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1. 已知三组数据:①2、3、4;②3、4、5;③1、$\sqrt{3}$、2. 分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,能构成直角三角形的有 ()
A.②
B.①②
C.①③
D.②③
A.②
B.①②
C.①③
D.②③
答案
D
解析
【分析】
要判断三组数据能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形的两条短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先对每组数据确定最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，对三组数据逐一判断：
①对于数据2、3、4，最长边为4
两短边平方和：$2^2+3^2=4+9=13$，最长边平方：$4^2=16$
∵$13≠16$，
∴不能构成直角三角形；
②对于数据3、4、5，最长边为5
两短边平方和：$3^2+4^2=9+16=25$，最长边平方：$5^2=25$
∵$25=25$，
∴能构成直角三角形；
③对于数据1、$\sqrt{3}$、2，最长边为2
两短边平方和：$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$，最长边平方：$2^2=4$
∵$4=4$，
∴能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的是②③。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时注意先确定最长边，再验证平方和的关系，计算时要注意带根号的数的平方运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要判断三组数据能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形的两条短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先对每组数据确定最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，对比二者是否相等即可得出结论。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，对三组数据逐一判断：
①对于数据2、3、4，最长边为4
两短边平方和：$2^2+3^2=4+9=13$，最长边平方：$4^2=16$
∵$13≠16$，
∴不能构成直角三角形；
②对于数据3、4、5，最长边为5
两短边平方和：$3^2+4^2=9+16=25$，最长边平方：$5^2=25$
∵$25=25$，
∴能构成直角三角形；
③对于数据1、$\sqrt{3}$、2，最长边为2
两短边平方和：$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$，最长边平方：$2^2=4$
∵$4=4$，
∴能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的是②③。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时注意先确定最长边，再验证平方和的关系，计算时要注意带根号的数的平方运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
2.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图
所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m＞n). 若小正方形的面积为5, $(m+n)^2=21$,则大正方形的面积为 ()
A.12
B.13
C.14
D.15
所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m＞n). 若小正方形的面积为5, $(m+n)^2=21$,则大正方形的面积为 ()A.12
B.13
C.14
D.15
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合赵爽弦图的结构梳理边长关系：小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积等于斜边长的平方，即$m^2+n^2$。已知$(m+n)^2$和$(m-n)^2$的值，我们可以将两个完全平方公式展开后相加，消去含$mn$的项，直接求出$m^2+n^2$的值，即可得到大正方形的面积。
【解析】
解：由题意可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$ ②
将①展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 5$
将②展开得：$m^2 + 2mn + n^2 = 21$
将两个展开后的式子相加，得：
$2(m^2 + n^2) = 26$
解得$m^2 + n^2 = 13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，其面积等于斜边的平方，即$m^2 + n^2$，因此大正方形的面积为13。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图；完全平方公式；勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，将赵爽弦图的面积关系和完全平方公式、勾股定理结合考查，解题核心是梳理清楚图形各部分的边长对应关系，熟练运用完全平方公式的变形技巧简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先结合赵爽弦图的结构梳理边长关系：小正方形的边长为长直角边减短直角边，即$m-n$，因此小正方形面积可表示为$(m-n)^2$；大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，大正方形面积等于斜边长的平方，即$m^2+n^2$。已知$(m+n)^2$和$(m-n)^2$的值，我们可以将两个完全平方公式展开后相加，消去含$mn$的项，直接求出$m^2+n^2$的值，即可得到大正方形的面积。
【解析】
解：由题意可知，小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形的面积为：
$(m-n)^2=5$ ①
已知$(m+n)^2=21$ ②
将①展开得：$m^2 - 2mn + n^2 = 5$
将②展开得：$m^2 + 2mn + n^2 = 21$
将两个展开后的式子相加，得：
