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22. (10分)如图16,在$△ ABC$中,$AB=4$,$AC=3$,$BC=5$,$DE$是$BC$的垂直平分线,$DE$分别交$BC$、$AB$于点$D$、$E$.
(1)求证:$△ ABC$为直角三角形.
(2)求$AE$的长.
(1)求证:$△ ABC$为直角三角形.
(2)求$AE$的长.
答案
(1) 证明：
∵ $AB=4$，$AC=3$，
∴ $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
又∵ $BC=5$，
∴ $BC^2 = 25$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴ $△ ABC$为直角三角形，且$∠ A=90°$。
(2) 解：连接$CE$，
∵ $DE$是$BC$的垂直平分线，
∴ $BE = CE$，
设$AE = x$，
∵ $AB=4$，
∴ $BE = AB - AE = 4 - x$，即$CE = 4 - x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + AC^2 = CE^2$，
代入得：$x^2 + 3^2 = (4 - x)^2$，
展开整理：$x^2 + 9 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后解得：$x = \frac{7}{8}$。
∴ $AE$的长为$\frac{7}{8}$。
∵ $AB=4$，$AC=3$，
∴ $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
又∵ $BC=5$，
∴ $BC^2 = 25$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴ $△ ABC$为直角三角形，且$∠ A=90°$。
(2) 解：连接$CE$，
∵ $DE$是$BC$的垂直平分线，
∴ $BE = CE$，
设$AE = x$，
∵ $AB=4$，
∴ $BE = AB - AE = 4 - x$，即$CE = 4 - x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + AC^2 = CE^2$，
代入得：$x^2 + 3^2 = (4 - x)^2$，
展开整理：$x^2 + 9 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后解得：$x = \frac{7}{8}$。
∴ $AE$的长为$\frac{7}{8}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC是直角三角形，可运用勾股定理的逆定理，验证三角形两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可，已知△ABC三边长度，直接计算验证即可。
(2) 要求AE的长，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接CE可得BE=CE。设AE为x，用含x的式子表示出CE的长度，再结合第一问得出的∠A=90°，在Rt△ACE中利用勾股定理列方程，求解即可得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=4$，$AC=3$，
∴ $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
又
∵ $BC=5$，
∴ $BC^2 = 25$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$为直角三角形，且$∠ A=90°$。
(2) 解：连接$CE$，
∵ $DE$是$BC$的垂直平分线，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
设$AE = x$，
∵ $AB=4$，
∴ $BE = AB - AE = 4 - x$，即$CE = 4 - x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + AC^2 = CE^2$，
代入数值可得：$x^2 + 3^2 = (4 - x)^2$，
展开整理得：$x^2 + 9 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后移项计算得：$8x=7$，解得$x = \frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $△ ABC$为直角三角形，证明见解析；
(2) $AE$的长为$\frac{7}{8}$。
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 线段垂直平分线的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，只需计算验证三边关系即可；第二问结合线段垂直平分线的性质，运用方程思想结合勾股定理求解，解题的关键是正确作出辅助线，找到相等的线段建立等量关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABC是直角三角形，可运用勾股定理的逆定理，验证三角形两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可，已知△ABC三边长度，直接计算验证即可。
(2) 要求AE的长，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接CE可得BE=CE。设AE为x，用含x的式子表示出CE的长度，再结合第一问得出的∠A=90°，在Rt△ACE中利用勾股定理列方程，求解即可得到AE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=4$，$AC=3$，
∴ $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
又
∵ $BC=5$，
∴ $BC^2 = 25$，
∴ $AB^2 + AC^2 = BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$为直角三角形，且$∠ A=90°$。
(2) 解：连接$CE$，
∵ $DE$是$BC$的垂直平分线，
∴ $BE = CE$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
设$AE = x$，
∵ $AB=4$，
∴ $BE = AB - AE = 4 - x$，即$CE = 4 - x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AE^2 + AC^2 = CE^2$，
代入数值可得：$x^2 + 3^2 = (4 - x)^2$，
展开整理得：$x^2 + 9 = 16 - 8x + x^2$，
消去$x^2$后移项计算得：$8x=7$，解得$x = \frac{7}{8}$。
【答案】
(1) $△ ABC$为直角三角形，证明见解析；
(2) $AE$的长为$\frac{7}{8}$。
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 线段垂直平分线的性质
3. 勾股定理的应用
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，只需计算验证三边关系即可；第二问结合线段垂直平分线的性质，运用方程思想结合勾股定理求解，解题的关键是正确作出辅助线，找到相等的线段建立等量关系。
【难度系数】
0.7
23. (11分)如图17,在长方形ACDF中,点B在CD上,点E在DF上,BC=DE=a,AC=BD=b,AB=BE=c,且AB⊥BE.
(1)在探究长方形ACDF的面积S时,我们可以用两种不同的方法:一种是找到长和宽,然后利用长方形的面积公式,就可得到S;另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC、△BDE、△AEF和△ABE组成的,分别求出它们的面积,再相加也可以得到S.
请根据以上材料填空:
方法一:S=;
方法二:$S=S_{△ ABC}+S_{△ BDE}+S_{△ AEF}+S_{△ ABE}=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$.
(2)由于(1)中的两种方法求出的都是长方形ACDF的面积,因此它们的式子应该相等,请利用以上的结论求a、b、c之间的等量关系(需要化简).
(3)请直接运用(2)中的结论,求当$c=10,a=6$时$S$的值.
(1)在探究长方形ACDF的面积S时,我们可以用两种不同的方法:一种是找到长和宽,然后利用长方形的面积公式,就可得到S;另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC、△BDE、△AEF和△ABE组成的,分别求出它们的面积,再相加也可以得到S.
