登录
22. (10分)已知$△ ABC$中，$AC=BC$，$△ DEC$中，$DC=EC$，$∠ ACB=∠ DCE=α$，点$A$、$D$、$E$在同一直线上，$AE$与$BC$相交于点$F$，连接$BE$。
(1)如图19①，当$α=60°$时：
①请写出$△ ABC$和$△ DEC$的形状；
②求证：$AD=BE$；
③求$∠ AEB$的度数。
(2)如图19②，当$α=90°$时：
①求$∠ AEB$的度数；
②若$∠ CAF=∠ BAF$，$BE=2$，求线段$AF$的长。
(1)如图19①，当$α=60°$时：
①请写出$△ ABC$和$△ DEC$的形状；
②求证：$AD=BE$；
③求$∠ AEB$的度数。
(2)如图19②，当$α=90°$时：
①求$∠ AEB$的度数；
②若$∠ CAF=∠ BAF$，$BE=2$，求线段$AF$的长。
答案
解：
(1)①
$\because AC=BC,∠ ACB=60°,DC=EC,∠ DCE=60°$
$\therefore △ ABC$和$△ DEC$都是等边三角形。
②证明：
$\because ∠ ACB=∠ DCE$
$\therefore ∠ ACB-∠ DCF=∠ DCE-∠ DCF$，即$∠ ACD=∠ BCE$
在$△ ACD$和$△ BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore AD=BE$
③
$\because △ DEC$是等边三角形
$\therefore ∠ CDE=∠ CED=60°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ CDE=120°$
$\because △ ACD≌△ BCE$
$\therefore ∠ BEC=∠ ADC=120°$
$\therefore ∠ AEB=∠ BEC-∠ CED=120°-60°=60°$
(2)①
$\because ∠ ACB=∠ DCE=90°$
$\therefore ∠ ACB-∠ DCF=∠ DCE-∠ DCF$，即$∠ ACD=∠ BCE$
在$△ ACD$和$△ BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ ADC=∠ BEC$
$\because DC=EC,∠ DCE=90°$
$\therefore ∠ CDE=∠ CED=45°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ CDE=135°$
$\therefore ∠ BEC=135°$
$\therefore ∠ AEB=∠ BEC-∠ CED=135°-45°=90°$
②
$\because AC=BC,∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ CAB=45°$
$\because ∠ CAF=∠ BAF$
$\therefore ∠ CAF=22.5°$
$\because ∠ CDE$是$△ ACD$的外角，$∠ CDE=45°$
$\therefore ∠ ACD=∠ CDE-∠ CAF=45°-22.5°=22.5°$
$\therefore ∠ ACD=∠ CAF$
$\therefore AD=CD$
$\because △ ACD≌△ BCE$
$\therefore AD=BE=2$
$\therefore CD=AD=2$
$\because ∠ DCF=∠ ACB-∠ ACD=90°-22.5°=67.5°$
$∠ DFC=180°-∠ CAF-∠ ACF=180°-22.5°-90°=67.5°$
$\therefore ∠ DCF=∠ DFC$
$\therefore DF=CD=2$
$\therefore AF=AD+DF=2+2=4$
综上，(1)①$△ ABC$和$△ DEC$均为等边三角形；②得证$AD=BE$；③$∠ AEB=60°$；(2)①$∠ AEB=90°$；②$AF=4$。
(1)①
$\because AC=BC,∠ ACB=60°,DC=EC,∠ DCE=60°$
$\therefore △ ABC$和$△ DEC$都是等边三角形。
②证明：
$\because ∠ ACB=∠ DCE$
$\therefore ∠ ACB-∠ DCF=∠ DCE-∠ DCF$，即$∠ ACD=∠ BCE$
在$△ ACD$和$△ BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore AD=BE$
③
$\because △ DEC$是等边三角形
$\therefore ∠ CDE=∠ CED=60°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ CDE=120°$
$\because △ ACD≌△ BCE$
$\therefore ∠ BEC=∠ ADC=120°$
$\therefore ∠ AEB=∠ BEC-∠ CED=120°-60°=60°$
(2)①
$\because ∠ ACB=∠ DCE=90°$
$\therefore ∠ ACB-∠ DCF=∠ DCE-∠ DCF$，即$∠ ACD=∠ BCE$
在$△ ACD$和$△ BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ ACD=∠ BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ ADC=∠ BEC$
$\because DC=EC,∠ DCE=90°$
$\therefore ∠ CDE=∠ CED=45°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ CDE=135°$
