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18. (9分)如图11①,将长为$2a+3$、宽为$2a$的长方形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图11②),得到大小两个正方形.
(1)用关于$a$的代数式表示图11②中小正方形的边长.
(2)当$a=3$时,该小正方形的面积是多少?
(1)用关于$a$的代数式表示图11②中小正方形的边长.
(2)当$a=3$时,该小正方形的面积是多少?
答案
解：
(1) 由分割方式可知，四个全等直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$2a+3$，
因此小正方形的边长为：
$(2a+3)-a=a+3$
(2) 小正方形的面积为边长的平方，即$(a+3)^2$，
将$a=3$代入得：
$(3+3)^2=36$
答：当$a=3$时，该小正方形的面积是36。
(1) 由分割方式可知，四个全等直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$2a+3$，
因此小正方形的边长为：
$(2a+3)-a=a+3$
(2) 小正方形的面积为边长的平方，即$(a+3)^2$，
将$a=3$代入得：
$(3+3)^2=36$
答：当$a=3$时，该小正方形的面积是36。
解析
【分析】
解决第(1)问时，先分析长方形的分割特征：四个全等直角三角形的短直角边是长方形宽的一半，长直角边等于长方形的长；再结合赵爽弦图的结构特征，小正方形的边长等于直角三角形长直角边与短直角边的差，据此即可列代数式表示小正方形的边长。解决第(2)问时，先根据正方形面积公式写出面积的代数式，再将a=3代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由分割方式可知，四个全等直角三角形的短直角边长为$\frac{2a}{2}=a$，长直角边长为$2a+3$。
赵爽弦图中小正方形的边长为长直角边减去短直角边，因此小正方形的边长为：
$2a+3-a=a+3$
(2) 正方形面积为边长的平方，因此小正方形的面积为$(a+3)^2$，
将$a=3$代入得：
$(3+3)^2=6^2=36$
【答案】
(1) $a+3$；(2) $36$
【知识点】
列代数式，代数式求值，正方形面积计算
【点评】
本题结合赵爽弦图考查代数式的基础应用，解题核心是准确从图形中提取边长的关系，侧重考查基础识图能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先分析长方形的分割特征：四个全等直角三角形的短直角边是长方形宽的一半，长直角边等于长方形的长；再结合赵爽弦图的结构特征，小正方形的边长等于直角三角形长直角边与短直角边的差，据此即可列代数式表示小正方形的边长。解决第(2)问时，先根据正方形面积公式写出面积的代数式，再将a=3代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由分割方式可知，四个全等直角三角形的短直角边长为$\frac{2a}{2}=a$，长直角边长为$2a+3$。
赵爽弦图中小正方形的边长为长直角边减去短直角边，因此小正方形的边长为：
$2a+3-a=a+3$
(2) 正方形面积为边长的平方，因此小正方形的面积为$(a+3)^2$，
将$a=3$代入得：
$(3+3)^2=6^2=36$
【答案】
(1) $a+3$；(2) $36$
【知识点】
列代数式，代数式求值，正方形面积计算
【点评】
本题结合赵爽弦图考查代数式的基础应用，解题核心是准确从图形中提取边长的关系，侧重考查基础识图能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
19. (9分)如图12,在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.
答案
解：作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=14-x。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14-x)^2$，
因此列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$
展开得：$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
整理得：$28x = 252$
解得：$x = 9$
∴ $AD^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$，即$AD=12$（AD为线段长度，取正值）
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
答：△ABC的面积为84。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14-x)^2$，
因此列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$
展开得：$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
整理得：$28x = 252$
解得：$x = 9$
∴ $AD^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$，即$AD=12$（AD为线段长度，取正值）
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
答：△ABC的面积为84。
解析
【分析】
本题已知三角形三边长度，要求面积却缺少对应高，因此可以通过作BC边上的高AD，将原三角形分割为两个直角三角形。设BD=x，则CD=14-x，AD是两个直角三角形的公共直角边，可分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，再根据AD²相等建立方程，求解得到x的值后就能算出高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=14-x。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14-x)^2$，
因此列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$
展开得：$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
整理得：$28x = 252$
解得：$x = 9$
∴ $AD^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$，即$AD=12$（AD为线段长度，取正值）
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
【答案】
84
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；方程法解几何题
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，解题关键是通过作高构造直角三角形，以公共高为等量关系建立方程，将几何计算问题转化为方程求解问题，很好地考查了数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题已知三角形三边长度，要求面积却缺少对应高，因此可以通过作BC边上的高AD，将原三角形分割为两个直角三角形。设BD=x，则CD=14-x，AD是两个直角三角形的公共直角边，可分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，再根据AD²相等建立方程，求解得到x的值后就能算出高AD的长度，最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=14-x。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - x^2$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - (14-x)^2$，
因此列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$
展开得：$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
整理得：$28x = 252$
解得：$x = 9$
∴ $AD^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$，即$AD=12$（AD为线段长度，取正值）
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 14 × 12 = 84$
【答案】
84
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；方程法解几何题
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，解题关键是通过作高构造直角三角形，以公共高为等量关系建立方程，将几何计算问题转化为方程求解问题，很好地考查了数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
