一、根据函数的性质求二次函数的表达式
1.已知一抛物线与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 +3$ 的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是$(-5,0)$.根据以上特点，试写出该抛物线的函数表达式.

1. 解:设所求的抛物线的函数表达式为 $y=a(x+5)^2$.
$\because$ 抛物线 $y=a(x+5)^2$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 +3$ 的形状相同,开口方向相反,
$\therefore a=\frac{1}{2}$,
$\therefore$ 该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+5)^2$.

【分析】
解题时首先回忆二次函数的性质：两条抛物线形状相同，则它们的二次项系数的绝对值相等；开口方向相反，则二次项系数的符号相反。其次已知抛物线的顶点坐标，优先选择二次函数的顶点式来设表达式，顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，最后结合前面的性质求出$a$的值，即可得到所求表达式。
【解析】
解：设所求抛物线的函数表达式为 $y=a(x+5)^2$。
$\because$ 抛物线 $y=a(x+5)^2$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 +3$ 的形状相同，开口方向相反，
$\therefore$ 二次项系数$a$与$-\frac{1}{2}$绝对值相等、符号相反，即$a=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+5)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{2}(x+5)^2$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数表达式求解的基础题型，解题核心是明确抛物线形状、开口方向与二次项系数的对应关系，掌握顶点式的适用场景即可快速求解。
【难度系数】
0.8

二、根据顶点式求二次函数的表达式
2. 已知抛物线的顶点坐标为$(-1,-3)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,-5)$，求此抛物线的函数表达式。

2. 解:设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+1)^2-3$,
将$(0,-5)$代入,得 $a-3=-5$,
解得 $a=-2$,
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=-2(x+1)^2-3$.

【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选用二次函数的顶点式求解更简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，先将已知顶点坐标代入顶点式，此时表达式仅系数$a$未知；再将抛物线与y轴的交点坐标代入含未知参数$a$的表达式，即可求出$a$的值，最后把$a$代回顶点式就能得到抛物线的函数表达式。
【解析】
解：设抛物线的函数表达式为$y=a(x+1)^2-3$，
将$(0,-5)$代入表达式，得 $a×(0+1)^2-3=-5$，
整理得$a-3=-5$，
解得$a=-2$，
将$a=-2$代回所设表达式，即得抛物线的函数表达式。
【答案】
$y=-2(x+1)^2-3$
【知识点】
1. 二次函数顶点式；2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是根据已知的顶点条件灵活选择解析式的形式，相比设一般式能有效减少计算量，掌握顶点式的结构和待定系数法的应用即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

三、根据一般式求二次函数的表达式
3.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$中的部分自变量$x$与所对应的函数值$y$如下表：

求该二次函数的表达式.

3. 解:由表格可知,当 $x=-2$ 时,$y=-5$;当 $x=-1$ 时,$y=0$;当 $x=0$ 时,$y=3$.
$\therefore \begin{cases}4a-2b+c=-5,\\a-b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.

【分析】
二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$中有$a、b、c$三个待定系数，要确定函数表达式，只需找到3组$x$与$y$的对应值代入，得到三元一次方程组求解即可。解题时可优先选取$x=0$的对应值，能直接求出$c$的值，简化后续计算，再另外选取两组对应值代入，求解出$a$和$b$的值即可得到最终的函数表达式。
【解析】
解：由表格可知三组$x、y$的对应值：当$x=-2$时，$y=-5$；当$x=-1$时，$y=0$；当$x=0$时，$y=3$。
将三组值分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+c=-5\\a-b+c=0\\c=3\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解得：
$\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=3\end{cases}$
将系数代入一般式即可得到二次函数表达式。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
待定系数法，三元一次方程组求解，二次函数一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时优先选取$x=0$这类特殊值代入，可以有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8

4. (2025泉州月考)如图，已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过A,B,C三点.求该二次函数的表达式.

4. 解:由图象可得,$A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)$,
把 $A(-1,0),B(0,-3),C(4,5)$ 分别代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=-3,\\16a+4b+c=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-2,\\c=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为 $y=x^2-2x-3$.

【分析】
要确定二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，需要求出未知系数$a、b、c$的值，因此需要找到3个函数图象上的点的坐标，代入表达式得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组即可得到系数的值，进而写出函数表达式。首先从函数图象中读取三个点的坐标：点A是抛物线与x轴的左交点，坐标为$(-1,0)$；点B是抛物线与y轴的交点，坐标为$(0,-3)$；点C是图象上给出的点，坐标为$(4,5)$，接下来代入表达式计算即可。
【解析】
解：由图象可得三点坐标：$A(-1,0)$，$B(0,-3)$，$C(4,5)$，
将三点分别代入二次函数表达式$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}a-b+c=0, \\c=-3, \\16a+4b+c=5,\end{cases}$
把$c=-3$代入另外两个方程，得到：
$\begin{cases}a-b-3=0, \\16a+4b-3=5,\end{cases}$
化简得$\begin{cases}a-b=3, \\4a+b=2,\end{cases}$
将两个方程相加消去$b$，得$5a=5$，解得$a=1$，
把$a=1$代入$a-b=3$，得$1-b=3$，解得$b=-2$，
因此方程组的解为$\begin{cases}a=1, \\b=-2, \\c=-3,\end{cases}$
$\therefore$ 该二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三元一次方程组的求解；二次函数一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是准确从图象中提取点的坐标，再利用待定系数法建立方程组求解，计算过程中要注意符号的处理，避免代入或计算出错。
【难度系数】
0.7

