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【例1】如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10 m时，桥洞与水面的最大距离是5 m.建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6 m，求水面上涨的高度.
方法技巧 建立平面直角坐标系的原则：
(1)简洁性，所建立的坐标系使二次函数表达式比较简洁；(2)可化性，能将已知条件转化为抛物线上的一些点的坐标.具体方法是要交代清楚坐标原点与坐标轴.
(1)求抛物线的表达式；
(2)因为上游水库泄洪，水面宽度变为6 m，求水面上涨的高度.
方法技巧 建立平面直角坐标系的原则：
(1)简洁性，所建立的坐标系使二次函数表达式比较简洁；(2)可化性，能将已知条件转化为抛物线上的一些点的坐标.具体方法是要交代清楚坐标原点与坐标轴.
答案
解:(1)如图
,以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意，得A(5,0),C(0,5)，设抛物线的表达式为y=ax²+5，把A(5,0)代入，得a=-1/5，∴抛物线的表达式为y=-1/5 x²+5。
(2)当x=3时，y=-1/5 ×3²+5=16/5，
∴当水面宽度变为6 m时，水面上涨的高度为16/5 m。
解析
【分析】
要解决这道题，首先按照简洁易算的原则建立平面直角坐标系，将实际长度转化为抛物线上点的坐标：1. 求抛物线表达式时，已知抛物线顶点和与x轴的交点，优先选用顶点式设解析式，再代入已知点坐标，用待定系数法求解系数即可；2. 求水面上涨高度时，水面宽度为6m意味着此时水面与抛物线交点的横坐标为±3，代入解析式求得的y值就是水面相对于原水面的高度，即上涨的高度。
【解析】
(1) 如图，以水面所在直线为x轴，桥洞顶点所在的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线与x轴右交点A(5,0)，顶点C(0,5)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+5$，将A(5,0)代入得：
$0=a×5^2+5$，解得$a=-\frac{1}{5}$。
(2) 水面宽度变为6m时，水面和抛物线交点的横坐标为$x=\pm3$，将$x=3$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{5}×3^2+5=\frac{16}{5}$，即此时水面高度为$\frac{16}{5}$m，也就是水面上涨的高度。
【答案】
解:(1)如图,以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意，得A(5,0),C(0,5)，设抛物线的表达式为y=ax²+5，把A(5,0)代入，得a=-1/5，
∴抛物线的表达式为y=-1/5 x²+5。
(2)当x=3时，y=-1/5 ×3²+5=16/5，
∴当水面宽度变为6 m时，水面上涨的高度为16/5 m。
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际拱桥问题的典型题型，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际几何长度转化为抛物线上点的坐标，再结合二次函数的性质计算求解，可锻炼数学建模能力与运算能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先按照简洁易算的原则建立平面直角坐标系，将实际长度转化为抛物线上点的坐标：1. 求抛物线表达式时，已知抛物线顶点和与x轴的交点，优先选用顶点式设解析式，再代入已知点坐标，用待定系数法求解系数即可；2. 求水面上涨高度时，水面宽度为6m意味着此时水面与抛物线交点的横坐标为±3，代入解析式求得的y值就是水面相对于原水面的高度，即上涨的高度。
【解析】
(1) 如图
，以水面所在直线为x轴，桥洞顶点所在的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得抛物线与x轴右交点A(5,0)，顶点C(0,5)。设抛物线解析式为$y=ax^2+5$，将A(5,0)代入得：
$0=a×5^2+5$，解得$a=-\frac{1}{5}$。
(2) 水面宽度变为6m时，水面和抛物线交点的横坐标为$x=\pm3$，将$x=3$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{5}×3^2+5=\frac{16}{5}$，即此时水面高度为$\frac{16}{5}$m，也就是水面上涨的高度。
【答案】
解:(1)如图
,以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意，得A(5,0),C(0,5)，设抛物线的表达式为y=ax²+5，把A(5,0)代入，得a=-1/5，∴抛物线的表达式为y=-1/5 x²+5。
(2)当x=3时，y=-1/5 ×3²+5=16/5，
∴当水面宽度变为6 m时，水面上涨的高度为16/5 m。
【知识点】
二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际拱桥问题的典型题型，解题核心是合理建立平面直角坐标系，将实际几何长度转化为抛物线上点的坐标，再结合二次函数的性质计算求解，可锻炼数学建模能力与运算能力。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，ABCD是一块边长为8 m的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x m.当x为何值时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大？并求出最大面积.
