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12. 如图6,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC$,$BC=10$,$BD ⊥ AC$于点$D$,且$BD=8$,则$S_{△ ABC}=$.
答案
$\boldsymbol{\frac{100}{3}}$
解析
【分析】
要求△ABC的面积，若以AC为底，已知高BD=8，因此只需求出腰长AC的长度即可。解题步骤可分为三步：第一步在Rt△BDC中，利用勾股定理求出CD的长度；第二步设腰长AC=AB=x，用含x的式子表示出AD的长度，再在Rt△ABD中利用勾股定理列方程求解x；最后代入三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，BC=10，BD=8，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
设$AB=AC=x$，则$AD=AC - CD=x - 6$，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2 + BD^2$，
即$x^2=(x - 6)^2 + 8^2$，
展开得：$x^2=x^2 - 12x + 36 + 64$，
整理得：$12x=100$，解得$x=\frac{25}{3}$，
∴$AC=\frac{25}{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD=\frac{1}{2} × \frac{25}{3} × 8=\frac{100}{3}$。
【答案】
$\frac{100}{3}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何计算常规题型，解题核心是结合方程思想，两次运用勾股定理求出等腰三角形的腰长，再计算面积，考查学生对基础几何定理的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的面积，若以AC为底，已知高BD=8，因此只需求出腰长AC的长度即可。解题步骤可分为三步：第一步在Rt△BDC中，利用勾股定理求出CD的长度；第二步设腰长AC=AB=x，用含x的式子表示出AD的长度，再在Rt△ABD中利用勾股定理列方程求解x；最后代入三角形面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，BC=10，BD=8，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{BC^2 - BD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$，
设$AB=AC=x$，则$AD=AC - CD=x - 6$，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2 + BD^2$，
即$x^2=(x - 6)^2 + 8^2$，
展开得：$x^2=x^2 - 12x + 36 + 64$，
整理得：$12x=100$，解得$x=\frac{25}{3}$，
∴$AC=\frac{25}{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BD=\frac{1}{2} × \frac{25}{3} × 8=\frac{100}{3}$。
【答案】
$\frac{100}{3}$
【知识点】
勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何计算常规题型，解题核心是结合方程思想，两次运用勾股定理求出等腰三角形的腰长，再计算面积，考查学生对基础几何定理的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 从前有一个人拿着竹竿进城,横拿、竖拿都进不去:横着比城门宽$\frac{4}{3}$ m,竖着比城门高$\frac{2}{3}$ m. 另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿,这个人一试,不多不少刚好进去了,则竹竿的长度为.
答案
解：设竹竿的长度为$x\ \mathrm{m}$，则城门的宽为$(x-\dfrac{4}{3})\ \mathrm{m}$，城门的高为$(x-\dfrac{2}{3})\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
展开整理得：
$x^2 -4x + \frac{20}{9}=0$
解得：$x_1=\dfrac{10}{3}$，$x_2=\dfrac{2}{3}$。
当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$，不符合实际意义，舍去。
则竹竿的长度为$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
展开整理得：
$x^2 -4x + \frac{20}{9}=0$
解得：$x_1=\dfrac{10}{3}$，$x_2=\dfrac{2}{3}$。
当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$，不符合实际意义，舍去。
则竹竿的长度为$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这是一道结合几何与方程的实际应用题，首先可将城门看作矩形，斜拿竹竿刚好进城说明竹竿长度等于矩形对角线的长度。解题时先设竹竿长度为未知数，用未知数分别表示出城门的宽和高，再根据矩形的宽、高与对角线构成直角三角形的特点，利用勾股定理列一元二次方程，求解后结合长度为正的实际要求舍去不符合的解，就能得到最终结果。
【解析】
解：设竹竿的长度为$x\ \mathrm{m}$，则城门的宽为$(x-\dfrac{4}{3})\ \mathrm{m}$，城门的高为$(x-\dfrac{2}{3})\ \mathrm{m}$。
由勾股定理可得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
展开整理得：
$x^2 -4x + \frac{20}{9}=0$
解得：$x_1=\dfrac{10}{3}$，$x_2=\dfrac{2}{3}$。
检验：当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$，长度为负不符合实际意义，故舍去该解。
因此竹竿的长度为$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程求解；实际问题根的取舍
【点评】
本题属于生活场景类的数学建模题，核心是将实际问题转化为直角三角形的几何问题，结合勾股定理列方程求解，解题时要注意对求出的根进行实际意义的检验，避免错解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何与方程的实际应用题，首先可将城门看作矩形，斜拿竹竿刚好进城说明竹竿长度等于矩形对角线的长度。解题时先设竹竿长度为未知数，用未知数分别表示出城门的宽和高，再根据矩形的宽、高与对角线构成直角三角形的特点，利用勾股定理列一元二次方程，求解后结合长度为正的实际要求舍去不符合的解，就能得到最终结果。
