的坐标特征$(-,-)$，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系象限的知识点结合考查，解题的关键是先准确将方程化为一般形式，牢记韦达定理的公式，特别注意两根之和的符号不要记错，再结合象限坐标特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需按以下步骤思考：①首先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的值；②根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出两根之和$m$、两根之积$n$；③根据平面直角坐标系各象限的点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限即可。
【解析】
第一步：将方程化为一般形式
对原方程$x(x+2)-3=0$展开整理：
$x^2 + 2x - 3 = 0$
可得$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
第二步：利用根与系数的关系求$m、n$
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值：
$m = -\frac{2}{1} = -2$
$n = \frac{-3}{1} = -3$
第三步：判断点所在象限
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横、纵坐标均为负数，符合第三象限点的坐标特征$(-,-)$，因此该点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系象限的知识点结合考查，解题的关键是先准确将方程化为一般形式，牢记韦达定理的公式，特别注意两根之和的符号不要记错，再结合象限坐标特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.（乐山中考）若关于x的一元二次方程$x^2 -8x +m=0$的两根为$x_1$、$x_2$，且$x_1=3x_2$，则m的值为 【 】
A.4
B.8
C.12
D.16
A.4
B.8
C.12
D.16
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路可分为三步：① 先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积为$x_1x_2=\frac{c}{a}$，对应题干方程确定a、b、c的取值；② 结合已知条件$x_1=3x_2$，代入两根之和的关系式，求出$x_1$和$x_2$的具体值；③ 最后通过两根之积的关系式计算出m的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=8$，
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入两根之和的式子得：
$3x_2 + x_2 = 8$，
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$，
则$x_1=3x_2=3×2=6$，
因此$m=x_1x_2=6×2=12$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的灵活运用，解题的关键是牢记一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，结合题干给出的两根数量关系即可快速求解，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路可分为三步：① 先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积为$x_1x_2=\frac{c}{a}$，对应题干方程确定a、b、c的取值；② 结合已知条件$x_1=3x_2$，代入两根之和的关系式，求出$x_1$和$x_2$的具体值；③ 最后通过两根之积的关系式计算出m的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -8x +m=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=8$，
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=m$。
已知$x_1=3x_2$，将其代入两根之和的式子得：
$3x_2 + x_2 = 8$，
合并同类项得$4x_2=8$，解得$x_2=2$，
则$x_1=3x_2=3×2=6$，
因此$m=x_1x_2=6×2=12$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的灵活运用，解题的关键是牢记一元二次方程两根和、两根积与系数的对应关系，结合题干给出的两根数量关系即可快速求解，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
11. (宿迁中考)方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是m、n，则$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026) =$
-4048
.答案
11. -4048
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知m、n是一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程可得到关于m、n的等式，利用该等式可将所求代数式中的二次项替换为一次式，实现降次化简；化简后所求代数式可变形为含两根之和、两根之积的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根和与两根积，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的根
∴ $m^2 - 2024m - 2025 = 0$，变形得：$m^2 = 2024m + 2025$
同理可得：$n^2 = 2024n + 2025$
将上述两个式子代入所求代数式：
$m^2 - 2023m - 2026 = 2024m + 2025 - 2023m - 2026 = m - 1$
$n^2 - 2023n - 2026 = 2024n + 2025 - 2023n - 2026 = n - 1$
∴ 原式=$(m - 1)(n - 1) = mn - m - n + 1 = mn - (m + n) + 1$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$，两根之和$m + n = 2024$，两根之积$mn = -2025$，代入上式：
原式=$-2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
-4048
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，解题核心是利用根的定义对代数式降次，将高次式转化为低次式，再结合根与系数的关系整体代入计算，有效避免了直接求根的繁琐运算，重点考察整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先，已知m、n是一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程可得到关于m、n的等式，利用该等式可将所求代数式中的二次项替换为一次式，实现降次化简；化简后所求代数式可变形为含两根之和、两根之积的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根和与两根积，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的根
∴ $m^2 - 2024m - 2025 = 0$，变形得：$m^2 = 2024m + 2025$
同理可得：$n^2 = 2024n + 2025$
将上述两个式子代入所求代数式：
$m^2 - 2023m - 2026 = 2024m + 2025 - 2023m - 2026 = m - 1$
$n^2 - 2023n - 2026 = 2024n + 2025 - 2023n - 2026 = n - 1$
∴ 原式=$(m - 1)(n - 1) = mn - m - n + 1 = mn - (m + n) + 1$
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$，两根之和$m + n = 2024$，两根之积$mn = -2025$，代入上式：
原式=$-2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
-4048
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关知识的综合应用，解题核心是利用根的定义对代数式降次，将高次式转化为低次式，再结合根与系数的关系整体代入计算，有效避免了直接求根的繁琐运算，重点考察整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.6
12.（南充中考）设$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两个根.
