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5、9,则第4个三角形的面积为 （）
A.6
B.9
C.11
D.12
A.6
B.9
C.11
D.12
答案
D
解析
【分析】
本题是结合图形规律与三角形面积计算的题目，解题思路如下：首先观察图形特征，可知所有三角形均为全等的直角三角形，先根据题干给出的数值推导出单个三角形的面积为3，再根据序数规律计算第4个三角形的面积即可，也可通过割补法直接计算对应三角形的面积得到结果，符合八年级阶段的解题要求。
【解析】
观察图形规律可得，图中所有三角形均为全等的直角三角形，经计算单个三角形的面积为3，因此第n个三角形的面积满足规律：$S=3n$。
当$n=4$时，第4个三角形的面积$S=3×4=12$。
也可通过割补法验证：将目标三角形放入对应矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，最终计算结果同样为12。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，规律探究，割补法求面积
【点评】
本题属于基础综合题，既可以通过观察图形找规律快速求解，也可以用割补法直接计算，考查对三角形面积公式的掌握程度和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
本题是结合图形规律与三角形面积计算的题目，解题思路如下：首先观察图形特征，可知所有三角形均为全等的直角三角形，先根据题干给出的数值推导出单个三角形的面积为3，再根据序数规律计算第4个三角形的面积即可，也可通过割补法直接计算对应三角形的面积得到结果，符合八年级阶段的解题要求。
【解析】
观察图形规律可得，图中所有三角形均为全等的直角三角形，经计算单个三角形的面积为3，因此第n个三角形的面积满足规律：$S=3n$。
当$n=4$时，第4个三角形的面积$S=3×4=12$。
也可通过割补法验证：将目标三角形放入对应矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，最终计算结果同样为12。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，规律探究，割补法求面积
【点评】
本题属于基础综合题，既可以通过观察图形找规律快速求解，也可以用割补法直接计算，考查对三角形面积公式的掌握程度和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
8.(2024·巴中)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图4,AC=5,DC=1,BD=BA,则BC的值为 ()
A.8
B.10
C.12
D.13
A.8
B.10
C.12
D.13
答案
C
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用题，解题思路如下：第一步，设水深BC的长度为未知数x；第二步，根据BD=BA、DC=1，用含x的式子表示出AB的长度为x+1；第三步，观察到△ACB是直角三角形，∠C为直角，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程；第四步，解方程求出x的值，即BC的长度。
【解析】
设BC的长为x，
∵ DC=1，
∴ BD=BC+DC=x+1，
又
∵ BD=BA，
∴ BA=x+1，
由图可知∠C=90°，△ACB为直角三角形，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
已知AC=5，代入得：
$5^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开右侧：$25 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：$2x = 24$，解得$x=12$
即BC的值为12。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是古代数学经典问题，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，解题核心是找准直角三角形的边长关系，通过设未知数建立方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
这是一道勾股定理的实际应用题，解题思路如下：第一步，设水深BC的长度为未知数x；第二步，根据BD=BA、DC=1，用含x的式子表示出AB的长度为x+1；第三步，观察到△ACB是直角三角形，∠C为直角，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”列方程；第四步，解方程求出x的值，即BC的长度。
【解析】
设BC的长为x，
∵ DC=1，
∴ BD=BC+DC=x+1，
又
∵ BD=BA，
∴ BA=x+1，
由图可知∠C=90°，△ACB为直角三角形，根据勾股定理可得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
已知AC=5，代入得：
$5^2 + x^2 = (x+1)^2$
展开右侧：$25 + x^2 = x^2 + 2x + 1$
移项化简得：$2x = 24$，解得$x=12$
即BC的值为12。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是古代数学经典问题，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，解题核心是找准直角三角形的边长关系，通过设未知数建立方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
9. (2024·淄博)《九章算术》中提到:今有户高多于广六尺八寸.两隅相去适一丈.问:户高、广各几何? 其大意为:已知矩形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少? (1丈=10尺,1尺=10寸)若设门的高和宽分别是x尺和y尺,则下面所列方程组正确的是 ()
A.$\begin{cases} x=y-6.8, \\ x^2+10^2=y^2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=y-6.8, \\ x^2+y^2=10^2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=y+6.8, \\ x^2+10^2=y^2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=y+6.8, \\ x^2+y^2=10^2 \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=y-6.8, \\ x^2+10^2=y^2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=y-6.8, \\ x^2+y^2=10^2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=y+6.8, \\ x^2+10^2=y^2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=y+6.8, \\ x^2+y^2=10^2 \end{cases}$
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确题目中的两个核心等量关系，再结合未知数的设定列方程即可：①首先根据“高比宽多6尺8寸”，得到高和宽的数量关系；②矩形的对角线与长、宽构成直角三角形，满足勾股定理，结合对角线长1丈的条件列第二个方程。最后将得到的方程组和选项对比选出正确答案。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
第一步，根据“门的高比宽多6尺8寸”，已知高为x尺，宽为y尺，可得：$x = y + 6.8$；
第二步，矩形的门的对角线、高、宽构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可得：$x^2 + y^2 = 10^2$。
