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6. (2025 惠州月考)一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度 $h(\mathrm{m})$与弹出的时间 $t(\mathrm{s})$满足的关系式为 $h=15t-5t^2$. 当小球第一次距离地面 10 m 时，小球弹出的时间是多少秒？
答案
6. 解:当$h=10$时,$15t-5t^2=10$,
解得$t_1=1,t_2=2$,
$\because$小球第一次距离地面10 m,
$\therefore t=1$,即1 s.
解得$t_1=1,t_2=2$,
$\because$小球第一次距离地面10 m,
$\therefore t=1$,即1 s.
解析
【分析】
要求小球第一次距离地面10m时的弹出时间，首先明确已知高度和时间的函数关系式，我们可以将h=10代入关系式得到关于t的一元二次方程，求解后得到两个时间解，这两个解分别对应小球上升到10m和下落回到10m的时间，结合“第一次”的要求，取较小的时间即可。
【解析】
解：当小球距离地面高度$h=10\mathrm{m}$时，代入$h=15t-5t^2$可得：
$15t-5t^2=10$
整理方程，移项得$5t^2-15t+10=0$，两边同时除以5化简为：
$t^2-3t+2=0$
因式分解得$(t-1)(t-2)=0$，解得：
$t_1=1$，$t_2=2$
由于是小球第一次距离地面10m，因此选取较小的时间值，即$t=1$。
【答案】
1 s
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法、实际问题解的取舍
【点评】
本题是二次函数结合实际运动场景的基础题型，解题核心是准确代入已知量列方程，同时要注意结合实际意义对求出的方程的解进行筛选，避免漏看限制条件导致错选多解。
【难度系数】
0.8
要求小球第一次距离地面10m时的弹出时间，首先明确已知高度和时间的函数关系式，我们可以将h=10代入关系式得到关于t的一元二次方程，求解后得到两个时间解，这两个解分别对应小球上升到10m和下落回到10m的时间，结合“第一次”的要求，取较小的时间即可。
【解析】
解：当小球距离地面高度$h=10\mathrm{m}$时，代入$h=15t-5t^2$可得：
$15t-5t^2=10$
整理方程，移项得$5t^2-15t+10=0$，两边同时除以5化简为：
$t^2-3t+2=0$
因式分解得$(t-1)(t-2)=0$，解得：
$t_1=1$，$t_2=2$
由于是小球第一次距离地面10m，因此选取较小的时间值，即$t=1$。
【答案】
1 s
【知识点】
二次函数的实际应用、一元二次方程的解法、实际问题解的取舍
【点评】
本题是二次函数结合实际运动场景的基础题型，解题核心是准确代入已知量列方程，同时要注意结合实际意义对求出的方程的解进行筛选，避免漏看限制条件导致错选多解。
【难度系数】
0.8
7. 抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，其与$x$轴的一个交点坐标为$(-4,0)$，对称轴为直线$x=-1$，则$y＞0$时，$x$的取值范围是
$x＜-4或x＞2$
。答案
7. $x＜-4或x＞2$
解析
【分析】
要确定$y＞0$时$x$的取值范围，需先找到抛物线与$x$轴的全部交点，再结合抛物线开口方向判断$x$轴上方图像对应的$x$范围：第一步利用抛物线的轴对称性，结合已知的对称轴和一个$x$轴交点，求出另一个交点坐标；第二步根据开口向上的抛物线，$y＞0$的部分对应$x$轴上方的图像，对应$x$在两个交点外侧，即可得到取值范围。
【解析】
解：$\because$ 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(-4,0)$
设抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(m,0)$，根据对称轴为两个交点横坐标的中点，可得：
$\frac{-4+m}{2}=-1$
解得$m=2$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(2,0)$
由图像可知抛物线开口向上，因此当$x＜-4$或$x＞2$时，抛物线位于$x$轴上方，此时$y＞0$。
【答案】
$x＜-4或x＞2$
【知识点】
抛物线的对称性、二次函数与不等式、二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数的图像与性质，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的$x$轴交点，再结合图像判断函数值的取值范围，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
要确定$y＞0$时$x$的取值范围，需先找到抛物线与$x$轴的全部交点，再结合抛物线开口方向判断$x$轴上方图像对应的$x$范围：第一步利用抛物线的轴对称性，结合已知的对称轴和一个$x$轴交点，求出另一个交点坐标；第二步根据开口向上的抛物线，$y＞0$的部分对应$x$轴上方的图像，对应$x$在两个交点外侧，即可得到取值范围。
【解析】
解：$\because$ 抛物线是轴对称图形，对称轴为直线$x=-1$，且抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(-4,0)$
设抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(m,0)$，根据对称轴为两个交点横坐标的中点，可得：
$\frac{-4+m}{2}=-1$
解得$m=2$，即抛物线与$x$轴的另一个交点为$(2,0)$
由图像可知抛物线开口向上，因此当$x＜-4$或$x＞2$时，抛物线位于$x$轴上方，此时$y＞0$。
【答案】