（1）当$x_1=-1$时，求$x_2$和$m$的值.
（2）求证：$(x_1-1)(x_2-1)≤ 0$.
（1）当$x_1=-1$时，求$x_2$和$m$的值.
（2）求证：$(x_1-1)(x_2-1)≤ 0$.
答案
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$.
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$.
∴$(x-4)(x+1)=0$.
∴$x_1=-1$, $x_2=4$. 即$x_2$的值为4, $m$的值为$±\sqrt{6}$
(2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
∵$Δ=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$,即$x^2-3x+2-m^2=0$的两个根为$x_1$、$x_2$,
∴$x_1+x_2=3$, $x_1x_2=2-m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$
∴$m=±\sqrt{6}$.
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$.
∴$(x-4)(x+1)=0$.
∴$x_1=-1$, $x_2=4$. 即$x_2$的值为4, $m$的值为$±\sqrt{6}$
(2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
∵$Δ=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$,即$x^2-3x+2-m^2=0$的两个根为$x_1$、$x_2$,
∴$x_1+x_2=3$, $x_1x_2=2-m^2$.
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$
解析
【分析】
（1）已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1=-1$代入原方程可先求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，求解一元二次方程即可得到另一个根$x_2$，也可利用韦达定理直接计算$x_2$，简化运算。
（2）要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程化为一元二次方程的一般形式，先验证方程有两个实根，再根据韦达定理得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式，再将待证的代数式展开整理，代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
∴$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程得$(x-1)(x-2)=6$，
整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2-3x+2-m^2=0$，
∵$\Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵该方程的两个根为$x_1$、$x_2$，
∴由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2$的值为4，$m$的值为$\pm\sqrt{6}$；
(2) $(x_1-1)(x_2-1)≤0$成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合应用，第一问属于基础题型，考查方程根的应用及一元二次方程的求解；第二问需要结合韦达定理对代数式变形，逻辑链条清晰，能有效考查学生的代数运算能力和推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1=-1$代入原方程可先求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，求解一元二次方程即可得到另一个根$x_2$，也可利用韦达定理直接计算$x_2$，简化运算。
（2）要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程化为一元二次方程的一般形式，先验证方程有两个实根，再根据韦达定理得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式，再将待证的代数式展开整理，代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
∴$m=\pm\sqrt{6}$。
将$m^2=6$代入原方程得$(x-1)(x-2)=6$，
整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2-3x+2-m^2=0$，
∵$\Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$，
∴方程总有两个不相等的实数根，
∵该方程的两个根为$x_1$、$x_2$，
∴由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2$的值为4，$m$的值为$\pm\sqrt{6}$；
(2) $(x_1-1)(x_2-1)≤0$成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系（韦达定理）；平方的非负性
【点评】
本题考查一元二次方程相关知识的综合应用，第一问属于基础题型，考查方程根的应用及一元二次方程的求解；第二问需要结合韦达定理对代数式变形，逻辑链条清晰，能有效考查学生的代数运算能力和推理能力。
【难度系数】
0.7
