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课前预习
教材梳理，厘清必备知识
1. 二次函数与一元二次方程的关系
(1)由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的交点情况判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况：
一般地，如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个交点$(x_1,0),(x_2,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根$x=x_1,x=x_2$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有一个交点$(d,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根$x_1=x_2=d$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴没有交点，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
(2)由一元二次方程的根的情况确定相应的二次函数的图象与$x$轴的位置关系.具体如下表所示：
教材梳理，厘清必备知识
1. 二次函数与一元二次方程的关系
(1)由二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴的交点情况判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况：
一般地，如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有两个交点$(x_1,0),(x_2,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根$x=x_1,x=x_2$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴有一个交点$(d,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个相等的实数根$x_1=x_2=d$；
如果二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴没有交点，那么一元二次方程$ax^2+bx+c=0$没有实数根。
(2)由一元二次方程的根的情况确定相应的二次函数的图象与$x$轴的位置关系.具体如下表所示：
答案
解：
由一元二次方程根的情况与判别式的对应关系可得：
当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta ＞ 0$；
当方程有两个相等的实数根时，$\Delta = 0$；
当方程没有实数根时，$\Delta ＜ 0$。
表格中三个空从左到右依次填入：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$。
由一元二次方程根的情况与判别式的对应关系可得：
当方程有两个不相等的实数根时，$\Delta ＞ 0$；
当方程有两个相等的实数根时，$\Delta = 0$；
当方程没有实数根时，$\Delta ＜ 0$。
表格中三个空从左到右依次填入：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$。
解析
【分析】
解答本题需明确二次函数图象与x轴的交点个数、一元二次方程根的情况、判别式Δ的符号三者是一一对应的关系：首先对应每一列给出的方程根的情况，匹配判别式的符号即可得到答案。具体来说，当方程有两个不相等实根时判别式大于0，有两个相等实根时判别式等于0，没有实根时判别式小于0。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：
1. 当方程有两个不相等的实数根时，对应判别式$\Delta＞0$，匹配第一列的根的情况，故第一个空填$＞$；
2. 当方程有两个相等的实数根时，对应判别式$\Delta=0$，匹配第二列的根的情况，故第二个空填$=$；
3. 当方程没有实数根时，对应判别式$\Delta＜0$，匹配第三列的根的情况，故第三个空填$＜$。
【答案】
表格三个空从左到右依次填入：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；二次函数与x轴的交点；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握二次函数图象与x轴交点、一元二次方程根的情况、判别式符号三者的对应规律，该知识点是后续求解二次不等式、二次函数综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
解答本题需明确二次函数图象与x轴的交点个数、一元二次方程根的情况、判别式Δ的符号三者是一一对应的关系：首先对应每一列给出的方程根的情况，匹配判别式的符号即可得到答案。具体来说，当方程有两个不相等实根时判别式大于0，有两个相等实根时判别式等于0，没有实根时判别式小于0。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的根的情况由判别式$\Delta=b^2-4ac$决定：
1. 当方程有两个不相等的实数根时，对应判别式$\Delta＞0$，匹配第一列的根的情况，故第一个空填$＞$；
2. 当方程有两个相等的实数根时，对应判别式$\Delta=0$，匹配第二列的根的情况，故第二个空填$=$；
3. 当方程没有实数根时，对应判别式$\Delta＜0$，匹配第三列的根的情况，故第三个空填$＜$。
【答案】
表格三个空从左到右依次填入：$\boldsymbol{＞}$，$\boldsymbol{=}$，$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；二次函数与x轴的交点；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握二次函数图象与x轴交点、一元二次方程根的情况、判别式符号三者的对应规律，该知识点是后续求解二次不等式、二次函数综合题的重要基础。
【难度系数】
0.9
(3)求一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是求二次函数$y=ax^2+bx+c$在$y=0$时自变量$x$的值，也就是二次函数图象与$x$轴交点的横坐标，因而可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根。要注意的是，由于作图或观察容易产生误差，因而利用图象求得的根，一般是近似的。
2. 图象法解一元二次方程
先画出二次函数对应的抛物线，然后从图象上找出它与$x$轴的交点的________。这种解一元二次方程的方法叫作图象法。
课堂探究
典例研习，掌握关键能力
探究1 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法解一元二次方程
先画出二次函数对应的抛物线，然后从图象上找出它与$x$轴的交点的________。这种解一元二次方程的方法叫作图象法。
课堂探究
典例研习，掌握关键能力
探究1 二次函数与一元二次方程的关系
答案
2. 横坐标
解析
【分析】
解题时结合题干前文给出的二次函数与一元二次方程的关系推导即可：已知一元二次方程的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此用图象法解方程的核心就是获取抛物线与x轴交点的对应横坐标数值，由此可确定空缺处应填的内容。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。因此用图象法解一元二次方程时，画出对应抛物线后，只需找出它与$x$轴交点的横坐标，即可得到方程的根，故空缺处填“横坐标”。
【答案】
横坐标
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.图象法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对二次函数和一元二次方程对应关系的理解，牢记二者的关联即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时结合题干前文给出的二次函数与一元二次方程的关系推导即可：已知一元二次方程的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，因此用图象法解方程的核心就是获取抛物线与x轴交点的对应横坐标数值，由此可确定空缺处应填的内容。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系可知：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，等价于二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标。因此用图象法解一元二次方程时，画出对应抛物线后，只需找出它与$x$轴交点的横坐标，即可得到方程的根，故空缺处填“横坐标”。
