登录
20. (9分)劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分. 如图13,△ABC区域是某学校为劳动课开辟的劳动场地,小路AD将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分,现用皮尺测量得到AB=13 m,AC=15 m,AD=12 m,BD=5 m.
(1)请判断小路AD是否与BC垂直,并说明理由;
(2)求劳动场地△ABC的面积.
(1)请判断小路AD是否与BC垂直,并说明理由;
(2)求劳动场地△ABC的面积.
答案
解：
(1) AD与BC垂直，理由如下：
在△ABD中，AD=12 m，BD=5 m，AB=13 m，
∵ $AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴ △ABD是直角三角形，且$∠ ADB = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
(2) 由(1)知$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$，在Rt△ADC中：
根据勾股定理，$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\ \mathrm{m}$，
∴ $BC = BD + DC = 5 + 9 = 14\ \mathrm{m}$，
∴ △ABC的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84\ \mathrm{m}^2$。
答：劳动场地△ABC的面积为$84\ \mathrm{m}^2$。
(1) AD与BC垂直，理由如下：
在△ABD中，AD=12 m，BD=5 m，AB=13 m，
∵ $AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴ △ABD是直角三角形，且$∠ ADB = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
(2) 由(1)知$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$，在Rt△ADC中：
根据勾股定理，$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\ \mathrm{m}$，
∴ $BC = BD + DC = 5 + 9 = 14\ \mathrm{m}$，
∴ △ABC的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84\ \mathrm{m}^2$。
答：劳动场地△ABC的面积为$84\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 要判断AD是否与BC垂直，只需验证∠ADB是否为直角即可。已知△ABD的三边长，可运用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则△ABD为直角三角形，且最长边对应的角为直角，即可确定AD与BC的位置关系。
(2) 求△ABC的面积，已知AD的长度，若AD为BC边上的高，只需求出BC的长度即可。由(1)已得AD⊥BC，因此△ADC也是直角三角形，利用勾股定理可求出DC的长度，进而得到BC=BD+DC，再代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) AD与BC垂直，理由如下：
在△ABD中，AD=12 m，BD=5 m，AB=13 m，
∵ $AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴ △ABD是直角三角形，且$∠ ADB = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
(2) 由(1)知$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$，在Rt△ADC中：
根据勾股定理，$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\ \mathrm{m}$，
∴ $BC = BD + DC = 5 + 9 = 14\ \mathrm{m}$，
∴ △ABC的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 小路AD与BC垂直，理由见解析；
(2) 劳动场地△ABC的面积为$\boldsymbol{84\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动场景命题，贴近生活，主要考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的突破口是先利用勾股定理的逆定理得到垂直关系，再结合勾股定理求出底边长度，既考查了基础定理的应用能力，也锻炼了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断AD是否与BC垂直，只需验证∠ADB是否为直角即可。已知△ABD的三边长，可运用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则△ABD为直角三角形，且最长边对应的角为直角，即可确定AD与BC的位置关系。
(2) 求△ABC的面积，已知AD的长度，若AD为BC边上的高，只需求出BC的长度即可。由(1)已得AD⊥BC，因此△ADC也是直角三角形，利用勾股定理可求出DC的长度，进而得到BC=BD+DC，再代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) AD与BC垂直，理由如下：
在△ABD中，AD=12 m，BD=5 m，AB=13 m，
∵ $AD^2 + BD^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$，$AB^2 = 13^2 = 169$，
∴ $AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴ △ABD是直角三角形，且$∠ ADB = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
(2) 由(1)知$∠ ADC = ∠ ADB = 90°$，在Rt△ADC中：
根据勾股定理，$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\ \mathrm{m}$，
∴ $BC = BD + DC = 5 + 9 = 14\ \mathrm{m}$，
∴ △ABC的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 小路AD与BC垂直，理由见解析；
(2) 劳动场地△ABC的面积为$\boldsymbol{84\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题结合实际劳动场景命题，贴近生活，主要考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题的突破口是先利用勾股定理的逆定理得到垂直关系，再结合勾股定理求出底边长度，既考查了基础定理的应用能力，也锻炼了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
21. (10分)(1)如图14,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC边上的中点,连接AD.证明:AD平分$∠ BAC$,且$AD⊥ BC$.