【解析】
解：设竹竿的长度为$x\ \mathrm{m}$，则城门的宽为$(x-\dfrac{4}{3})\ \mathrm{m}$，城门的高为$(x-\dfrac{2}{3})\ \mathrm{m}$。
由勾股定理可得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
展开整理得：
$x^2 -4x + \frac{20}{9}=0$
解得：$x_1=\dfrac{10}{3}$，$x_2=\dfrac{2}{3}$。
检验：当$x=\dfrac{2}{3}$时，$x-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{2}{3}$，长度为负不符合实际意义，故舍去该解。
因此竹竿的长度为$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\dfrac{10}{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
勾股定理的应用；一元二次方程求解；实际问题根的取舍
【点评】
本题属于生活场景类的数学建模题，核心是将实际问题转化为直角三角形的几何问题，结合勾股定理列方程求解，解题时要注意对求出的根进行实际意义的检验，避免错解。
【难度系数】
0.7
14. 如图7,若OA、OB表示秋千的绳索,AC⊥OB,BC=1,AC=2,则该秋千的索长OA=.
答案
$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时先抓住隐含条件：秋千的两条绳索长度相同，即OA=OB。我们可以采用设未知数列方程的方法求解：设索长OA为x，那么OB也为x，结合BC=1可得OC的长度为x-1；再由AC⊥OB可知△AOC是直角三角形，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程即可得到OA的长度。
【解析】
设秋千的索长$OA=OB=x$，
$\because BC=1$，$\therefore OC=OB-BC=x-1$，
又$\because AC⊥ OB$，$AC=2$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入数值可得：$x^2=(x-1)^2+2^2$，
展开等式右侧：$x^2=x^2-2x+1+4$，
移项整理得：$2x=5$，
解得：$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；方程思想
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题的关键是挖掘出绳索长度相等的隐含条件，构造直角三角形建立方程求解，属于典型的几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住隐含条件：秋千的两条绳索长度相同，即OA=OB。我们可以采用设未知数列方程的方法求解：设索长OA为x，那么OB也为x，结合BC=1可得OC的长度为x-1；再由AC⊥OB可知△AOC是直角三角形，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程即可得到OA的长度。
【解析】
设秋千的索长$OA=OB=x$，
$\because BC=1$，$\therefore OC=OB-BC=x-1$，
又$\because AC⊥ OB$，$AC=2$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$，
代入数值可得：$x^2=(x-1)^2+2^2$，
展开等式右侧：$x^2=x^2-2x+1+4$，
移项整理得：$2x=5$，
解得：$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；方程思想
【点评】
本题结合生活场景考查勾股定理的实际应用，解题的关键是挖掘出绳索长度相等的隐含条件，构造直角三角形建立方程求解，属于典型的几何基础应用题。
【难度系数】
0.7
15. 在$△ ABC$中，$AB=\sqrt{8}$，$BC=1$，$∠ ABC=45°$，以$AB$为一边作等腰直角三角形$ABD$，使$∠ ABD=90°$，连接$CD$，则线段$CD$的长为
。
。
答案
解：由题意知，等腰Rt△ABD中，∠ABD=90°，$AB=\sqrt{8}$，
∴ $BD=AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
分两种情况计算：
情况1：点D与点C在直线AB的异侧，此时$∠ CBD = ∠ ABC + ∠ ABD = 45° + 90° = 135°$。
过点D作$DE⊥ BC$，交CB的延长线于点E，
则$∠ DBE = 180° - 135° = 45°$。
在Rt△BDE中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBE=45°$，
∴ $BE = BD·\cos45° = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$，$DE = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CE = BC + BE = 1 + 2 = 3$。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。
情况2：点D与点C在直线AB的同侧，此时$∠ CBD = ∠ ABD - ∠ ABC = 90° - 45° = 45°$。
过点D作$DF⊥ BC$，交BC的延长线于点F，
在Rt△BDF中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBF=45°$，
∴ $BF = BD·\cos45° = 2$，$DF = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CF = BF - BC = 2 - 1 = 1$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DF^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
综上，线段CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
∴ $BD=AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
分两种情况计算：
情况1：点D与点C在直线AB的异侧，此时$∠ CBD = ∠ ABC + ∠ ABD = 45° + 90° = 135°$。
过点D作$DE⊥ BC$，交CB的延长线于点E，
则$∠ DBE = 180° - 135° = 45°$。