$x＜-4或x＞2$
【知识点】
抛物线的对称性、二次函数与不等式、二次函数图像性质
【点评】
本题考查二次函数的图像与性质，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的$x$轴交点，再结合图像判断函数值的取值范围，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
8.如图，抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标分别为$A(-2,4),B(1,1)$，则关于$x$的方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为
$x_1=-2,x_2=1$
.答案
8. $x_1=-2,x_2=1$
解析
【分析】
要求方程$ax^2 - bx - c = 0$的解，可先对该方程变形，转化为$ax^2=bx+c$的形式。不难发现等式左边是抛物线的函数表达式，右边是直线的函数表达式，等式成立对应的就是两个函数图象交点处的自变量$x$的取值，即两个函数交点的横坐标。题目已给出抛物线与直线的两个交点坐标，直接提取横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$移项，可得$ax^2 = bx + c$。
根据函数图象交点的意义：两个函数图象交点的横坐标，就是两个函数值相等时对应的自变量$x$的取值，也就是方程$ax^2 = bx + c$的解。
已知抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
1. 函数图象交点与方程解的关系
2. 一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只要理解函数交点坐标和对应方程解的对应关系即可快速得出答案，是对函数与方程关联知识点的基础考查。
【难度系数】
0.8
要求方程$ax^2 - bx - c = 0$的解，可先对该方程变形，转化为$ax^2=bx+c$的形式。不难发现等式左边是抛物线的函数表达式，右边是直线的函数表达式，等式成立对应的就是两个函数图象交点处的自变量$x$的取值，即两个函数交点的横坐标。题目已给出抛物线与直线的两个交点坐标，直接提取横坐标即可得到方程的解。
【解析】
将方程$ax^2 - bx - c = 0$移项，可得$ax^2 = bx + c$。
根据函数图象交点的意义：两个函数图象交点的横坐标，就是两个函数值相等时对应的自变量$x$的取值，也就是方程$ax^2 = bx + c$的解。
已知抛物线$y=ax^2$与直线$y=bx+c$的两个交点坐标为$A(-2,4)$、$B(1,1)$，两个交点的横坐标分别为$-2$和$1$，因此方程$ax^2 - bx - c = 0$的解为$x_1=-2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=-2,x_2=1$
【知识点】
1. 函数图象交点与方程解的关系
2. 一次函数与二次函数的交点
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，无需复杂计算，只要理解函数交点坐标和对应方程解的对应关系即可快速得出答案，是对函数与方程关联知识点的基础考查。
【难度系数】
0.8
9. (2026西安一模)小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数。已知实心球出手时候的高度是2 m，当水平距离是4 m时，实心球达到最大高度3.6 m。
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；
(2)若规定在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.6 m时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由。
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；
(2)若规定在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于9.6 m时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由。
答案
9. 解:(1)由题意可知,抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$,
设抛物线的函数表达式是$y=a(x-4)^2+3.6(a≠0)$,
把点$(0,2)$代入,得$a(0-4)^2+3.6=2$,
解得$a=-\frac{1}{10}$,
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6$.
(2)小明在这次投掷中得到了满分.理由如下：
当$y=0$时,则$-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$,
解得$x=10$或$x=-2$(舍去),
$\because 10＞9.6$,
$\therefore$小明在这次投掷中得到了满分.
设抛物线的函数表达式是$y=a(x-4)^2+3.6(a≠0)$,
把点$(0,2)$代入,得$a(0-4)^2+3.6=2$,
解得$a=-\frac{1}{10}$,
$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6$.
(2)小明在这次投掷中得到了满分.理由如下：
当$y=0$时,则$-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$,
解得$x=10$或$x=-2$(舍去),
$\because 10＞9.6$,
$\therefore$小明在这次投掷中得到了满分.