联立两个方程，得到的方程组和D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用，勾股定理，单位换算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查学生提取等量关系列方程组的能力，只要准确把握高与宽的大小关系、勾股定理的应用条件即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目中的两个核心等量关系，再结合未知数的设定列方程即可：①首先根据“高比宽多6尺8寸”，得到高和宽的数量关系；②矩形的对角线与长、宽构成直角三角形，满足勾股定理，结合对角线长1丈的条件列第二个方程。最后将得到的方程组和选项对比选出正确答案。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
第一步，根据“门的高比宽多6尺8寸”，已知高为x尺，宽为y尺，可得：$x = y + 6.8$；
第二步，矩形的门的对角线、高、宽构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可得：$x^2 + y^2 = 10^2$。
联立两个方程，得到的方程组和D选项一致。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用，勾股定理，单位换算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查学生提取等量关系列方程组的能力，只要准确把握高与宽的大小关系、勾股定理的应用条件即可正确解答。
【难度系数】
0.8
10. 如图5①,直角三角形的两个锐角分别是40°和50°,其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形,再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图5②是1次操作后的图形.图5③是重复上述步骤若干次后得到的图形,人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图5①中的直角三角形斜边长为2,则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（）
A.56
B.72
C.48
D.16
A.56
B.72
C.48
D.16
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是结合勾股定理与正方形面积的关系找规律。首先，正方形的面积等于边长的平方，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此任意直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。先计算初始图形①的所有正方形面积和，再推导每次操作后新增的正方形面积和的规律，最后代入10次操作计算总和即可。
【解析】
解：已知图①中直角三角形斜边长为2，因此斜边对应的正方形面积为$2^2=4$。
根据勾股定理，两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边正方形的面积，即和为4，因此图①（0次操作）中所有正方形的面积和为$4 + 4 = 8$。
观察操作规律：每进行1次操作，新增的所有正方形的面积之和等于上一级两个小正方形的面积和，恒为4。
因此，进行n次操作后，所有正方形的面积和为$8 + 4n = 4(n+2)$。
当n=10时，总面积和为$4×(10+2)=48$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；图形规律探究；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形变化规律结合，解题的关键是理解每次操作新增正方形面积和为定值，巧妙运用数形结合思想即可快速求解。
【难度系数】
0.6
解题的核心是结合勾股定理与正方形面积的关系找规律。首先，正方形的面积等于边长的平方，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，因此任意直角三角形两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边对应的正方形面积。先计算初始图形①的所有正方形面积和，再推导每次操作后新增的正方形面积和的规律，最后代入10次操作计算总和即可。
【解析】
解：已知图①中直角三角形斜边长为2，因此斜边对应的正方形面积为$2^2=4$。
根据勾股定理，两条直角边对应的正方形面积之和等于斜边正方形的面积，即和为4，因此图①（0次操作）中所有正方形的面积和为$4 + 4 = 8$。
观察操作规律：每进行1次操作，新增的所有正方形的面积之和等于上一级两个小正方形的面积和，恒为4。
因此，进行n次操作后，所有正方形的面积和为$8 + 4n = 4(n+2)$。
当n=10时，总面积和为$4×(10+2)=48$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；图形规律探究；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与图形变化规律结合，解题的关键是理解每次操作新增正方形面积和为定值，巧妙运用数形结合思想即可快速求解。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数,称为勾股数.写出你比较熟悉的两组勾股数:①;②.
11.满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数,称为勾股数.写出你比较熟悉的两组勾股数:①;②.
答案
① 3，4，5；
② 5，12，13。
② 5，12，13。
解析
【分析】
解题时首先要明确勾股数的定义：三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即为勾股数。我们既可以回忆日常学习中积累的常见勾股数，也可以自行构造：先选取两个较小的正整数，计算二者的平方和，若结果恰好是另一个正整数的平方，那么这三个数就构成一组勾股数，其中最常见的两组就是3、4、5和5、12、13。
【解析】
根据勾股数的定义，对两组数分别验证：
① 对于3、4、5：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股数的要求；
② 对于5、12、13：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足勾股数的要求。
注：本题答案不唯一，如6、8、10；7、24、25等也属于勾股数，符合定义即可。
【答案】
① 3，4，5；② 5，12，13
【知识点】
1. 勾股数的定义 2. 整数的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对勾股数定义的理解与记忆，熟练掌握常见的勾股数可提升解题效率，也可根据定义自行构造符合要求的勾股数。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确勾股数的定义：三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即为勾股数。我们既可以回忆日常学习中积累的常见勾股数，也可以自行构造：先选取两个较小的正整数，计算二者的平方和，若结果恰好是另一个正整数的平方，那么这三个数就构成一组勾股数，其中最常见的两组就是3、4、5和5、12、13。
【解析】
根据勾股数的定义，对两组数分别验证：
① 对于3、4、5：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，满足勾股数的要求；
② 对于5、12、13：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足勾股数的要求。
注：本题答案不唯一，如6、8、10；7、24、25等也属于勾股数，符合定义即可。
【答案】
① 3，4，5；② 5，12，13
【知识点】
1. 勾股数的定义 2. 整数的乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对勾股数定义的理解与记忆，熟练掌握常见的勾股数可提升解题效率，也可根据定义自行构造符合要求的勾股数。
【难度系数】
0.9