在Rt△BDE中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBE=45°$，
∴ $BE = BD·\cos45° = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$，$DE = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CE = BC + BE = 1 + 2 = 3$。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。
情况2：点D与点C在直线AB的同侧，此时$∠ CBD = ∠ ABD - ∠ ABC = 90° - 45° = 45°$。
过点D作$DF⊥ BC$，交BC的延长线于点F，
在Rt△BDF中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBF=45°$，
∴ $BF = BD·\cos45° = 2$，$DF = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CF = BF - BC = 2 - 1 = 1$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DF^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
综上，线段CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
解析
【分析】
解题时首先要注意：以AB为边作∠ABD=90°的等腰直角三角形ABD时，点D的位置有两种可能，分别在AB所在直线的两侧，因此需分类讨论求解。第一步先根据等腰直角三角形的性质得到BD=AB的长度；第二步对每种位置情况，先计算∠CBD的度数，通过作垂直构造直角三角形，利用锐角三角函数求出构造的直角三角形的直角边长；第三步结合已知BC的长度，得到包含CD的直角三角形的两条直角边，最后用勾股定理求出CD的长即可。
【解析】
解：
∵等腰Rt△ABD中，∠ABD=90°，$AB=\sqrt{8}$，
∴ $BD=AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，分两种情况计算：
情况1：点D与点C在直线AB的异侧，此时$∠ CBD = ∠ ABC + ∠ ABD = 45° + 90° = 135°$。
过点D作$DE⊥ BC$，交CB的延长线于点E，
则$∠ DBE = 180° - 135° = 45°$。
在Rt△BDE中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBE=45°$，
∴ $BE = BD·\cos45° = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$，$DE = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CE = BC + BE = 1 + 2 = 3$。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。
情况2：点D与点C在直线AB的同侧，此时$∠ CBD = ∠ ABD - ∠ ABC = 90° - 45° = 45°$。
过点D作$DF⊥ BC$，交BC于点F，
在Rt△BDF中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBF=45°$，
∴ $BF = BD·\cos45° = 2$，$DF = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CF = BF - BC = 2 - 1 = 1$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DF^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
综上，线段CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点D的两种位置导致漏解，解题时需要结合题意全面考虑图形的所有可能情况，同时要熟练掌握直角三角形的边角关系和勾股定理的应用，能通过作辅助线构造直角三角形求解未知边长。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意：以AB为边作∠ABD=90°的等腰直角三角形ABD时，点D的位置有两种可能，分别在AB所在直线的两侧，因此需分类讨论求解。第一步先根据等腰直角三角形的性质得到BD=AB的长度；第二步对每种位置情况，先计算∠CBD的度数，通过作垂直构造直角三角形，利用锐角三角函数求出构造的直角三角形的直角边长；第三步结合已知BC的长度，得到包含CD的直角三角形的两条直角边，最后用勾股定理求出CD的长即可。
【解析】
解：
∵等腰Rt△ABD中，∠ABD=90°，$AB=\sqrt{8}$，
∴ $BD=AB=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，分两种情况计算：
情况1：点D与点C在直线AB的异侧，此时$∠ CBD = ∠ ABC + ∠ ABD = 45° + 90° = 135°$。
过点D作$DE⊥ BC$，交CB的延长线于点E，
则$∠ DBE = 180° - 135° = 45°$。
在Rt△BDE中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBE=45°$，
∴ $BE = BD·\cos45° = 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = 2$，$DE = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CE = BC + BE = 1 + 2 = 3$。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。
情况2：点D与点C在直线AB的同侧，此时$∠ CBD = ∠ ABD - ∠ ABC = 90° - 45° = 45°$。
过点D作$DF⊥ BC$，交BC于点F，
在Rt△BDF中，$BD=2\sqrt{2}$，$∠ DBF=45°$，
∴ $BF = BD·\cos45° = 2$，$DF = BD·\sin45° = 2$。
∴ $CF = BF - BC = 2 - 1 = 1$。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$CD = \sqrt{DF^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$。
