19.(9分)如图15,王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A、B分别与木墙的顶端重合.
(1)求证:$△ ADC≌△ CEB$;
(2)求两堵木墙之间的距离.

(1) 证明：
由题意可知，$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ DAC = 90°$。
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ CEB \\∠ DAC = ∠ ECB \\AC = CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$。
---
(2) 解：
由题意得，左侧木墙共3块小木块，右侧木墙共7块小木块，
$\therefore AD = 2×3 = 6\ \mathrm{cm}$，$BE = 2×7 = 14\ \mathrm{cm}$。
由(1)的全等结论可知：$CE = AD = 6\ \mathrm{cm}$，$DC = BE = 14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE = DC + CE = 14 + 6 = 20\ \mathrm{cm}$。
答：两堵木墙之间的距离为$\boldsymbol{20\ \mathrm{cm}}$。

【分析】
(1) 要证明△ADC≌△CEB，首先根据木墙与地面垂直的特征，可得∠ADC=∠CEB=90°；再结合∠ACB=90°，可推出∠ACD与∠DAC互余、∠ACD与∠BCE互余，根据同角的余角相等得到∠DAC=∠ECB，最后结合已知AC=BC，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2) 首先根据每块小木块的高度和两堵墙的木块数量，分别求出AD、BE的长度；再利用(1)中全等三角形的对应边相等，得到CE=AD、DC=BE，两堵木墙之间的距离为DE的长度，即DC与CE的和，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
由题意可知，$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADC = ∠ CEB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ DAC = 90°$。
$\because ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 180° - ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ ECB$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC = ∠ CEB \\∠ DAC = ∠ ECB \\AC = CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$。
(2) 解：
由题意得，左侧木墙共3块小木块，右侧木墙共7块小木块，
$\therefore AD = 2×3 = 6\ \mathrm{cm}$，$BE = 2×7 = 14\ \mathrm{cm}$。
由(1)的全等结论可知：$CE = AD = 6\ \mathrm{cm}$，$DC = BE = 14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE = DC + CE = 14 + 6 = 20\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) △ADC≌△CEB得证；
(2) $\boldsymbol{20\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际生活场景命题，侧重考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题的核心是利用直角的互余关系推导相等的角，从而完成全等证明，再借助全等对应边相等的性质求解线段长度，是几何基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7

20.(9分)在学习等腰三角形时,我们知道,等腰三角形的一边的长度和一个角的大小确定了,这个等腰三角形的形状、大小就确定了.对等腰三角形继续研究,提出以下两个命题:
(1)命题1:等腰三角形底边及底边上的高的长度确定了,这个等腰三角形的形状、大小就确定了.可知该命题为真命题.求作等腰三角形,其中底边的长为$a$,底边上的高的长为$b$,如图16.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

(2)命题2:等腰三角形一腰及腰上的高的长度确定了,这个等腰三角形的形状、大小就确定了.请判断该命题是否正确,若正确,请说明理由;若不正确,请作出所有可能的等腰三角形,其中腰的长为$m$,腰上高的长为$n$,如图17.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

解：
(1) 所作等腰三角形如下：
作长度为$a$的线段作为底边，作出该底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取到底边距离为$b$的点作为等腰三角形的顶点，连接底边两端点，得到的三角形即为所求等腰三角形，保留所有尺规作图的圆弧痕迹。
(2) 该命题不正确。
理由：当等腰三角形腰长为$m$，腰上的高为$n$时，可得到两类完全不同的等腰三角形：
第一类是顶角为锐角的等腰三角形，腰上的高落在三角形内部；
第二类是顶角为钝角的等腰三角形，腰上的高落在三角形外部；
这两个等腰三角形的内角、边长均不对应相等，形状和大小都不相同，因此仅确定一腰及腰上的高的长度，无法唯一确定等腰三角形的形状、大小。
按尺规要求作出上述两个符合条件的等腰三角形，保留全部作图痕迹即可。