【答案】
横坐标
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.图象法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对二次函数和一元二次方程对应关系的理解，牢记二者的关联即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
【例1】试判断下列抛物线与$x$轴的交点情况：
(1)$y=2x^2 - 3x + 1$；
(2)$y=4x^2 + 4x + 1$；
(3)$y=-x^2 + 2x - 4$。
(1)$y=2x^2 - 3x + 1$；
(2)$y=4x^2 + 4x + 1$；
(3)$y=-x^2 + 2x - 4$。
答案
解:(1)$\Delta=b^2 - 4ac=9 - 4×2×1=1＞0$,故抛物线与$x$轴有两个不同的交点；
(2)$\Delta=b^2 - 4ac=16 - 4×4×1=0$,故抛物线与$x$轴有两个重合的交点；
(3)$\Delta=b^2 - 4ac=4 - 4×(-1)×(-4)=-12＜0$,故抛物线与$x$轴没有交点。
(2)$\Delta=b^2 - 4ac=16 - 4×4×1=0$,故抛物线与$x$轴有两个重合的交点；
(3)$\Delta=b^2 - 4ac=4 - 4×(-1)×(-4)=-12＜0$,故抛物线与$x$轴没有交点。
解析
【分析】
判断抛物线与x轴的交点情况，可借助一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac完成：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），Δ＞0时抛物线与x轴有两个不同交点，Δ=0时抛物线与x轴有两个重合的交点，Δ＜0时抛物线与x轴没有交点。解题时先分别提取三个二次函数对应的a、b、c的值，再代入判别式计算，最后根据Δ的符号判断交点情况即可。
【解析】
对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），用判别式Δ=b²-4ac判断与x轴交点情况：
(1) 抛物线y=2x² - 3x + 1中，a=2，b=-3，c=1
Δ=b² - 4ac=(-3)² - 4×2×1=9 - 8=1＞0，故抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2) 抛物线y=4x² + 4x + 1中，a=4，b=4，c=1
Δ=b² - 4ac=4² - 4×4×1=16 - 16=0，故抛物线与x轴有两个重合的交点；
(3) 抛物线y=-x² + 2x - 4中，a=-1，b=2，c=-4
Δ=b² - 4ac=2² - 4×(-1)×(-4)=4 - 16=-12＜0，故抛物线与x轴没有交点。
【答案】
(1) 与x轴有两个不同的交点；
(2) 与x轴有两个重合的交点；
(3) 与x轴没有交点。
【知识点】
1. 根的判别式
2. 二次函数与x轴交点判定
3. 二次函数系数识别
【点评】
本题是二次函数板块的基础题型，核心考查判别式取值与抛物线和x轴交点情况的对应关系，熟练掌握该对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
判断抛物线与x轴的交点情况，可借助一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac完成：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），Δ＞0时抛物线与x轴有两个不同交点，Δ=0时抛物线与x轴有两个重合的交点，Δ＜0时抛物线与x轴没有交点。解题时先分别提取三个二次函数对应的a、b、c的值，再代入判别式计算，最后根据Δ的符号判断交点情况即可。
【解析】
对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），用判别式Δ=b²-4ac判断与x轴交点情况：
(1) 抛物线y=2x² - 3x + 1中，a=2，b=-3，c=1
Δ=b² - 4ac=(-3)² - 4×2×1=9 - 8=1＞0，故抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2) 抛物线y=4x² + 4x + 1中，a=4，b=4，c=1
Δ=b² - 4ac=4² - 4×4×1=16 - 16=0，故抛物线与x轴有两个重合的交点；
(3) 抛物线y=-x² + 2x - 4中，a=-1，b=2，c=-4
Δ=b² - 4ac=2² - 4×(-1)×(-4)=4 - 16=-12＜0，故抛物线与x轴没有交点。
【答案】
(1) 与x轴有两个不同的交点；
(2) 与x轴有两个重合的交点；
(3) 与x轴没有交点。
【知识点】
1. 根的判别式
2. 二次函数与x轴交点判定
3. 二次函数系数识别
【点评】
本题是二次函数板块的基础题型，核心考查判别式取值与抛物线和x轴交点情况的对应关系，熟练掌握该对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
【变式】(2025贵州期末)若关于x的二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴的交点坐标是$(-1,0)$和$(3,0)$，则关于x的一元二次方程$-x^2+mx+n=0$的解为 （
A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=3$
D
）A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x_1=1,x_2=0$
D.$x_1=-1,x_2=3$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是明确二次函数与对应一元二次方程的关系：关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。本题中待求的一元二次方程和给出的二次函数完全对应，已知二次函数与x轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解。
已知二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此一元二次方程$-x^2+mx+n=0$的解为这两个交点的横坐标，即$x_1=-1$，$x_2=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象与x轴交点的意义
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数和一元二次方程的对应关系，牢记相关概念就能快速得出答案，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确二次函数与对应一元二次方程的关系：关于x的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解，就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。本题中待求的一元二次方程和给出的二次函数完全对应，已知二次函数与x轴的两个交点坐标，直接提取交点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解。
已知二次函数$y=-x^2+mx+n$的图象与x轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此一元二次方程$-x^2+mx+n=0$的解为这两个交点的横坐标，即$x_1=-1$，$x_2=3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象与x轴交点的意义
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数和一元二次方程的对应关系，牢记相关概念就能快速得出答案，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.9