综上，线段CD的长为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点D的两种位置导致漏解，解题时需要结合题意全面考虑图形的所有可能情况，同时要熟练掌握直角三角形的边角关系和勾股定理的应用，能通过作辅助线构造直角三角形求解未知边长。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共75分)
16.(8分)(1)如图8,在正方形网格中,小正方形的边长为1,点A、B、C为格点.请说明△ABC的形状并求出BC边上的高.
图8 图9
(2)如图9,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,BD平分$∠ ABC$交AC于点D,$DE⊥ AB$交AB于点E,已知$CD=6$,$AD=10$.求线段AE的长和$△ ABC$的面积.
16.(8分)(1)如图8,在正方形网格中,小正方形的边长为1,点A、B、C为格点.请说明△ABC的形状并求出BC边上的高.
图8 图9
(2)如图9,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,BD平分$∠ ABC$交AC于点D,$DE⊥ AB$交AB于点E,已知$CD=6$,$AD=10$.求线段AE的长和$△ ABC$的面积.
答案
解：(1) 由勾股定理得：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=2^2+4^2=20$，$BC^2=3^2+4^2=25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
设$BC$边上的高为$h$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入$AB=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$BC=5$，得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=2$。
(2) $\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DE=CD=6$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中，
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DE\end{cases}$，
$\therefore Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
$\therefore BC=BE$。
设$BC=x$，则$BE=x$，$AB=AE+BE=8+x$，$AC=CD+AD=16$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$16^2+x^2=(8+x)^2$，
展开得$256+x^2=64+16x+x^2$，
解得$x=12$，即$BC=12$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×16×12=96$。
答：$△ ABC$是直角三角形，$BC$边上的高为$2$；$AE$的长为$8$，$△ ABC$的面积为$96$。
$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=2^2+4^2=20$，$BC^2=3^2+4^2=25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
设$BC$边上的高为$h$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入$AB=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$BC=5$，得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=2$。
(2) $\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DE=CD=6$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中，
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DE\end{cases}$，
$\therefore Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
$\therefore BC=BE$。
设$BC=x$，则$BE=x$，$AB=AE+BE=8+x$，$AC=CD+AD=16$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$16^2+x^2=(8+x)^2$，
展开得$256+x^2=64+16x+x^2$，
解得$x=12$，即$BC=12$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×16×12=96$。
答：$△ ABC$是直角三角形，$BC$边上的高为$2$；$AE$的长为$8$，$△ ABC$的面积为$96$。
解析
【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，可先借助网格边长为1的条件，用勾股定理分别计算AB、AC、BC三边的平方，再通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形；求BC边上的高时，可利用等面积法，即直角三角形面积可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用底乘高的一半计算，列等式即可求出高。
(2) 首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD，先在Rt△ADE中用勾股定理求出AE的长度；再通过HL判定证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BC=BE，设BC为未知数，在大的Rt△ABC中用勾股定理列方程求出BC的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由勾股定理得：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=2^2+4^2=20$，$BC^2=3^2+4^2=25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
设$BC$边上的高为$h$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入$AB=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$BC=5$，得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=2$。
