1.某种商品每天的销售利润$y$(元)与单价$x$(元)之间的函数表达式为$y=-0.1(x-3)^2+25$，则这种商品每天的最大利润为
（）

A.0.1元
B.3元
C.25元
D.75元

1. C

【分析】
本题考查二次函数的最值问题，解题时先观察给出的函数表达式是顶点式，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点$(h,k)$是最高点，此时函数在$x=h$处取得最大值$k$。本题中销售利润的最大值就是二次函数的最大值，对应顶点的纵坐标即可求解。
【解析】
已知销售利润$y$与单价$x$的函数表达式为$y=-0.1(x-3)^2+25$，属于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-0.1$，$h=3$，$k=25$。
因为$a=-0.1＜0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值，当$x=h=3$时，$y$取得最大值，最大值为$k=25$，即这种商品每天的最大利润为25元。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础应用，熟练掌握二次函数顶点式中各参数的意义和开口方向与最值的对应关系，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9

2. (2025宜春)某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{16}x^2$，正常水位时，水面宽AB为16 m，此时拱顶O到水面AB的距离为（）


A.4 m
B.3 m
C.2 m
D.1 m

2. A

【分析】
首先观察坐标系特点，抛物线以拱顶O为原点，且关于y轴对称。已知水面宽AB为16m，根据对称性可得到水面上点的横坐标；要求拱顶到水面的距离，只需要将对应横坐标代入抛物线解析式，求出水面位置的纵坐标，纵坐标的绝对值就是拱顶到水面的距离。
【解析】
∵ 水面宽AB为16 m，抛物线关于y轴对称，
∴ 点B的横坐标为$16÷2=8$。
将$x=8$代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{16}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{16}×8^2=-\frac{1}{16}×64=-4$，
即水面所在位置的纵坐标为-4，拱顶O的纵坐标为0，
∴ 拱顶O到水面AB的距离为$|0 - (-4)|=4\ \mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的应用；抛物线的对称性；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合拱桥的实际场景考查二次函数的基础应用，解题核心是利用抛物线的对称性快速确定对应点的横坐标，再代入解析式计算即可，解题时注意距离为非负数，需对计算得到的纵坐标取绝对值。
【难度系数】
0.8

3. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是（）

A.$600\ \mathrm{m}^2$
B.$625\ \mathrm{m}^2$
C.$650\ \mathrm{m}^2$
D.$675\ \mathrm{m}^2$

3. B

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过矩形周长公式表示出池底的两条边长，再建立面积关于边长的二次函数关系，最后利用二次函数的性质求出面积的最大值。具体思路为：①设其中一边长为未知数，结合周长表示出相邻边的长度；②根据矩形面积公式写出面积的函数表达式；③结合二次函数开口方向，通过顶点公式求最值。
【解析】
解：设池底矩形的一边长为$x\ \mathrm{m}$，面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
∵ 池底矩形周长为100 m，
∴ 相邻边的长度为$\frac{100}{2} - x = (50 - x)\ \mathrm{m}$，自变量取值范围为$0 ＜ x ＜ 50$。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(50 - x) = -x^2 + 50x$
该函数为二次函数，其中$a = -1 ＜ 0$，图象开口向下，存在最大值。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入参数得：
$x = -\frac{50}{2×(-1)} = 25$
将$x=25$代入面积公式，得最大面积：
$S_{\mathrm{最大}} = 25×(50 - 25) = 625\ \mathrm{m}^2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数在实际问题中的基础应用，核心是将几何面积问题转化为函数最值问题求解，也可直接利用“周长固定的矩形中，正方形面积最大”的结论快速得到答案。
【难度系数】
0.8

4. 甲卖出橘子的质量$x(\mathrm{kg})$与所获利润$y$(元)满足表达式$y=-x^2 + 120x - 1200$，则当甲卖出________kg橘子时，获得最大利润为________元.