$\therefore ∠ BEC=135°$
$\therefore ∠ AEB=∠ BEC-∠ CED=135°-45°=90°$
②
$\because AC=BC,∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ CAB=45°$
$\because ∠ CAF=∠ BAF$
$\therefore ∠ CAF=22.5°$
$\because ∠ CDE$是$△ ACD$的外角，$∠ CDE=45°$
$\therefore ∠ ACD=∠ CDE-∠ CAF=45°-22.5°=22.5°$
$\therefore ∠ ACD=∠ CAF$
$\therefore AD=CD$
$\because △ ACD≌△ BCE$
$\therefore AD=BE=2$
$\therefore CD=AD=2$
$\because ∠ DCF=∠ ACB-∠ ACD=90°-22.5°=67.5°$
$∠ DFC=180°-∠ CAF-∠ ACF=180°-22.5°-90°=67.5°$
$\therefore ∠ DCF=∠ DFC$
$\therefore DF=CD=2$
$\therefore AF=AD+DF=2+2=4$
综上，(1)①$△ ABC$和$△ DEC$均为等边三角形；②得证$AD=BE$；③$∠ AEB=60°$；(2)①$∠ AEB=90°$；②$AF=4$。
解析
【分析】
本题是等腰三角形背景下的几何探究题，解题思路如下：
(1)① 已知三角形两边相等且夹角为60°，根据等边三角形的判定定理可直接判断两个三角形的形状；
② 要证AD=BE，可证明AD、BE所在的△ACD与△BCE全等：先利用已知等角减去公共角得到一组对应角相等，再结合两组对应边相等，用SAS即可证明全等，进而得到对应边相等；
③ 利用等边三角形的内角性质得∠CDE的度数，结合平角求出∠ADC的度数，再利用全等三角形对应角相等得∠BEC的度数，减去∠CED的度数即可得到∠AEB的度数。
(2)① 类比(1)的解题思路，先证△ACD≌△BCE，再结合等腰直角三角形的内角性质，按相同方法计算∠AEB的度数；
② 先利用等腰直角三角形底角为45°结合角平分线求出∠CAF的度数，再利用三角形外角性质得∠ACD=∠CAF，推出AD=CD，结合全等得AD=BE，再通过角的计算得∠DCF=∠DFC，推出DF=CD，最后将AD与DF相加得到AF的长度。
【解析】
(1)① $\because AC=BC,∠ACB=60°,DC=EC,∠DCE=60°$
$\therefore △ABC$和$△DEC$都是等边三角形。
② 证明：
$\because ∠ACB=∠DCE$
$\therefore ∠ACB-∠DCF=∠DCE-∠DCF$，即$∠ACD=∠BCE$
在$△ACD$和$△BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ACD≌△BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore AD=BE$
③ $\because △DEC$是等边三角形
$\therefore ∠CDE=∠CED=60°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ADC=180°-∠CDE=120°$
$\because △ACD≌△BCE$
$\therefore ∠BEC=∠ADC=120°$
$\therefore ∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°$
(2)① $\because ∠ACB=∠DCE=90°$
$\therefore ∠ACB-∠DCF=∠DCE-∠DCF$，即$∠ACD=∠BCE$
在$△ACD$和$△BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ACD≌△BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ADC=∠BEC$
$\because DC=EC,∠DCE=90°$
$\therefore ∠CDE=∠CED=45°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ADC=180°-∠CDE=135°$
$\therefore ∠BEC=135°$
$\therefore ∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°$
② $\because AC=BC,∠ACB=90°$
$\therefore ∠CAB=45°$
$\because ∠CAF=∠BAF$
$\therefore ∠CAF=22.5°$
$\because ∠CDE$是$△ACD$的外角，$∠CDE=45°$
$\therefore ∠ACD=∠CDE-∠CAF=45°-22.5°=22.5°$
$\therefore ∠ACD=∠CAF$
$\therefore AD=CD$
$\because △ACD≌△BCE$
$\therefore AD=BE=2$
$\therefore CD=AD=2$
$\because ∠DCF=∠ACB-∠ACD=90°-22.5°=67.5°$
$∠DFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-22.5°-90°=67.5°$
$\therefore ∠DCF=∠DFC$
$\therefore DF=CD=2$
$\therefore AF=AD+DF=2+2=4$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{△ABC}$和$\boldsymbol{△DEC}$均为等边三角形；②$AD=BE$，证明成立；③$\boldsymbol{∠AEB=60°}$；