(2) $\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DE=CD=6$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中，
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DE\end{cases}$，
$\therefore Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
$\therefore BC=BE$。
设$BC=x$，则$BE=x$，$AB=AE+BE=8+x$，$AC=CD+AD=16$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$16^2+x^2=(8+x)^2$，
展开得$256+x^2=64+16x+x^2$，
解得$x=12$，即$BC=12$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×16×12=96$。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形，BC边上的高为2；
(2) AE的长为8，$△ ABC$的面积为96。
【知识点】
1. 勾股定理及逆定理
2. 角平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考查了网格中三角形性质的判断，也考查了直角三角形相关性质的应用，解题的关键是灵活运用等面积法、方程思想求解未知量，整体难度不高，需要注意运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ABC的形状，可先借助网格边长为1的条件，用勾股定理分别计算AB、AC、BC三边的平方，再通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形；求BC边上的高时，可利用等面积法，即直角三角形面积可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用底乘高的一半计算，列等式即可求出高。
(2) 首先根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=CD，先在Rt△ADE中用勾股定理求出AE的长度；再通过HL判定证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BC=BE，设BC为未知数，在大的Rt△ABC中用勾股定理列方程求出BC的长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由勾股定理得：
$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=2^2+4^2=20$，$BC^2=3^2+4^2=25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
设$BC$边上的高为$h$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$，
代入$AB=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$BC=5$，得：
$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5× h$，
解得$h=2$。
(2) $\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DE=CD=6$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理：
$AE=\sqrt{AD^2-DE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中，
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DE\end{cases}$，
$\therefore Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
$\therefore BC=BE$。
设$BC=x$，则$BE=x$，$AB=AE+BE=8+x$，$AC=CD+AD=16$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理：
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$16^2+x^2=(8+x)^2$，
展开得$256+x^2=64+16x+x^2$，
解得$x=12$，即$BC=12$。
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×16×12=96$。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形，BC边上的高为2；
(2) AE的长为8，$△ ABC$的面积为96。
【知识点】
1. 勾股定理及逆定理
2. 角平分线的性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考查了网格中三角形性质的判断，也考查了直角三角形相关性质的应用，解题的关键是灵活运用等面积法、方程思想求解未知量，整体难度不高，需要注意运算的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
17. (9分)如图10,A、B两村在河的同侧,且$AB=\sqrt{13}$ km,A、B两村到河的距离分别为$AC=1$ km,$BD=3$ km.现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水,铺设水管的工程费每千米需3 000元.
请你在河边CD上选择水厂的位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用.
请你在河边CD上选择水厂的位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用.
答案
解：
作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点O，则点O即为所求的水厂位置，此时OA+OB的长度最小，铺设水管费用最省。
过点A作AE⊥BD，垂足为E。
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ 四边形ACDE是矩形，
∴ DE=AC=1 km，CD=AE。
∵ BD=3 km，
∴ BE=BD - DE=3 - 1=2 km。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \sqrt{13 - 4} = 3\ \mathrm{km},$
∴ CD=AE=3 km。
过点A'作A'F⊥BD，交BD的延长线于点F，
易知四边形A'CDF是矩形，
∴ A'F=CD=3 km，DF=A'C=AC=1 km，