$2(m^2 + n^2) = 26$
解得$m^2 + n^2 = 13$
根据勾股定理，大正方形的边长为直角三角形的斜边，其面积等于斜边的平方，即$m^2 + n^2$，因此大正方形的面积为13。
【答案】
B
【知识点】
赵爽弦图；完全平方公式；勾股定理
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，将赵爽弦图的面积关系和完全平方公式、勾股定理结合考查，解题核心是梳理清楚图形各部分的边长对应关系，熟练运用完全平方公式的变形技巧简化计算。
【难度系数】
0.7
3. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（）
A.假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B.假设四边形中有一个角是钝角或直角
C.假设四边形中每一个角均为钝角
D.假设四边形中每一个角均为直角
A.假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B.假设四边形中有一个角是钝角或直角
C.假设四边形中每一个角均为钝角
D.假设四边形中每一个角均为直角
答案
A
解析
【分析】
首先回忆反证法的证明逻辑：反证法第一步需要假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。先提取原命题的结论：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，再找结论的反面：“至少有1个”的含义是存在≥1个，它的反面就是数量为0，也就是“一个都没有”，对应可得正确假设，再匹配选项即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论为：四边形中至少有一个角是钝角或直角。
“至少有一个”的否定为“一个都没有”，因此第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角。
逐一分析选项：
A. 符合上述假设，正确；
B. 是原命题的结论本身，不是结论的反面，错误；
C. 仅假设全为钝角，未覆盖“没有直角”的要求，不是结论的完整否定，错误；
D. 仅假设全为直角，未覆盖“没有钝角”的要求，不是结论的完整否定，错误。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设操作，核心是准确判断“至少有一个”这类量词的否定形式，属于基础题型，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆反证法的证明逻辑：反证法第一步需要假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。先提取原命题的结论：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，再找结论的反面：“至少有1个”的含义是存在≥1个，它的反面就是数量为0，也就是“一个都没有”，对应可得正确假设，再匹配选项即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论为：四边形中至少有一个角是钝角或直角。
“至少有一个”的否定为“一个都没有”，因此第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角。
逐一分析选项：
A. 符合上述假设，正确；
B. 是原命题的结论本身，不是结论的反面，错误；
C. 仅假设全为钝角，未覆盖“没有直角”的要求，不是结论的完整否定，错误；
D. 仅假设全为直角，未覆盖“没有钝角”的要求，不是结论的完整否定，错误。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设操作，核心是准确判断“至少有一个”这类量词的否定形式，属于基础题型，熟练掌握反证法的基本逻辑就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 小明从家出发向正北方向走了 60 m,接着向正东方向走到离家100 m远的地方,小明向正东方向走了 （）
A.60 m
B.80 m
C.100 m
D.160 m
A.60 m
B.80 m
C.100 m
D.160 m
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合方向特征分析：正北方向与正东方向互相垂直，因此小明的行走路径可构成直角三角形：家为直角顶点，向北走的60m、向东走的路程分别为两条直角边，最终离家的100m为斜边。我们已知斜边和一条直角边的长度，只需利用勾股定理即可求出另一条直角边，也就是正东方向走的路程。
【解析】
设小明向正东方向走了$ x $ m。
∵ 正北方向与正东方向夹角为90°，
∴ 三段路程对应直角三角形的三条边，其中60m、$ x $ m为直角边，100m为斜边。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ 60^2 + x^2 = 100^2 $
整理得：$ x^2 = 100^2 - 60^2 = 10000 - 3600 = 6400 $
∵ 路程为正数，
∴ $ x = \sqrt{6400} = 80 $
即小明向正东方向走了80m。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；方向与位置
【点评】
本题是勾股定理在实际行程问题中的基础应用，解题核心是能根据方向的垂直关系构建直角三角形，再结合勾股定理计算未知边长，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合方向特征分析：正北方向与正东方向互相垂直，因此小明的行走路径可构成直角三角形：家为直角顶点，向北走的60m、向东走的路程分别为两条直角边，最终离家的100m为斜边。我们已知斜边和一条直角边的长度，只需利用勾股定理即可求出另一条直角边，也就是正东方向走的路程。
【解析】
设小明向正东方向走了$ x $ m。
∵ 正北方向与正东方向夹角为90°，
∴ 三段路程对应直角三角形的三条边，其中60m、$ x $ m为直角边，100m为斜边。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$ 60^2 + x^2 = 100^2 $
整理得：$ x^2 = 100^2 - 60^2 = 10000 - 3600 = 6400 $
∵ 路程为正数，
∴ $ x = \sqrt{6400} = 80 $
即小明向正东方向走了80m。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；方向与位置
【点评】
本题是勾股定理在实际行程问题中的基础应用，解题核心是能根据方向的垂直关系构建直角三角形，再结合勾股定理计算未知边长，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