4. 60 2400

【分析】
本题是二次函数在利润问题中的实际应用，核心是求二次函数的最大值。首先观察二次函数的二次项系数为负，可知抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。我们可以通过二次函数顶点坐标公式先求出取得最大值时对应的自变量x的值，再代入函数式计算最大利润y即可。
【解析】
已知利润的函数表达式为$y=-x^2 + 120x - 1200$，其中二次项系数$a=-1＜0$，因此该抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数顶点坐标公式，顶点横坐标（即取得最值时的x值）为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{120}{2×(-1)}=60$
将$x=60$代入函数表达式，计算最大利润：
$y=-60^2 + 120×60 - 1200=-3600+7200-1200=2400$
即当卖出60kg橘子时，获得最大利润2400元。
【答案】
60；2400
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于二次函数应用的基础题型，重点考查二次函数求最值的方法，解题时需先根据二次项系数的正负判断函数是有最大值还是最小值，再结合顶点坐标公式求解即可，这类题型是考试的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

5.如图,用12 m长的木条,做一个有一条横档的矩形窗户,为使透进的光线最多,窗户的长、宽应分别为 m, m.

5. 3 2

【分析】
要让透进的光线最多，本质是求矩形窗户的最大面积。首先观察窗户结构：有1条横档，因此水平方向共有3条等长的木条，竖直方向共有2条等长的木条，总木条长度为12m。我们可以先设水平方向的边长为x，用总长度表示出竖直方向的边长，再根据矩形面积公式写出面积关于x的二次函数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，求出对应边长即可。
【解析】
设窗户的水平宽度为$x\ \mathrm{m}$，竖直高度为$y\ \mathrm{m}$。
根据木条总长度为12m，可得等量关系：$3x + 2y = 12$，整理得$y=\frac{12-3x}{2}$，其中自变量取值范围为$0＜x＜4$。
窗户的面积$S$为矩形面积，即：
$\begin{aligned}S&=x· y\\&=x·\frac{12-3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2+6x\end{aligned}$
该二次函数中$a=-\frac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-\frac{3}{2},b=6$得：
$x=-\frac{6}{2×(-\frac{3}{2})}=2$
将$x=2$代入$y=\frac{12-3x}{2}$，得$y=\frac{12-3×2}{2}=3$。
即当窗户竖直长为3m，水平宽为2m时，面积最大，透进光线最多。
【答案】
3；2
【知识点】
二次函数最值应用，矩形面积计算，列函数关系式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是将实际最值问题转化为二次函数的最值问题，求解时要注意自变量的取值范围需符合实际意义。
【难度系数】
0.7

6.某商品售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经过一段时间发现，每涨价5元，每周少卖50件，已知商品的进价为每件40元，当售价定为多少时利润最大？求最大利润.

解:设该商品每件涨价x元，销售获得的利润为y元，根据题意，得y=(60-40+x)(300-50/5 x)=-10(x-5)²+6250，
∵-10＜0，
∴当x=5时，y有最大值，最大值为6250，此时售价为60+5=65(元)。答:当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元。

【分析】
本题是销售类利润最值问题，解题核心是利用“总利润=单件利润×销售数量”的等量关系构建二次函数模型，再结合二次函数性质求解最值。思考路径：第一步，选择合适的变量，可设涨价金额为自变量，总利润为因变量；第二步，用含自变量的式子分别表示出涨价后的单件利润、对应销售量；第三步，根据利润公式列出函数解析式，整理为顶点式方便求最值；第四步，结合二次函数开口方向判断顶点为最大值点，求解后再换算成对应售价即可。
【解析】
解：设该商品每件涨价x元，销售获得的利润为y元，根据题意得：
单件利润为$(60-40+x)$元，
每涨价5元少卖50件，涨价x元时少卖$\frac{50}{5}x=10x$件，因此销售量为$(300-10x)$件，
总利润解析式：
$\begin{aligned}y&=(60-40+x)(300-10x)\\&=-10x^2+100x+6000\\&=-10(x-5)^2+6250\end{aligned}$
∵二次项系数$-10＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=5$时，$y$有最大值，最大值为6250元，
此时售价为$60+5=65$（元）。
【答案】
当售价定为65元时利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】
二次函数的应用、销售利润计算、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的典型题型，解题关键是准确梳理销售问题中的数量关系，正确列出函数解析式，再结合二次函数性质求解最值，解题时需注意变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7

7.(2026徐州期末)如图,某农户准备用长34 m的铁栅栏,一边利用墙(墙足够长),其余边用铁栅栏围成矩形羊圈ABCD和一个边长为1 m的正方形狗屋CEFG.设AB=x m.

