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【例2】利用二次函数的图象求一元二次方程$x^2 + 2x - 2 = 0$的根的近似值（精确到0.1）。
答案
解:(1)作出二次函数$y=x^2+2x-2$的图象.
$\because y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$,
$\therefore$顶点坐标为$(-1,-3)$,对称轴为直线$x=-1$.
列表：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|
| $y$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$| $1$ |
描点并作出图象,如图所示
.由图象可知方程有两根,一个在$-3$和$-2$之间,另一个在$0$和$1$之间.
(2)求出在$-3$和$-2$之间的根,利用计算器进行探索.
| $x$ | $-2.9$ | $-2.8$ | $-2.7$ | $-2.6$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$| $-0.44$|
因此,$x=-2.7$是方程的一个近似根.
(3)求出在$0$和$1$之间的根,利用计算器进行探索.
| $x$ | $0.9$ | $0.8$ | $0.7$ | $0.6$ |
|-----|-------|-------|-------|-------|
| $y$ | $0.61$| $0.24$| $-0.11$| $-0.44$|
因此$x=0.7$是方程的一个近似根.
故一元二次方程$x^2+2x-2=0$的根的近似值为$x_1=-2.7,x_2=0.7$.
解析
【分析】
要利用二次函数图象求一元二次方程的近似根，首先需明确二者的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：第一步，确定本题对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$，将其配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，方便准确绘制函数图象；第二步，通过描点画图，观察图象与x轴的交点所在的整数区间，确定两个根的大致范围；第三步，在对应区间内逐步取精确到十分位的x值，计算对应的y值，找到y值最接近0时的x，即为方程的近似根。
【解析】
(1) 先作二次函数$y=x^2+2x-2$的图象。
对函数配方得：$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$，因此该函数的顶点坐标为$(-1,-3)$，对称轴为直线$x=-1$。
列表取值：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|
| $y$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$| $1$ |
描点并作出图象，如图所示。
观察图象可知，方程有两个根，一个在$-3$和$-2$之间，另一个在$0$和$1$之间。
(2) 求$-3$和$-2$之间的近似根，通过试值探索：
| $x$ | $-2.9$ | $-2.8$ | $-2.7$ | $-2.6$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$| $-0.44$|
当$x=-2.7$时，$y$值最接近0，因此$x=-2.7$是方程的一个近似根。
(3) 求$0$和$1$之间的近似根，通过试值探索：
| $x$ | $0.9$ | $0.8$ | $0.7$ | $0.6$ |
|-----|-------|-------|-------|-------|
| $y$ | $0.61$| $0.24$| $-0.11$| $-0.44$|
当$x=0.7$时，$y$值最接近0，因此$x=0.7$是方程的另一个近似根。
【答案】
一元二次方程$x^2+2x-2=0$的根的近似值为$x_1=-2.7,x_2=0.7$，对应二次函数图象为。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象；估算方程的近似根
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解二次函数与x轴交点横坐标和对应一元二次方程根的对应关系，通过绘图确定根的范围后，用试值法逐步缩小范围即可得到近似根，能帮助学生建立函数与方程的关联认知。
【难度系数】
0.7
要利用二次函数图象求一元二次方程的近似根，首先需明确二者的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标。解题思路如下：第一步，确定本题对应的二次函数为$y=x^2+2x-2$，将其配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，方便准确绘制函数图象；第二步，通过描点画图，观察图象与x轴的交点所在的整数区间，确定两个根的大致范围；第三步，在对应区间内逐步取精确到十分位的x值，计算对应的y值，找到y值最接近0时的x，即为方程的近似根。
【解析】
(1) 先作二次函数$y=x^2+2x-2$的图象。
对函数配方得：$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$，因此该函数的顶点坐标为$(-1,-3)$，对称轴为直线$x=-1$。
列表取值：
| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|------|------|-----|-----|
| $y$ | $1$ | $-2$ | $-3$ | $-2$| $1$ |
描点并作出图象，如图所示
。观察图象可知，方程有两个根，一个在$-3$和$-2$之间，另一个在$0$和$1$之间。
(2) 求$-3$和$-2$之间的近似根，通过试值探索：
| $x$ | $-2.9$ | $-2.8$ | $-2.7$ | $-2.6$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $0.61$ | $0.24$ | $-0.11$| $-0.44$|
当$x=-2.7$时，$y$值最接近0，因此$x=-2.7$是方程的一个近似根。
(3) 求$0$和$1$之间的近似根，通过试值探索：
| $x$ | $0.9$ | $0.8$ | $0.7$ | $0.6$ |
|-----|-------|-------|-------|-------|
| $y$ | $0.61$| $0.24$| $-0.11$| $-0.44$|
当$x=0.7$时，$y$值最接近0，因此$x=0.7$是方程的另一个近似根。
【答案】
一元二次方程$x^2+2x-2=0$的根的近似值为$x_1=-2.7,x_2=0.7$，对应二次函数图象为
。【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象；估算方程的近似根
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，核心是理解二次函数与x轴交点横坐标和对应一元二次方程根的对应关系，通过绘图确定根的范围后，用试值法逐步缩小范围即可得到近似根，能帮助学生建立函数与方程的关联认知。
【难度系数】
0.7
【变式】如图,以$(2,5)$为顶点的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴负半轴交于点$A$,则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是（
A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