解析
【分析】
（1）已知二次函数的顶点坐标为$(4,3.6)$，因此选用顶点式设函数解析式更简便，再将实心球出手点$(0,2)$代入解析式，求出待定系数$a$即可得到函数表达式。
（2）实心球落地时竖直高度为0，因此令函数中$y=0$，求解得到的正的$x$值就是投掷的水平距离，将该值和9.6m比较即可判断是否得满分。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2+3.6\ (a≠ 0)$。
将出手点坐标$(0,2)$代入解析式，得：
$a(0-4)^2+3.6=2$
解得$a=-\frac{1}{10}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6$。
(2) 小明在此次投掷中得到了满分，理由如下：
实心球落地时竖直高度$y=0$，令$y=0$，可得方程：
$-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$
解得$x=10$或$x=-2$（水平距离不能为负，舍去）。
因为$10＞9.6$，所以小明此次投掷的水平距离满足满分要求，可得满分。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6$
(2) 小明在此次投掷中得到了满分。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合生活中投掷实心球的场景考查二次函数的相关应用，解题核心是合理选择函数解析式的形式，再结合实际意义求解对应量，兼顾了对知识应用能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）已知二次函数的顶点坐标为$(4,3.6)$，因此选用顶点式设函数解析式更简便，再将实心球出手点$(0,2)$代入解析式，求出待定系数$a$即可得到函数表达式。
（2）实心球落地时竖直高度为0，因此令函数中$y=0$，求解得到的正的$x$值就是投掷的水平距离，将该值和9.6m比较即可判断是否得满分。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,3.6)$，设抛物线的函数表达式为$y=a(x-4)^2+3.6\ (a≠ 0)$。
将出手点坐标$(0,2)$代入解析式，得：
$a(0-4)^2+3.6=2$
解得$a=-\frac{1}{10}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6$。
(2) 小明在此次投掷中得到了满分，理由如下：
实心球落地时竖直高度$y=0$，令$y=0$，可得方程：
$-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6=0$
解得$x=10$或$x=-2$（水平距离不能为负，舍去）。
因为$10＞9.6$，所以小明此次投掷的水平距离满足满分要求，可得满分。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{10}(x-4)^2+3.6$
(2) 小明在此次投掷中得到了满分。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题结合生活中投掷实心球的场景考查二次函数的相关应用，解题核心是合理选择函数解析式的形式，再结合实际意义求解对应量，兼顾了对知识应用能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.7
10. 如果抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”.现有以下说法：
①抛物线 $ y = -x^2 + 2x - 3 $ 不存在“量子三角形”；
②若抛物线 $ y = x^2 + bx $ 的“量子三角形”是等边三角形，则该等边三角形的面积是 $ 3\sqrt{3} $；
③若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 中系数 $ a, b, c $ 均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条.
其中，正确的说法个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
①抛物线 $ y = -x^2 + 2x - 3 $ 不存在“量子三角形”；
②若抛物线 $ y = x^2 + bx $ 的“量子三角形”是等边三角形，则该等边三角形的面积是 $ 3\sqrt{3} $；
③若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 中系数 $ a, b, c $ 均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条.
其中，正确的说法个数是（
D
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
10. D
解析
【分析】
首先明确“量子三角形”的成立前提是抛物线与x轴有两个交点（即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$），该三角形的底为两交点的距离$d=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，高为顶点纵坐标的绝对值$h=\frac{\Delta}{4|a|}$，再结合各说法的条件逐一验证：
①先计算给定抛物线的判别式，判断是否与x轴有交点即可；
②等边三角形满足高$=\frac{\sqrt{3}}{2} ×$底边长，列等式求出边长后计算面积验证；
③等腰直角三角形满足高$=\frac{1}{2} ×$底边长，推导得$\Delta=4$，再结合$a,b,c$的取值限制枚举符合条件的抛物线个数即可。
【解析】
逐个判断三个说法：
1. 判断说法①：
抛物线$y=-x^2+2x-3$的判别式$\Delta=2^2-4×(-1)×(-3)=4-12=-8＜0$，与x轴无交点，因此不存在“量子三角形”，说法①正确。
2. 判断说法②：
抛物线$y=x^2+bx$，$\Delta=b^2＞0$（$b≠0$），两交点距离$d=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=|b|$；