答案
解:设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为S m²，则S=(8-x)(8+2x)=-2x²+8x+64=-2(x-2)²+72，当x=2时，S有最大值72。答:当x=2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72 m²。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确矩形AEFG的长和宽与x的关系：已知正方形ABCD边长为8m，BE=x，可得AE的长度为AB-BE=8-x；又因为DG=2BE=2x，所以AG的长度为AD+DG=8+2x。接下来根据矩形面积=长×宽，列出面积S关于x的二次函数表达式，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，通过配方法求出最大值对应的x和最大面积即可。
【解析】
设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为S m²。
由题意可知：$AE = AB - BE = 8 - x$，$AG = AD + DG = 8 + 2x$，其中$0＜x＜8$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=AE· AG=(8-x)(8+2x)\\&=-2x^2+8x+64\\&=-2(x-2)^2+72\end{aligned}$
因为二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为72。
【答案】
当x=2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72 m²。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的基础应用，解题核心是正确用含x的代数式表示矩形的邻边长度，进而列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量x的实际取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确矩形AEFG的长和宽与x的关系：已知正方形ABCD边长为8m，BE=x，可得AE的长度为AB-BE=8-x；又因为DG=2BE=2x，所以AG的长度为AD+DG=8+2x。接下来根据矩形面积=长×宽，列出面积S关于x的二次函数表达式，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，通过配方法求出最大值对应的x和最大面积即可。
【解析】
设改造后的矩形苗圃AEFG的面积为S m²。
由题意可知：$AE = AB - BE = 8 - x$，$AG = AD + DG = 8 + 2x$，其中$0＜x＜8$。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=AE· AG=(8-x)(8+2x)\\&=-2x^2+8x+64\\&=-2(x-2)^2+72\end{aligned}$
因为二次项系数$-2＜0$，函数图象开口向下，因此当$x=2$时，$S$取得最大值，最大值为72。
【答案】
当x=2时，改造后的矩形苗圃AEFG的面积最大，最大面积为72 m²。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数的最值，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在几何实际问题中的基础应用，解题核心是正确用含x的代数式表示矩形的邻边长度，进而列出面积的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时要注意自变量x的实际取值范围，确保所求最值符合实际意义。
【难度系数】
0.7
【例3】某超市销售一种文具，进价为5元/件.在销售过程中发现，当售价为6元/件时，日销售量为100件，每件文具售价每上涨0.5元，日销售量就减少5件.设文具的售价为$ x $元/件时（$ x ≥ 6 $，且$ x $是按0.5元的倍数上涨），日销售利润为$ y $元.
(1)求$ y $关于$ x $的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若每件文具的利润不超过进价的80%，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为多少元？并求出最大利润.
(1)求$ y $关于$ x $的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若每件文具的利润不超过进价的80%，要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为多少元？并求出最大利润.