∴ BF=BD + DF=3 + 1=4 km。
在Rt△A'BF中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'F^2 + BF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{km},$
即OA + OB = A'B = 5 km。
总费用为：$5 × 3000 = 15000$ 元。
答：当水厂建在A'B与CD的交点O处时铺设水管费用最省，铺设水管的总费用为15000元。
作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点O，则点O即为所求的水厂位置，此时OA+OB的长度最小，铺设水管费用最省。
过点A作AE⊥BD，垂足为E。
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ 四边形ACDE是矩形，
∴ DE=AC=1 km，CD=AE。
∵ BD=3 km，
∴ BE=BD - DE=3 - 1=2 km。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \sqrt{13 - 4} = 3\ \mathrm{km},$
∴ CD=AE=3 km。
过点A'作A'F⊥BD，交BD的延长线于点F，
易知四边形A'CDF是矩形，
∴ A'F=CD=3 km，DF=A'C=AC=1 km，
∴ BF=BD + DF=3 + 1=4 km。
在Rt△A'BF中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'F^2 + BF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{km},$
即OA + OB = A'B = 5 km。
总费用为：$5 × 3000 = 15000$ 元。
答：当水厂建在A'B与CD的交点O处时铺设水管费用最省，铺设水管的总费用为15000元。
解析
【分析】
这是一道最短路径的实际应用问题，解题思路如下：1. 要使铺设水管费用最省，本质是在直线CD上找一点O，使OA+OB的和最小，属于两点在直线同侧的最短路径问题，常规解法是作其中一点关于CD的对称点，利用轴对称的性质将线段和转化为两点之间的线段长度，依据两点之间线段最短得到最小值；2. 要求OA+OB的最小值，需要先求出CD的长度，可通过过A作BD的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算；3. 再构造包含对称点与B点连线的直角三角形，用勾股定理算出连线长度，最后乘每千米的费用即可得到总费用。
【解析】
作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点O，则点O即为所求的水厂位置，此时OA+OB的长度最小，铺设水管费用最省。
过点A作AE⊥BD，垂足为E。
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ 四边形ACDE是矩形，
∴ DE=AC=1 km，CD=AE。
∵ BD=3 km，
∴ BE=BD - DE=3 - 1=2 km。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \sqrt{13 - 4} = 3\ \mathrm{km},$
∴ CD=AE=3 km。
过点A'作A'F⊥BD，交BD的延长线于点F，
易知四边形A'CDF是矩形，
∴ A'F=CD=3 km，DF=A'C=AC=1 km，
∴ BF=BD + DF=3 + 1=4 km。
在Rt△A'BF中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'F^2 + BF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{km},$
即OA + OB = A'B = 5 km。
总费用为：$5 × 3000 = 15000$ 元。
【答案】
当水厂建在A'B与CD的交点O处时铺设水管费用最省，铺设水管的总费用为15000元。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题考查最短路径在实际生活中的应用，结合了几何图形的性质与勾股定理的计算，需要熟练掌握同侧两点最短路径的构造方法，能够通过作辅助线构造直角三角形求解未知线段长度，是将几何知识应用于实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
这是一道最短路径的实际应用问题，解题思路如下：1. 要使铺设水管费用最省，本质是在直线CD上找一点O，使OA+OB的和最小，属于两点在直线同侧的最短路径问题，常规解法是作其中一点关于CD的对称点，利用轴对称的性质将线段和转化为两点之间的线段长度，依据两点之间线段最短得到最小值；2. 要求OA+OB的最小值，需要先求出CD的长度，可通过过A作BD的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算；3. 再构造包含对称点与B点连线的直角三角形，用勾股定理算出连线长度，最后乘每千米的费用即可得到总费用。
【解析】
作点A关于直线CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点O，则点O即为所求的水厂位置，此时OA+OB的长度最小，铺设水管费用最省。
过点A作AE⊥BD，垂足为E。
∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴ 四边形ACDE是矩形，
∴ DE=AC=1 km，CD=AE。
∵ BD=3 km，
∴ BE=BD - DE=3 - 1=2 km。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \sqrt{13 - 4} = 3\ \mathrm{km},$
∴ CD=AE=3 km。
过点A'作A'F⊥BD，交BD的延长线于点F，
易知四边形A'CDF是矩形，
∴ A'F=CD=3 km，DF=A'C=AC=1 km，
∴ BF=BD + DF=3 + 1=4 km。
在Rt△A'BF中，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{A'F^2 + BF^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{km},$
即OA + OB = A'B = 5 km。
总费用为：$5 × 3000 = 15000$ 元。
【答案】
当水厂建在A'B与CD的交点O处时铺设水管费用最省，铺设水管的总费用为15000元。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题考查最短路径在实际生活中的应用，结合了几何图形的性质与勾股定理的计算，需要熟练掌握同侧两点最短路径的构造方法，能够通过作辅助线构造直角三角形求解未知线段长度，是将几何知识应用于实际问题的典型题型。
【难度系数】
0.7