顶点纵坐标$y=\frac{4×1×0 - b^2}{4×1}=-\frac{b^2}{4}$，因此高$h=\frac{b^2}{4}$；
因为是等边三角形，故$h=\frac{\sqrt{3}}{2} × d$，代入得：$\frac{b^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}×|b|$，
两边除以$|b|$（$b≠0$）得$|b|=2\sqrt{3}$，即边长$d=2\sqrt{3}$，
等边三角形面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4} × d^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=3\sqrt{3}$，说法②正确。
3. 判断说法③：
“量子三角形”本身为等腰三角形，若为等腰直角三角形，则高$h=\frac{1}{2} ×$底边长$d$，
代入$h=\frac{\Delta}{4|a|}$，$d=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，得：$\frac{\Delta}{4|a|}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，
约去$|a|$，设$t=\sqrt{\Delta}＞0$，得$\frac{t^2}{4}=\frac{t}{2}$，解得$t=2$，即$\Delta=4$。
已知$a,b,c$均为绝对值不大于1的整数，$a≠0$，故$a\in\{\pm1\},b\in\{-1,0,1\},c\in\{\pm1,0\}$，$\Delta=b^2-4ac=4$：
整理得$4ac=b^2-4$，右边$b^2$最大为1，故$b^2-4≤-3$，因此$4ac$只能为$-4$，即$b^2-4=-4\rightarrow b=0$，$ac=-1$。
满足$ac=-1$的组合只有：$(a=1,c=-1)$、$(a=-1,c=1)$，对应2条抛物线，说法③正确。
综上，①②③均正确，正确说法的个数为3。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质、特殊三角形性质、一元二次方程判别式
【点评】
本题为二次函数新定义题型，核心是将新定义转化为二次函数判别式、交点距离、顶点坐标等已有知识点，结合特殊三角形的边长关系列等式求解，考查知识迁移和分类讨论能力。
【难度系数】
0.3
首先明确“量子三角形”的成立前提是抛物线与x轴有两个交点（即判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$），该三角形的底为两交点的距离$d=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，高为顶点纵坐标的绝对值$h=\frac{\Delta}{4|a|}$，再结合各说法的条件逐一验证：
①先计算给定抛物线的判别式，判断是否与x轴有交点即可；
②等边三角形满足高$=\frac{\sqrt{3}}{2} ×$底边长，列等式求出边长后计算面积验证；
③等腰直角三角形满足高$=\frac{1}{2} ×$底边长，推导得$\Delta=4$，再结合$a,b,c$的取值限制枚举符合条件的抛物线个数即可。
【解析】
逐个判断三个说法：
1. 判断说法①：
抛物线$y=-x^2+2x-3$的判别式$\Delta=2^2-4×(-1)×(-3)=4-12=-8＜0$，与x轴无交点，因此不存在“量子三角形”，说法①正确。
2. 判断说法②：
抛物线$y=x^2+bx$，$\Delta=b^2＞0$（$b≠0$），两交点距离$d=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=|b|$；
顶点纵坐标$y=\frac{4×1×0 - b^2}{4×1}=-\frac{b^2}{4}$，因此高$h=\frac{b^2}{4}$；
因为是等边三角形，故$h=\frac{\sqrt{3}}{2} × d$，代入得：$\frac{b^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}×|b|$，
两边除以$|b|$（$b≠0$）得$|b|=2\sqrt{3}$，即边长$d=2\sqrt{3}$，
等边三角形面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4} × d^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(2\sqrt{3})^2=3\sqrt{3}$，说法②正确。
3. 判断说法③：
“量子三角形”本身为等腰三角形，若为等腰直角三角形，则高$h=\frac{1}{2} ×$底边长$d$，
代入$h=\frac{\Delta}{4|a|}$，$d=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，得：$\frac{\Delta}{4|a|}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$，
约去$|a|$，设$t=\sqrt{\Delta}＞0$，得$\frac{t^2}{4}=\frac{t}{2}$，解得$t=2$，即$\Delta=4$。
已知$a,b,c$均为绝对值不大于1的整数，$a≠0$，故$a\in\{\pm1\},b\in\{-1,0,1\},c\in\{\pm1,0\}$，$\Delta=b^2-4ac=4$：
整理得$4ac=b^2-4$，右边$b^2$最大为1，故$b^2-4≤-3$，因此$4ac$只能为$-4$，即$b^2-4=-4\rightarrow b=0$，$ac=-1$。
满足$ac=-1$的组合只有：$(a=1,c=-1)$、$(a=-1,c=1)$，对应2条抛物线，说法③正确。
综上，①②③均正确，正确说法的个数为3。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质、特殊三角形性质、一元二次方程判别式
【点评】
本题为二次函数新定义题型，核心是将新定义转化为二次函数判别式、交点距离、顶点坐标等已有知识点，结合特殊三角形的边长关系列等式求解，考查知识迁移和分类讨论能力。
【难度系数】
0.3