答案
解:(1)根据题意，得y=(x-5)[100-(x-6)÷0.5×5]=-10x²+210x-800，
∴y关于x的函数表达式为y=-10x²+210x-800。
(2)
∵每件文具的利润不超过进价的80%，
∴x-5≤5×80%，解得x≤9，
∴每件文具的售价x的取值范围是6≤x≤9。由(1)，得y=-10x²+210x-800=-10(x-21/2)²+605/2，
∵此抛物线的对称轴为直线x=21/2，开口向下，
∴当6≤x≤9时，y随x的增大而增大，
∴当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-21/2)²+605/2=280。故要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为9元，最大利润为280元。
∴y关于x的函数表达式为y=-10x²+210x-800。
(2)
∵每件文具的利润不超过进价的80%，
∴x-5≤5×80%，解得x≤9，
∴每件文具的售价x的取值范围是6≤x≤9。由(1)，得y=-10x²+210x-800=-10(x-21/2)²+605/2，
∵此抛物线的对称轴为直线x=21/2，开口向下，
∴当6≤x≤9时，y随x的增大而增大，
∴当x=9时，y取得最大值，此时y=-10×(9-21/2)²+605/2=280。故要想获得最大日销售利润，每件文具的售价应定为9元，最大利润为280元。
解析
【分析】
(1) 解题核心是明确日销售利润的计算逻辑：日销售利润=单件利润×日销售量。单件利润为售价x减去进价5元；日销售量根据涨幅计算：售价从6元涨到x元，共上涨(x-6)元，每涨0.5元销量减少5件，因此减少的销量为$\frac{x-6}{0.5} × 5$件，用基础销量100件减去减少的销量就是当日销售量，两个量相乘化简即可得到函数表达式。
(2) 先根据“每件利润不超过进价的80%”列不等式，求出售价x的取值范围。再将第一问得到的二次函数配方为顶点式，结合抛物线开口方向、对称轴，判断函数在x取值范围内的增减性，即可找到最大利润对应的售价，代入计算得到最大利润。
【解析】
(1) 根据题意，单件利润为$(x-5)$元，日销售量为$100-\frac{x-6}{0.5} × 5$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(x-5)(100-\frac{x-6}{0.5} × 5)\\&=(x-5)(160-10x)\\&=-10x^2+210x-800\end{aligned}$
(2) 由每件利润不超过进价的80%，列不等式：
$x-5 ≤ 5 × 80\%$
解得$x ≤ 9$，结合$x ≥ 6$，得售价取值范围为$6 ≤ x ≤ 9$。
将函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-10x^2+210x-800\\&=-10(x-\frac{21}{2})^2+\frac{605}{2}\end{aligned}$
该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=10.5$，因此当$6 ≤ x ≤ 9$时，y随x的增大而增大。
当$x=9$时，y取最大值：$y=-10×(9-10.5)^2+302.5=280$。
【答案】
(1) $y=-10x^2+210x-800$；
(2) 每件文具售价应定为9元，最大日销售利润为280元。
【知识点】
销售利润问题；二次函数解析式求解；二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数在销售场景中的典型应用，解题关键是准确梳理数量关系列出函数式，同时要注意自变量的实际取值范围对最值的影响，不能直接将顶点的函数值作为最大利润，需结合函数增减性在取值范围内求解。
【难度系数】
0.6
(1) 解题核心是明确日销售利润的计算逻辑：日销售利润=单件利润×日销售量。单件利润为售价x减去进价5元；日销售量根据涨幅计算：售价从6元涨到x元，共上涨(x-6)元，每涨0.5元销量减少5件，因此减少的销量为$\frac{x-6}{0.5} × 5$件，用基础销量100件减去减少的销量就是当日销售量，两个量相乘化简即可得到函数表达式。
(2) 先根据“每件利润不超过进价的80%”列不等式，求出售价x的取值范围。再将第一问得到的二次函数配方为顶点式，结合抛物线开口方向、对称轴，判断函数在x取值范围内的增减性，即可找到最大利润对应的售价，代入计算得到最大利润。
【解析】
(1) 根据题意，单件利润为$(x-5)$元，日销售量为$100-\frac{x-6}{0.5} × 5$件，因此：
$\begin{aligned}y&=(x-5)(100-\frac{x-6}{0.5} × 5)\\&=(x-5)(160-10x)\\&=-10x^2+210x-800\end{aligned}$
(2) 由每件利润不超过进价的80%，列不等式：
$x-5 ≤ 5 × 80\%$
解得$x ≤ 9$，结合$x ≥ 6$，得售价取值范围为$6 ≤ x ≤ 9$。
将函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-10x^2+210x-800\\&=-10(x-\frac{21}{2})^2+\frac{605}{2}\end{aligned}$
该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=10.5$，因此当$6 ≤ x ≤ 9$时，y随x的增大而增大。
当$x=9$时，y取最大值：$y=-10×(9-10.5)^2+302.5=280$。
【答案】
(1) $y=-10x^2+210x-800$；
(2) 每件文具售价应定为9元，最大日销售利润为280元。
【知识点】
销售利润问题；二次函数解析式求解；二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数在销售场景中的典型应用，解题关键是准确梳理数量关系列出函数式，同时要注意自变量的实际取值范围对最值的影响，不能直接将顶点的函数值作为最大利润，需结合函数增减性在取值范围内求解。
【难度系数】
0.6