D
）A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，需结合二次函数的对称性分析：首先，二次函数的顶点横坐标即为抛物线的对称轴，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个根。第一步先确定对称轴，第二步从图中读出负根的取值范围，第三步利用对称轴的性质推导正根的取值范围即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,5)$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$。
观察图像可得，抛物线与x轴负半轴的交点A的横坐标（即方程的负根$x_1$）满足：$\boldsymbol{-2 ＜ x_1 ＜ -1}$。
设方程的正数解为$x_2$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=2$对称，因此两个根到对称轴的距离相等，即：
$2 - x_1 = x_2 - 2$，整理得$x_2 = 4 - x_1$。
对$x_1$的范围变形计算：
当$x_1 ＞ -2$时，$-x_1 ＜ 2$，则$x_2 = 4 - x_1 ＜ 4 + 2 = 6$；
当$x_1 ＜ -1$时，$-x_1 ＞ 1$，则$x_2 = 4 - x_1 ＞ 4 + 1 = 5$。
因此正数解的范围是$5 ＜ x ＜ 6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，不需要求解函数解析式，只需利用二次函数图像的对称性质，结合已知的负根范围即可推导出正根范围，解题关键是明确抛物线与x轴的交点关于对称轴对称。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合二次函数的对称性分析：首先，二次函数的顶点横坐标即为抛物线的对称轴，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两个交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个根。第一步先确定对称轴，第二步从图中读出负根的取值范围，第三步利用对称轴的性质推导正根的取值范围即可。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,5)$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$。
观察图像可得，抛物线与x轴负半轴的交点A的横坐标（即方程的负根$x_1$）满足：$\boldsymbol{-2 ＜ x_1 ＜ -1}$。
设方程的正数解为$x_2$，根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=2$对称，因此两个根到对称轴的距离相等，即：
$2 - x_1 = x_2 - 2$，整理得$x_2 = 4 - x_1$。
对$x_1$的范围变形计算：
当$x_1 ＞ -2$时，$-x_1 ＜ 2$，则$x_2 = 4 - x_1 ＜ 4 + 2 = 6$；
当$x_1 ＜ -1$时，$-x_1 ＞ 1$，则$x_2 = 4 - x_1 ＞ 4 + 1 = 5$。
因此正数解的范围是$5 ＜ x ＜ 6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，不需要求解函数解析式，只需利用二次函数图像的对称性质，结合已知的负根范围即可推导出正根范围，解题关键是明确抛物线与x轴的交点关于对称轴对称。
【难度系数】
0.7
【例3】教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系(如图)，发现铅球与地面的高度 $y(\mathrm{m})$和运动员出手点的水平距离 $x(\mathrm{m})$之间的函数关系为 $y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2$，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是
10
m.答案
10
解析
【分析】
要计算铅球落地点与出手点的水平距离，首先明确落地点的含义是铅球高度为0，即$ y=0 $。因此只需将$ y=0 $代入给出的二次函数解析式，求解对应的$ x $的值，再结合实际意义舍去负数解，剩下的正数值就是所求的水平距离。
【解析】
解：当铅球落地时，铅球与地面的高度为0，即$ y=0 $。
将$ y=0 $代入函数解析式$ y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2 $，得：
$ -\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2 = 0 $
方程两边同时乘10消去分母，得：
$ -x^2 + 8x + 20 = 0 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 - 8x - 20 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 10)(x + 2) = 0 $
解得：$ x_1 = 10 $，$ x_2 = -2 $
因为水平距离不能为负数，所以舍去$ x=-2 $，即铅球落地点与运动员出手点的水平距离是10m。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解实际场景中特殊点对应的函数值特征，同时要注意根据实际意义对方程的解进行取舍，属于二次函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算铅球落地点与出手点的水平距离，首先明确落地点的含义是铅球高度为0，即$ y=0 $。因此只需将$ y=0 $代入给出的二次函数解析式，求解对应的$ x $的值，再结合实际意义舍去负数解，剩下的正数值就是所求的水平距离。
【解析】
解：当铅球落地时，铅球与地面的高度为0，即$ y=0 $。
将$ y=0 $代入函数解析式$ y=-\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2 $，得：
$ -\dfrac{1}{10}x^2+\dfrac{4}{5}x+2 = 0 $
方程两边同时乘10消去分母，得：
$ -x^2 + 8x + 20 = 0 $
整理为标准一元二次方程形式：
$ x^2 - 8x - 20 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 10)(x + 2) = 0 $
解得：$ x_1 = 10 $，$ x_2 = -2 $
因为水平距离不能为负数，所以舍去$ x=-2 $，即铅球落地点与运动员出手点的水平距离是10m。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解实际场景中特殊点对应的函数值特征，同时要注意根据实际意义对方程的解进行取舍，属于二次函数应用类的基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与$x$轴交于$A(-2,0),B(3,0)$两点,则关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + 2=0$的解为 (
A.$x_1=-2,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=2$
D.$x_1=2,x_2=-3$
A
)A.$x_1=-2,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=2$
C.$x_1=-1,x_2=2$