(1)请用含x的代数式表示BC的长为.
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S m².
①请用含x的代数式直接表示出S,S=;
②山羊的活动范围的面积S能否达到95 m²?若能,求出x的值,若不能,请说明理由.
(3)求出山羊活动范围面积S的最大值.

7. (1) 32-2x
(2)① -2x²+32x-1
②解:假设S能达到95 m²，列方程，得-2x²+32x-1=95，整理，得x²-16x+48=0，
∵Δ=(-16)²-4×1×48=64＞0，
∴该方程有实数根，x=(-(-16)±√64)/(2×1)，解得x₁=12，x₂=4，
∴S能达到95 m²，此时x的值为12或4。
(3)解:S=-2x²+32x-1=-2(x-8)²+127，
∵-2＜0，
∴x=8时，S取最大值127，故山羊活动范围面积S的最大值为127 m²。

【分析】
(1) 先梳理铁栅栏的构成：垂直于墙的边AB和CD长度均为x m，平行于墙的边为BC，另外正方形狗屋CEFG有两条独立的边长各1m属于铁栅栏部分，已知铁栅栏总长34m，根据等量关系：AB + CD + BC + 2×1 = 34，代入AB=CD=x，即可整理得到BC的表达式。
(2) ①阴影部分面积等于矩形ABCD的面积减去正方形CEFG的面积，矩形面积=AB×BC，正方形面积为1，代入对应表达式即可得到S的代数式；②要判断S能否达到95m²，只需令S=95，得到关于x的一元二次方程，判断方程是否有符合实际意义的正实根即可，若有合理解则能达到，反之不能。
(3) 得到的S是关于x的二次函数，且二次项系数小于0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法即可求出最大值。
【解析】
(1) 由题意得，铁栅栏总长满足：$AB + CD + BC + 2×1 = 34\ \mathrm{m}$，且$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，代入得：
$x + x + BC + 2 = 34$
解得$BC=34-2x-2=32-2x$（单位：m）。
(2) ①阴影部分面积=矩形ABCD面积 - 正方形CEFG面积，矩形面积为$x·(32-2x)$，正方形面积为$1×1=1$，因此：
$S = x(32-2x) -1 = -2x^2 +32x -1$。
②假设S能达到$95\ \mathrm{m}^2$，令$S=95$，得方程：
$-2x^2 +32x -1 = 95$
整理得：$x^2 -16x +48 = 0$
计算判别式$\Delta=(-16)^2 -4×1×48 = 256 - 192 = 64 ＞ 0$，方程有两个实数根，
由求根公式得$x=\frac{16\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{16\pm8}{2}$，
解得$x_1=\frac{16+8}{2}=12$，$x_2=\frac{16-8}{2}=4$，
两个解均满足$BC=32-2x＞1$，符合实际意义，因此S能达到$95\ \mathrm{m}^2$，此时x的值为12或4。
(3) 对S的表达式配方：
$S=-2x^2+32x-1 = -2(x^2 -16x) -1 = -2(x^2-16x+64 -64) -1 = -2(x-8)^2 +127$
∵二次项系数$-2＜0$，
∴抛物线开口向下，
∴当$x=8$时，S取得最大值，最大值为$127\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{32-2x}$
(2) ① $\boxed{-2x^2+32x-1}$；②能，x的值为$\boxed{12}$或$\boxed{4}$
(3) $\boxed{127\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际生活场景出题，解题关键是结合图形理清栅栏长度的组成，正确列出各量的代数式，再结合一元二次方程和二次函数的性质求解，注意求出的解要符合实际边长的取值要求。
【难度系数】
0.7