请根据以上材料填空:
方法一:S=;
方法二:$S=S_{△ ABC}+S_{△ BDE}+S_{△ AEF}+S_{△ ABE}=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$.
(2)由于(1)中的两种方法求出的都是长方形ACDF的面积,因此它们的式子应该相等,请利用以上的结论求a、b、c之间的等量关系(需要化简).
(3)请直接运用(2)中的结论,求当$c=10,a=6$时$S$的值.
答案
解：
(1) 方法一：长方形ACDF的长为$CD=BC+BD=a+b$，宽为$AC=b$，因此$S=\boldsymbol{b(a+b)}$（或$ab+b^2$）。
(2) 由两种方法表示的面积相等可得：
$b(a+b)=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
展开左边得：
$ab+b^2=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
两边同时减去$ab$：
$b^2=\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同乘2：
$2b^2=b^2-a^2+c^2$
移项化简得$a$、$b$、$c$的等量关系：
$a^2+b^2=c^2$
(3) 把$c=10$，$a=6$代入$a^2+b^2=c^2$：
$6^2+b^2=10^2$
$36+b^2=100$
解得$b^2=64$，因为$b＞0$，所以$b=8$。
因此$S=b(a+b)=8×(6+8)=112$。
答：$S$的值为112。
(1) 方法一：长方形ACDF的长为$CD=BC+BD=a+b$，宽为$AC=b$，因此$S=\boldsymbol{b(a+b)}$（或$ab+b^2$）。
(2) 由两种方法表示的面积相等可得：
$b(a+b)=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
展开左边得：
$ab+b^2=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
两边同时减去$ab$：
$b^2=\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同乘2：
$2b^2=b^2-a^2+c^2$
移项化简得$a$、$b$、$c$的等量关系：
$a^2+b^2=c^2$
(3) 把$c=10$，$a=6$代入$a^2+b^2=c^2$：
$6^2+b^2=10^2$
$36+b^2=100$
解得$b^2=64$，因为$b＞0$，所以$b=8$。
因此$S=b(a+b)=8×(6+8)=112$。
答：$S$的值为112。
解析
【分析】
本题三小问逐层递进，解题思路清晰：
(1) 求长方形面积先确定长和宽：长方形ACDF的长为$CD=BC+BD=a+b$，宽为$AC=b$，直接代入长方形面积公式即可求解；
(2) 利用“两种方法表示同一图形面积，结果相等”建立等式，通过去括号、移项、合并同类项等整式运算化简，即可得到a、b、c的等量关系；
(3) 先将a、c的值代入第(2)问得到的等量关系求出b的值，再代入第(1)问的面积公式即可计算出S的值。
【解析】
(1) 长方形ACDF的长$CD=BC+BD=a+b$，宽为$AC=b$，根据长方形面积=长×宽，可得$S=(a+b)b=ab+b^2$。
(2) 由两种方法表示的面积相等，列等式：
$\displaystyle b(a+b)=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
展开左边得：$\displaystyle ab+b^2=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
两边同时减去$ab$得：$\displaystyle b^2=\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2消去分母得：$2b^2=b^2-a^2+c^2$
移项合并同类项得：$a^2+b^2=c^2$
(3) 将$c=10$，$a=6$代入$a^2+b^2=c^2$得：
$6^2+b^2=10^2$，即$36+b^2=100$
解得$b^2=64$，因为$b＞0$，所以$b=8$
将$a=6$，$b=8$代入面积公式得：$S=b(a+b)=8×(6+8)=112$
【答案】
(1) $b(a+b)$（或$ab+b^2$）；
(2) $a^2+b^2=c^2$；
(3) $112$
【知识点】
长方形面积计算；等面积法；整式化简
【点评】
本题将几何面积表示和代数运算结合，通过面积法推导勾股定理，考察基础的公式应用和运算能力，解题关键是抓住同一图形面积的不同表示方法建立等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
本题三小问逐层递进，解题思路清晰：
(1) 求长方形面积先确定长和宽：长方形ACDF的长为$CD=BC+BD=a+b$，宽为$AC=b$，直接代入长方形面积公式即可求解；
(2) 利用“两种方法表示同一图形面积，结果相等”建立等式，通过去括号、移项、合并同类项等整式运算化简，即可得到a、b、c的等量关系；
(3) 先将a、c的值代入第(2)问得到的等量关系求出b的值，再代入第(1)问的面积公式即可计算出S的值。
【解析】
(1) 长方形ACDF的长$CD=BC+BD=a+b$，宽为$AC=b$，根据长方形面积=长×宽，可得$S=(a+b)b=ab+b^2$。
(2) 由两种方法表示的面积相等，列等式：
$\displaystyle b(a+b)=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
展开左边得：$\displaystyle ab+b^2=ab+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
两边同时减去$ab$得：$\displaystyle b^2=\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时乘2消去分母得：$2b^2=b^2-a^2+c^2$
移项合并同类项得：$a^2+b^2=c^2$
(3) 将$c=10$，$a=6$代入$a^2+b^2=c^2$得：
$6^2+b^2=10^2$，即$36+b^2=100$
解得$b^2=64$，因为$b＞0$，所以$b=8$
将$a=6$，$b=8$代入面积公式得：$S=b(a+b)=8×(6+8)=112$
【答案】
(1) $b(a+b)$（或$ab+b^2$）；
(2) $a^2+b^2=c^2$；
(3) $112$
【知识点】
长方形面积计算；等面积法；整式化简
【点评】
本题将几何面积表示和代数运算结合，通过面积法推导勾股定理，考察基础的公式应用和运算能力，解题关键是抓住同一图形面积的不同表示方法建立等量关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.75