D.$x_1=2,x_2=-3$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先明确对应关系：关于x的一元二次方程$ax^2 - bx + 2=0$的解，就是二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与x轴交点的横坐标。题目已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，只需提取两个交点的横坐标，即可得到方程的解，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时，对应的x的值就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，也对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。
已知二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，因此方程$ax^2 - bx + 2=0$的解为$x_1=-2$，$x_2=3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点
【点评】
本题是基础概念类题目，不需要复杂计算，只要牢记二次函数和对应一元二次方程的关联，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确对应关系：关于x的一元二次方程$ax^2 - bx + 2=0$的解，就是二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与x轴交点的横坐标。题目已经直接给出二次函数与x轴的两个交点坐标，只需提取两个交点的横坐标，即可得到方程的解，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：当二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时，对应的x的值就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解，也对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。
已知二次函数$y=ax^2 - bx + 2$的图象与x轴交于$A(-2,0)$、$B(3,0)$两点，因此方程$ax^2 - bx + 2=0$的解为$x_1=-2$，$x_2=3$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与x轴交点
【点评】
本题是基础概念类题目，不需要复杂计算，只要牢记二次函数和对应一元二次方程的关联，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. (2025沈阳模拟)函数$y=x^2 -x +1$的图象与$x$轴的交点的情况是 （
A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
C
）A.有两个交点
B.有一个交点
C.没有交点
D.无法判断
答案
2. C
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用一元二次方程根的判别式Δ判断：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$对应的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$，Δ＞0时函数图象与x轴有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ＜0时没有交点。解题时先确定函数中a、b、c的取值，再计算Δ的正负，最后根据Δ的取值判断交点情况即可。
【解析】
对于函数$y=x^2 -x +1$，可得$a=1$，$b=-1$，$c=1$，
计算根的判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-1)^2 -4×1×1=1-4=-3$，
∵$\Delta=-3＜0$，
∴一元二次方程$x^2 -x +1=0$没有实数根，即函数图象与x轴没有交点。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题核心是掌握判别式取值和函数图象与x轴交点个数的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用一元二次方程根的判别式Δ判断：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$对应的一元二次方程为$ax^2+bx+c=0$，Δ＞0时函数图象与x轴有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ＜0时没有交点。解题时先确定函数中a、b、c的取值，再计算Δ的正负，最后根据Δ的取值判断交点情况即可。
【解析】
对于函数$y=x^2 -x +1$，可得$a=1$，$b=-1$，$c=1$，
计算根的判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-1)^2 -4×1×1=1-4=-3$，
∵$\Delta=-3＜0$，
∴一元二次方程$x^2 -x +1=0$没有实数根，即函数图象与x轴没有交点。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；根的判别式
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题核心是掌握判别式取值和函数图象与x轴交点个数的对应关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. (2025 遂宁模拟)下表列出了函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 中自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的部分对应值. 根据表中数据, 判断一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $ 的一个解在哪两个相邻的整数之间 (
A.1与2之间
B.-2与-1之间
C.-1与0之间
D.0与1之间
D
)A.1与2之间
B.-2与-1之间
C.-1与0之间
D.0与1之间
答案
3. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解的范围，首先要明确一元二次方程的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，若两个相邻整数对应的函数值一正一负，说明在这两个整数之间函数图象与$x$轴有交点，即存在$x$使得$y=0$，也就是方程的解落在这两个整数之间，接下来只需观察表格中相邻$x$对应的$y$值的符号变化即可找到范围。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=0$时，$y=1＞0$；