【网格画图】
(2)请利用上面等腰三角形的性质定理,解决下面画图问题:
如图15,在网格图中,每个小正方形的边长相等,$△ ABC$的顶点均在格点上.仅用无刻度的直尺在BC边上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等.(保留必要的画图痕迹,并标出点P的位置)
【网格画图】
(2)请利用上面等腰三角形的性质定理,解决下面画图问题:
如图15,在网格图中,每个小正方形的边长相等,$△ ABC$的顶点均在格点上.仅用无刻度的直尺在BC边上找一点P,使点P到AB和AC的距离相等.(保留必要的画图痕迹,并标出点P的位置)
答案
(1) 证明：
∵ D是BC边上的中点，
∴ $BD = CD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\BD = CD \\AD = AD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS）。
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$。
又∵ $∠ ADB = ∠ ADC$，且$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
---
(2) 画图操作：
1. 取格点$M$，使得$AM=AC$，连接$CM$；
2. 找到线段$CM$的格点中点$N$，连接$AN$，由等腰三角形三线合一性质，$AN$平分$∠ BAC$；
3. 射线$AN$与$BC$的交点即为所求点$P$，标注点$P$，保留连线$AN$的画图痕迹即可。
（点$P$在$∠ BAC$的角平分线上，满足到$AB$和$AC$的距离相等）
∵ D是BC边上的中点，
∴ $BD = CD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\BD = CD \\AD = AD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SSS）。
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$。
又∵ $∠ ADB = ∠ ADC$，且$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
---
(2) 画图操作：
1. 取格点$M$，使得$AM=AC$，连接$CM$；
2. 找到线段$CM$的格点中点$N$，连接$AN$，由等腰三角形三线合一性质，$AN$平分$∠ BAC$；
3. 射线$AN$与$BC$的交点即为所求点$P$，标注点$P$，保留连线$AN$的画图痕迹即可。
（点$P$在$∠ BAC$的角平分线上，满足到$AB$和$AC$的距离相等）
解析
【分析】
(1) 要证明AD平分∠BAC且AD⊥BC，可通过证明△ABD和△ACD全等推导对应角相等：已知AB=AC，D是BC中点可得BD=CD，加上公共边AD，满足SSS全等的条件；全等后可得∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；再结合∠ADB与∠ADC是邻补角，和为180°且两角相等，即可推出两角均为90°，得到AD⊥BC。
(2) 根据角平分线的性质，到∠BAC两边距离相等的点在∠BAC的角平分线上，因此只需画出∠BAC的角平分线，与BC的交点即为点P。结合(1)的等腰三角形三线合一性质，可构造以A为顶点的等腰三角形，找到等腰三角形底边的中点，连接A与中点的射线即为∠BAC的角平分线，与BC相交即可得到点P。
【解析】
(1) 证明：
∵ D是BC边上的中点，
∴ $BD = CD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\BD = CD \\AD = AD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ACD$（SSS）。
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$。
又
∵ $∠ ADB = ∠ ADC$，且$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
(2) 画图操作：
1. 取格点$M$，使得$AM=AC$，连接$CM$；
2. 找到线段$CM$的格点中点$N$，连接$AN$，由等腰三角形三线合一性质，$AN$平分$∠ BAC$；
3. 射线$AN$与$BC$的交点即为所求点$P$，标注点$P$，保留连线$AN$的画图痕迹即可。
（点$P$在$∠ BAC$的角平分线上，满足到$AB$和$AC$的距离相等）
【答案】
(1) 证明过程见上述解析，AD平分∠BAC且AD⊥BC成立；
(2) 按上述画图步骤得到的点P即为所求。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 角平分线的性质
【点评】
本题包含几何证明和网格作图两类题型，既考查了等腰三角形核心性质的推导逻辑，又考查了性质的实践应用能力，要求学生熟练掌握全等证明方法，能灵活运用等腰三角形三线合一的性质解决作图问题，有助于巩固几何基础，提升逻辑思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD平分∠BAC且AD⊥BC，可通过证明△ABD和△ACD全等推导对应角相等：已知AB=AC，D是BC中点可得BD=CD，加上公共边AD，满足SSS全等的条件；全等后可得∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；再结合∠ADB与∠ADC是邻补角，和为180°且两角相等，即可推出两角均为90°，得到AD⊥BC。
(2) 根据角平分线的性质，到∠BAC两边距离相等的点在∠BAC的角平分线上，因此只需画出∠BAC的角平分线，与BC的交点即为点P。结合(1)的等腰三角形三线合一性质，可构造以A为顶点的等腰三角形，找到等腰三角形底边的中点，连接A与中点的射线即为∠BAC的角平分线，与BC相交即可得到点P。
【解析】
(1) 证明：
∵ D是BC边上的中点，
∴ $BD = CD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AB = AC \\BD = CD \\AD = AD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ACD$（SSS）。
∴ $∠ BAD = ∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$。
又
∵ $∠ ADB = ∠ ADC$，且$∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD ⊥ BC$。
(2) 画图操作：
1. 取格点$M$，使得$AM=AC$，连接$CM$；
2. 找到线段$CM$的格点中点$N$，连接$AN$，由等腰三角形三线合一性质，$AN$平分$∠ BAC$；
3. 射线$AN$与$BC$的交点即为所求点$P$，标注点$P$，保留连线$AN$的画图痕迹即可。
（点$P$在$∠ BAC$的角平分线上，满足到$AB$和$AC$的距离相等）
【答案】
(1) 证明过程见上述解析，AD平分∠BAC且AD⊥BC成立；
(2) 按上述画图步骤得到的点P即为所求。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 角平分线的性质
【点评】
本题包含几何证明和网格作图两类题型，既考查了等腰三角形核心性质的推导逻辑，又考查了性质的实践应用能力，要求学生熟练掌握全等证明方法，能灵活运用等腰三角形三线合一的性质解决作图问题，有助于巩固几何基础，提升逻辑思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