5. 对于题目“已知3、4和m是一组勾 股 数 ，求m的值”，甲的结果是$m=5$，乙的结果是$m=5$或$\sqrt{7}$，丙的结果是$m$的值不确定，则（）
A.甲对
B.乙对
C.丙对
D.甲、乙、丙都不对
A.甲对
B.乙对
C.丙对
D.甲、乙、丙都不对
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要抓住勾股数的核心定义，这是解题的关键前提，很多同学容易遗漏这个限制条件，只套用勾股定理计算导致错选。解题思路如下：第一步先明确勾股数的定义，即勾股数是满足勾股定理的三个正整数；第二步分两种情况讨论m是直角边还是斜边，结合勾股定理计算m的可能值；第三步对计算结果进行验证，排除不符合正整数要求的结果，最终判断谁的答案正确。
【解析】
首先明确勾股数的定义：能够构成直角三角形三边长的一组正整数叫做勾股数，需同时满足两个条件：①符合勾股定理$a^2+b^2=c^2$；②三个数均为正整数。
接下来分情况讨论：
1. 若m为斜边长：根据勾股定理可得$3^2 + 4^2 = m^2$，计算得$m^2=9+16=25$，因为边长为正数，所以$m=5$，5是正整数，符合勾股数要求。
2. 若4为斜边长：根据勾股定理可得$3^2 + m^2 = 4^2$，计算得$m^2=16-9=7$，则$m=\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去该结果。
综上，m的值只能是5，甲的结果正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题易错点是忽略勾股数必须为正整数的前提条件，仅通过勾股定理计算得到两个结果就误判乙的答案正确。解题时要先明确概念的限制条件，再结合分类讨论思想计算验证，避免遗漏前提出错。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要抓住勾股数的核心定义，这是解题的关键前提，很多同学容易遗漏这个限制条件，只套用勾股定理计算导致错选。解题思路如下：第一步先明确勾股数的定义，即勾股数是满足勾股定理的三个正整数；第二步分两种情况讨论m是直角边还是斜边，结合勾股定理计算m的可能值；第三步对计算结果进行验证，排除不符合正整数要求的结果，最终判断谁的答案正确。
【解析】
首先明确勾股数的定义：能够构成直角三角形三边长的一组正整数叫做勾股数，需同时满足两个条件：①符合勾股定理$a^2+b^2=c^2$；②三个数均为正整数。
接下来分情况讨论：
1. 若m为斜边长：根据勾股定理可得$3^2 + 4^2 = m^2$，计算得$m^2=9+16=25$，因为边长为正数，所以$m=5$，5是正整数，符合勾股数要求。
2. 若4为斜边长：根据勾股定理可得$3^2 + m^2 = 4^2$，计算得$m^2=16-9=7$，则$m=\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去该结果。
综上，m的值只能是5，甲的结果正确。
【答案】
A
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题易错点是忽略勾股数必须为正整数的前提条件，仅通过勾股定理计算得到两个结果就误判乙的答案正确。解题时要先明确概念的限制条件，再结合分类讨论思想计算验证，避免遗漏前提出错。
【难度系数】
0.6
6. 如图2,在长方形纸片$ABCD$中,$AB=4,BC=6$,将$△ ABC$沿$AC$折叠,使点$B$落在点$E$处,$CE$交$AD$于点$F$,则$DF$的长为 ()
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{7}{3}$
D.$\dfrac{5}{4}$
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{5}{3}$
C.$\dfrac{7}{3}$
D.$\dfrac{5}{4}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质得到边和角的关系，再结合折叠前后对应角相等的性质，推导得出AF=CF的等腰三角形结论，最后设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程即可求出DF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，AD//BC，∠D=90°，
由折叠的性质可得：∠ACB=∠ACE，
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAF，
∴∠ACE=∠CAF，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=AD-DF=6-x，即CF=6-x，
在Rt△CDF中，根据勾股定理得：$CD^2 + DF^2 = CF^2$，
代入数值得：$4^2 + x^2 = (6-x)^2$，
展开计算：$16 + x^2 = 36 - 12x + x^2$，
消去$x^2$后解得：$12x=20$，$x=\frac{5}{3}$，
即DF的长为$\frac{5}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何常见题型，解题核心是通过角的等量关系推导出等腰三角形，再结合勾股定理建立方程求解，很好的考察了几何性质的综合运用能力和方程思想。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形的性质得到边和角的关系，再结合折叠前后对应角相等的性质，推导得出AF=CF的等腰三角形结论，最后设未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程即可求出DF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4，AD//BC，∠D=90°，
由折叠的性质可得：∠ACB=∠ACE，
∵AD//BC，
∴∠ACB=∠CAF，
∴∠ACE=∠CAF，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=AD-DF=6-x，即CF=6-x，
在Rt△CDF中，根据勾股定理得：$CD^2 + DF^2 = CF^2$，
代入数值得：$4^2 + x^2 = (6-x)^2$，
展开计算：$16 + x^2 = 36 - 12x + x^2$，
消去$x^2$后解得：$12x=20$，$x=\frac{5}{3}$，
即DF的长为$\frac{5}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何常见题型，解题核心是通过角的等量关系推导出等腰三角形，再结合勾股定理建立方程求解，很好的考察了几何性质的综合运用能力和方程思想。
【难度系数】
0.7