当$x=1$时，$y=-2＜0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$0＜x＜1$的范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解在0与1之间。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的性质；函数值符号判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，通过函数值的正负变化判断方程解的范围，解题的关键是理解二者的内在关联，结合表格数据快速定位符号变化的区间。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解的范围，首先要明确一元二次方程的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中函数值$y=0$时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，若两个相邻整数对应的函数值一正一负，说明在这两个整数之间函数图象与$x$轴有交点，即存在$x$使得$y=0$，也就是方程的解落在这两个整数之间，接下来只需观察表格中相邻$x$对应的$y$值的符号变化即可找到范围。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=0$时，$y=1＞0$；
当$x=1$时，$y=-2＜0$。
由于二次函数图象是连续的，因此在$0＜x＜1$的范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一个解在0与1之间。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的性质；函数值符号判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的对应关系，通过函数值的正负变化判断方程解的范围，解题的关键是理解二者的内在关联，结合表格数据快速定位符号变化的区间。
【难度系数】
0.8
4.在平面直角坐标系中，若抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点，则k的值为
1
。答案
4. 1
解析
【分析】
抛物线与x轴的交点个数和其对应的一元二次方程的根的情况一一对应：当抛物线与x轴只有1个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0。我们可以先写出抛物线对应的一元二次方程，确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式列方程求解，即可得到k的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点
∴一元二次方程$x^2+2x+k=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
在方程$x^2+2x+k=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入判别式得：
$2^2 - 4×1× k = 0$
$4 - 4k = 0$
解得$k=1$
【答案】
1
【知识点】
抛物线与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关联，牢记交点个数和判别式的三类对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
抛物线与x轴的交点个数和其对应的一元二次方程的根的情况一一对应：当抛物线与x轴只有1个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式Δ=0。我们可以先写出抛物线对应的一元二次方程，确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式列方程求解，即可得到k的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+2x+k$与x轴只有一个交点
∴一元二次方程$x^2+2x+k=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta = b^2-4ac=0$
在方程$x^2+2x+k=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=k$，代入判别式得：
$2^2 - 4×1× k = 0$
$4 - 4k = 0$
解得$k=1$
【答案】
1
【知识点】
抛物线与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关联，牢记交点个数和判别式的三类对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. (2026北京月考)函数$y=(m-1)x^2 + 2x + 1$与x轴有两个交点，求m的取值范围.
答案
5. 解:由条件得$\begin{cases}\Delta=2^2 - 4·(m-1)·1＞0,\\m-1≠0,\end{cases}$
解得$m＜2$且$m≠1$.
解得$m＜2$且$m≠1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：函数与x轴有两个交点，说明该函数是二次函数（一次函数与x轴最多只有1个交点），因此首先要满足二次项系数不为0；其次，二次函数与x轴有两个交点等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式Δ＞0，联立两个条件解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^2 + 2x + 1$与x轴有两个交点，
∴该函数为二次函数，且对应的一元二次方程$(m-1)x^2 + 2x + 1=0$有两个不相等的实数根，
可得不等式组：
$\begin{cases}m-1≠0\\\Delta = 2^2 - 4·(m-1)·1 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得：$m≠1$
解第二个不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$4 -4m +4 ＞0$
$8 -4m ＞0$
解得$m ＜2$
综上，m的取值范围是$m ＜ 2$且$m≠1$。
【答案】
$m ＜ 2$且$m≠1$
【知识点】
二次函数的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0求出m＜2而漏解。做此类题时要先根据交点个数判断函数类型，再结合对应性质列条件求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确：函数与x轴有两个交点，说明该函数是二次函数（一次函数与x轴最多只有1个交点），因此首先要满足二次项系数不为0；其次，二次函数与x轴有两个交点等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式Δ＞0，联立两个条件解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵函数$y=(m-1)x^2 + 2x + 1$与x轴有两个交点，
∴该函数为二次函数，且对应的一元二次方程$(m-1)x^2 + 2x + 1=0$有两个不相等的实数根，
可得不等式组：
$\begin{cases}m-1≠0\\\Delta = 2^2 - 4·(m-1)·1 ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式得：$m≠1$
解第二个不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$4 -4m +4 ＞0$
$8 -4m ＞0$
解得$m ＜2$
综上，m的取值范围是$m ＜ 2$且$m≠1$。
【答案】
$m ＜ 2$且$m≠1$
【知识点】
二次函数的定义；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式大于0求出m＜2而漏解。做此类题时要先根据交点个数判断函数类型，再结合对应性质列条件求解。
【难度系数】
0.7