四、根据交点式求二次函数的表达式
5. 如图，抛物线与直线都经过坐标轴的正半轴上$A(4,0)$，$B$两点，该抛物线的对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴交于点$C$，且$∠ ABC=90°$.求：
(1)直线$AB$的函数表达式；
(2)抛物线的函数表达式.

5. 解:(1)$\because$点 A 的坐标为$(4,0)$,点 C 的坐标为$(-1,0)$,
$\therefore OA=4,OC=1$.
$\because ∠ ABC=∠ BOC=90°$.
$\therefore ∠ CBO+∠ BCO=∠ BAO+∠ BCO=90°$.
$\therefore ∠ CBO=∠ BAO$.
又$\because ∠ BOC=∠ BOA=90°$,$\therefore \mathrm{Rt}△ CBO∽\mathrm{Rt}△ BAO$,
$\therefore OB:OA=OC:OB$,即 $OB:4=1:OB$,
$\therefore OB=2$,
$\therefore$ 点 B 的坐标为$(0,2)$.
设直线 AB 的函数表达式为 $y=mx+n$,
把点 $A(4,0),B(0,2)$ 分别代入表达式,得 $\begin{cases}4m+n=0,\\n=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{2},\\n=2.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 AB 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$.
(2)$\because$ 该抛物线的对称轴为直线 $x=-1$,点 A 的坐标为$(4,0)$,
$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点坐标为$(-6,0)$.
设抛物线的函数表达式为 $y=a(x+6)(x-4)$,
把点 $B(0,2)$ 代入,得 $a×6×(-4)=2$,
解得 $a=-\frac{1}{12}$.
$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y=-\frac{1}{12}(x+6)(x-4)$,
即 $y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$.

【分析】
(1) 求直线AB的函数表达式，已知点A坐标，需先求出点B的坐标：首先根据对称轴x=-1与x轴交于点C，可得C(-1,0)，即OC=1，OA=4；再由∠ABC=90°，结合同角的余角相等可证Rt△CBO∽Rt△BAO，利用相似三角形对应边成比例求出OB的长度，得到B点坐标后，用待定系数法即可求出直线解析式。
(2) 求抛物线的函数表达式，已知抛物线对称轴和与x轴的一个交点A(4,0)，先利用抛物线对称性求出与x轴的另一个交点坐标，选择交点式设抛物线解析式，代入B点坐标求出参数a，再整理为一般式即可。
【解析】
(1) 由题意得，对称轴直线x=-1与x轴交于点C，
∴点C的坐标为$(-1,0)$，
∴$OA=4$，$OC=1$。
∵$∠ ABC=∠ BOC=90°$，
∴$∠ CBO+∠ BCO=∠ BAO+∠ BCO=90°$，
∴$∠ CBO=∠ BAO$，
又
∵$∠ BOC=∠ BOA=90°$，
∴$\mathrm{Rt}△ CBO ∽ \mathrm{Rt}△ BAO$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OC}{OB}$，即$\frac{OB}{4}=\frac{1}{OB}$，
解得$OB=2$（B在y轴正半轴，舍去负值），
∴点B的坐标为$(0,2)$。
设直线AB的函数表达式为$y=mx+n$，
将$A(4,0)$、$B(0,2)$代入得$\begin{cases}4m+n=0\\n=2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{2}\\n=2\end{cases}$，
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2$。
(2)
∵抛物线对称轴为直线$x=-1$，且与x轴交于点$A(4,0)$，
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，
由对称轴性质得$\frac{x+4}{2}=-1$，解得$x=-6$，即另一个交点为$(-6,0)$，
设抛物线的函数表达式为$y=a(x+6)(x-4)$，
将$B(0,2)$代入得：$a×6×(-4)=2$，
解得$a=-\frac{1}{12}$，
∴抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{12}(x+6)(x-4)$，
展开整理得$y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}x+2$
(2) $y=-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{6}x+2$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 相似三角形的判定与性质
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，解题的关键是利用相似三角形求出B点坐标，求解抛物线解析式时灵活选用交点式可简化计算，是二次函数部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.65