(2)①$\boldsymbol{∠AEB=90°}$；②$\boldsymbol{AF=4}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何探究类综合题，按照由特殊到一般的逻辑设置问题，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定方法，能结合特殊三角形的性质推导边、角的等量关系，对几何逻辑推理能力有一定要求，是三角形章节的典型高频考题。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形背景下的几何探究题，解题思路如下：
(1)① 已知三角形两边相等且夹角为60°，根据等边三角形的判定定理可直接判断两个三角形的形状；
② 要证AD=BE，可证明AD、BE所在的△ACD与△BCE全等：先利用已知等角减去公共角得到一组对应角相等，再结合两组对应边相等，用SAS即可证明全等，进而得到对应边相等；
③ 利用等边三角形的内角性质得∠CDE的度数，结合平角求出∠ADC的度数，再利用全等三角形对应角相等得∠BEC的度数，减去∠CED的度数即可得到∠AEB的度数。
(2)① 类比(1)的解题思路，先证△ACD≌△BCE，再结合等腰直角三角形的内角性质，按相同方法计算∠AEB的度数；
② 先利用等腰直角三角形底角为45°结合角平分线求出∠CAF的度数，再利用三角形外角性质得∠ACD=∠CAF，推出AD=CD，结合全等得AD=BE，再通过角的计算得∠DCF=∠DFC，推出DF=CD，最后将AD与DF相加得到AF的长度。
【解析】
(1)① $\because AC=BC,∠ACB=60°,DC=EC,∠DCE=60°$
$\therefore △ABC$和$△DEC$都是等边三角形。
② 证明：
$\because ∠ACB=∠DCE$
$\therefore ∠ACB-∠DCF=∠DCE-∠DCF$，即$∠ACD=∠BCE$
在$△ACD$和$△BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ACD≌△BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore AD=BE$
③ $\because △DEC$是等边三角形
$\therefore ∠CDE=∠CED=60°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ADC=180°-∠CDE=120°$
$\because △ACD≌△BCE$
$\therefore ∠BEC=∠ADC=120°$
$\therefore ∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°$
(2)① $\because ∠ACB=∠DCE=90°$
$\therefore ∠ACB-∠DCF=∠DCE-∠DCF$，即$∠ACD=∠BCE$
在$△ACD$和$△BCE$中
$\begin{cases}AC=BC \\∠ACD=∠BCE \\DC=EC\end{cases}$
$\therefore △ACD≌△BCE(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ADC=∠BEC$
$\because DC=EC,∠DCE=90°$
$\therefore ∠CDE=∠CED=45°$
$\because$点$A$、$D$、$E$在同一直线上
$\therefore ∠ADC=180°-∠CDE=135°$
$\therefore ∠BEC=135°$
$\therefore ∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°$
② $\because AC=BC,∠ACB=90°$
$\therefore ∠CAB=45°$
$\because ∠CAF=∠BAF$
$\therefore ∠CAF=22.5°$
$\because ∠CDE$是$△ACD$的外角，$∠CDE=45°$
$\therefore ∠ACD=∠CDE-∠CAF=45°-22.5°=22.5°$
$\therefore ∠ACD=∠CAF$
$\therefore AD=CD$
$\because △ACD≌△BCE$
$\therefore AD=BE=2$
$\therefore CD=AD=2$
$\because ∠DCF=∠ACB-∠ACD=90°-22.5°=67.5°$
$∠DFC=180°-∠CAF-∠ACF=180°-22.5°-90°=67.5°$
$\therefore ∠DCF=∠DFC$
$\therefore DF=CD=2$
$\therefore AF=AD+DF=2+2=4$
【答案】
(1)①$\boldsymbol{△ABC}$和$\boldsymbol{△DEC}$均为等边三角形；②$AD=BE$，证明成立；③$\boldsymbol{∠AEB=60°}$；
(2)①$\boldsymbol{∠AEB=90°}$；②$\boldsymbol{AF=4}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何探究类综合题，按照由特殊到一般的逻辑设置问题，解题核心是熟练掌握全等三角形的判定方法，能结合特殊三角形的性质推导边、角的等量关系，对几何逻辑推理能力有一定要求，是三角形章节的典型高频考题。
【难度系数】
0.6
23. (11分)如图20,△ABC是边长为10 cm的等边三角形,动点P从点B出发以3 cm/s的速度沿着B→A→C→B向终点B运动,同时动点Q从点C出发以2 cm/s的速度沿着C→B→A→C向终点C运动,运动时间为t s.
(1)当点P在AB边上运动时,BP=,BQ=.
(2)当PQ//AC时,求t的值.
(1)当点P在AB边上运动时,BP=,BQ=.
(2)当PQ//AC时,求t的值.
答案
解：
(1) 点P以3 cm/s的速度在AB边上运动，因此$BP=3t\ \mathrm{cm}$；
点Q从C出发沿C→B运动，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，又$BC=10\ \mathrm{cm}$，因此$BQ=(10-2t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况求解：
① 当点P在AB边上、点Q在BC边上时，$0＜t＜\frac{10}{3}$：
$\because PQ// AC$，$△ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BPQ=∠ A=60°$，$∠ BQP=∠ C=60°$，
又$\because ∠ B=60°$，
$\therefore △ BPQ$是等边三角形，
$\therefore BP=BQ$，
即$3t=10-2t$，
解得$t=2$，符合取值范围。
② 当点P在BC边上、点Q在AB边上时，$\frac{20}{3}＜t≤10$：
点P运动总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，$BA+AC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PC=3t-20$，$BP=BC-PC=10-(3t-20)=30-3t$。
点Q运动总路程为$2t\ \mathrm{cm}$，$CB=10\ \mathrm{cm}$，Q从B向A运动的路程为$2t-10$，即$BQ=2t-10$。
同理可证$△ BPQ$是等边三角形，
$\therefore BQ=BP$，
即$2t-10=30-3t$，
解得$t=8$，符合取值范围。
综上，$t$的值为$2$或$8$。
(1) 点P以3 cm/s的速度在AB边上运动，因此$BP=3t\ \mathrm{cm}$；
点Q从C出发沿C→B运动，$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，又$BC=10\ \mathrm{cm}$，因此$BQ=(10-2t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况求解：
① 当点P在AB边上、点Q在BC边上时，$0＜t＜\frac{10}{3}$：
$\because PQ// AC$，$△ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BPQ=∠ A=60°$，$∠ BQP=∠ C=60°$，
又$\because ∠ B=60°$，
$\therefore △ BPQ$是等边三角形，
$\therefore BP=BQ$，
即$3t=10-2t$，
解得$t=2$，符合取值范围。
② 当点P在BC边上、点Q在AB边上时，$\frac{20}{3}＜t≤10$：
点P运动总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，$BA+AC=20\ \mathrm{cm}$，
$\therefore PC=3t-20$，$BP=BC-PC=10-(3t-20)=30-3t$。
点Q运动总路程为$2t\ \mathrm{cm}$，$CB=10\ \mathrm{cm}$，Q从B向A运动的路程为$2t-10$，即$BQ=2t-10$。
同理可证$△ BPQ$是等边三角形，
$\therefore BQ=BP$，
即$2t-10=30-3t$，
解得$t=8$，符合取值范围。
综上，$t$的值为$2$或$8$。
解析
【分析】
(1) 当点P在AB边上运动时，根据“路程=速度×时间”可直接写出BP的长度；点Q从C出发沿C→B运动，BQ的长度等于BC边长减去Q走过的路程CQ，代入数据即可得结果。
(2) 若PQ//AC，结合△ABC是等边三角形，可推出△BPQ是等边三角形，得到等量关系BP=BQ。由于P、Q是动点，需分两种情况讨论：①点P在AB边上、点Q在BC边上；②点P在BC边上、点Q在AB边上。分别表示出两种情况下BP和BQ的长度，列方程求解，再验证解是否符合对应阶段的时间取值范围即可。
【解析】
(1) 点P的运动速度为3 cm/s，运动时间为t s，因此当P在AB边上时，$BP=3t\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动速度为2 cm/s，运动时间为t s，因此Q走过的路程$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，又BC边长为10 cm，因此$BQ=BC-CQ=(10-2t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况求解：
① 当点P在AB边上、点Q在BC边上时，时间t的取值范围为$0＜t＜\frac{10}{3}$：
$\because PQ// AC$，$△ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BPQ=∠ A=60°$，$∠ BQP=∠ C=60°$，
又$\because ∠ B=60°$，
$\therefore △ BPQ$是等边三角形，
$\therefore BP=BQ$，
代入表达式得：$3t=10-2t$，
解得$t=2$，符合$0＜t＜\frac{10}{3}$的取值范围。
② 当点P在BC边上、点Q在AB边上时，时间t的取值范围为$\frac{20}{3}＜t≤10$：
点P运动总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，$BA+AC=20\ \mathrm{cm}$，因此P从C点向B点走的路程为$3t-20$，则$BP=BC-(3t-20)=10-3t+20=30-3t$；
点Q运动总路程为$2t\ \mathrm{cm}$，$CB=10\ \mathrm{cm}$，因此Q从B点向A点走的路程为$2t-10$，即$BQ=2t-10$。
同理可证$△ BPQ$是等边三角形，因此$BQ=BP$，
代入表达式得：$2t-10=30-3t$，
解得$t=8$，符合$\frac{20}{3}＜t≤10$的取值范围。
综上，$t$的值为2或8。
【答案】
(1) $3t\ \mathrm{cm}$；$(10-2t)\ \mathrm{cm}$
(2) $t=2$或$t=8$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的性质；动点分类讨论
【点评】
本题是动态几何的常考题型，结合了等边三角形和平行线的性质，解题关键是根据动点的不同运动阶段分类讨论，建立等量关系列方程求解，同时要注意验证结果是否符合对应阶段的时间范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1) 当点P在AB边上运动时，根据“路程=速度×时间”可直接写出BP的长度；点Q从C出发沿C→B运动，BQ的长度等于BC边长减去Q走过的路程CQ，代入数据即可得结果。
(2) 若PQ//AC，结合△ABC是等边三角形，可推出△BPQ是等边三角形，得到等量关系BP=BQ。由于P、Q是动点，需分两种情况讨论：①点P在AB边上、点Q在BC边上；②点P在BC边上、点Q在AB边上。分别表示出两种情况下BP和BQ的长度，列方程求解，再验证解是否符合对应阶段的时间取值范围即可。
【解析】
(1) 点P的运动速度为3 cm/s，运动时间为t s，因此当P在AB边上时，$BP=3t\ \mathrm{cm}$；
点Q的运动速度为2 cm/s，运动时间为t s，因此Q走过的路程$CQ=2t\ \mathrm{cm}$，又BC边长为10 cm，因此$BQ=BC-CQ=(10-2t)\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况求解：
① 当点P在AB边上、点Q在BC边上时，时间t的取值范围为$0＜t＜\frac{10}{3}$：
$\because PQ// AC$，$△ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BPQ=∠ A=60°$，$∠ BQP=∠ C=60°$，
又$\because ∠ B=60°$，
$\therefore △ BPQ$是等边三角形，
$\therefore BP=BQ$，
代入表达式得：$3t=10-2t$，
解得$t=2$，符合$0＜t＜\frac{10}{3}$的取值范围。
② 当点P在BC边上、点Q在AB边上时，时间t的取值范围为$\frac{20}{3}＜t≤10$：
点P运动总路程为$3t\ \mathrm{cm}$，$BA+AC=20\ \mathrm{cm}$，因此P从C点向B点走的路程为$3t-20$，则$BP=BC-(3t-20)=10-3t+20=30-3t$；
点Q运动总路程为$2t\ \mathrm{cm}$，$CB=10\ \mathrm{cm}$，因此Q从B点向A点走的路程为$2t-10$，即$BQ=2t-10$。
同理可证$△ BPQ$是等边三角形，因此$BQ=BP$，
代入表达式得：$2t-10=30-3t$，
解得$t=8$，符合$\frac{20}{3}＜t≤10$的取值范围。
综上，$t$的值为2或8。
【答案】
(1) $3t\ \mathrm{cm}$；$(10-2t)\ \mathrm{cm}$
(2) $t=2$或$t=8$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；平行线的性质；动点分类讨论
【点评】
本题是动态几何的常考题型，结合了等边三角形和平行线的性质，解题关键是根据动点的不同运动阶段分类讨论，建立等量关系列方程求解，同时要注意验证结果是否符合对应阶段的时间范围，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