【分析】
（1）第一问作图可借助等腰三角形“三线合一”的性质思考：等腰三角形底边上的高所在直线就是底边的垂直平分线，因此顶点必然在底边的垂直平分线上，且顶点到底边的距离等于给定的高的长度b，按此思路即可完成作图。
（2）第二问判断命题真假时，需考虑三角形高的位置特征：锐角三角形的高都在内部，钝角三角形有2条高在外部。因此等腰三角形腰上的高既可能落在三角形内部（顶角为锐角），也可能落在三角形外部（顶角为钝角），两种情况得到的三角形形状大小均不同，因此该命题为假命题，再分别作出两类符合要求的三角形即可。
【解析】
(1) 作图逻辑：
① 作长度为a的线段AB作为底边；
② 作AB的垂直平分线，交点为底边中点；
③ 在垂直平分线上截取到底边距离为b的点作为顶点，连接顶点与底边两个端点，得到的三角形即为所求，保留所有尺规作图痕迹即可。
(2) 命题判断与作图逻辑：
首先判断命题为假命题。理由：腰长为m、腰上高为n的等腰三角形存在两类：第一类是顶角为锐角的等腰三角形，腰上的高落在三角形内部；第二类是顶角为钝角的等腰三角形，腰上的高落在三角形外部，两类三角形的内角、边长均不对应相等，形状大小均不同，因此无法唯一确定等腰三角形的形状和大小。按尺规要求作出上述两类等腰三角形，保留全部作图痕迹即可。
【答案】
(1) 所作等腰三角形如下：作长度为$a$的线段作为底边，作出该底边的垂直平分线，在垂直平分线上截取到底边距离为$b$的点作为等腰三角形的顶点，连接底边两端点，得到的三角形即为所求等腰三角形，保留所有尺规作图的圆弧痕迹。
(2) 该命题不正确。理由：当等腰三角形腰长为$m$，腰上的高为$n$时，可得到两类完全不同的等腰三角形：第一类是顶角为锐角的等腰三角形，腰上的高落在三角形内部；第二类是顶角为钝角的等腰三角形，腰上的高落在三角形外部；这两个等腰三角形的内角、边长均不对应相等，形状和大小都不相同，因此仅确定一腰及腰上的高的长度，无法唯一确定等腰三角形的形状、大小。按尺规要求作出上述两个符合条件的等腰三角形，保留全部作图痕迹即可。
【知识点】
等腰三角形的性质；尺规作图；真假命题判断
【点评】
本题围绕等腰三角形的确定性展开，既考查了尺规作图的基本操作，也考查了分类讨论的数学思想，易错点是忽略等腰三角形腰上的高可能在外部的情况，需要对三角形高的定义和等腰三角形的性质有全面的理解。
【难度系数】
0.6

21. (10分)如图18,△ABC是等边三角形,D是直线BC上一点,以AD为一边向右侧作等边△ADE.
(1)如图18①,点D在线段BC上移动时,求证:∠BAD=∠CAE.
(2)如图18②,点D在线段BC的延长线上移动时,猜想∠DCE的大小是否发生变化.若不变,请求出其大小;若变化,请说明理由.

22. (10分)已知△ABC中,AC=BC,△DEC中,DC=EC,∠ACB=

(1) 证明：
∵ $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等边三角形，
∴ $∠ BAC = ∠ DAE = 60°$，
∴ $∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
---
(2) 解：
$∠ DCE$ 的大小不发生变化，$∠ DCE = 60°$，理由如下：
∵ $△ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等边三角形，
∴ $AB = AC$，$AD = AE$，$∠ BAC = ∠ DAE = 60°$，$∠ B = ∠ ACB = 60°$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAD = ∠ DAE + ∠ CAD$，
即 $∠ BAD = ∠ CAE$。
在 $△ BAD$ 和 $△ CAE$ 中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAD = ∠ CAE \\AD = AE\end{cases}$
∴ $△ BAD ≌ △ CAE \ (\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ ACE = ∠ B = 60°$。
∵ 点 $B,C,D$ 在同一直线上，$∠ BCD = 180°$，
∴ $∠ DCE = 180° - ∠ ACB - ∠ ACE = 180° - 60° - 60° = 60°$。

【分析】
(1) 要证明∠BAD=∠CAE，首先利用等边三角形内角均为60°的性质，可得∠BAC和∠DAE都等于60°，两个角同时减去公共部分∠DAC，即可得到待证的两个角相等。
(2) 要判断∠DCE的大小是否变化，先借助等边三角形边相等、内角为60°的性质推导∠BAD=∠CAE，再通过SAS判定△BAD和△CAE全等，得到∠ACE=∠B=60°，最后结合平角为180°，计算∠DCE的度数即可判断其是否变化。
【解析】
(1) 证明：
∵ △ABC和△ADE是等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠DAE = 60°，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
即 ∠BAD = ∠CAE。
(2) 解：∠DCE的大小不发生变化，∠DCE=60°，理由如下：
∵ △ABC和△ADE是等边三角形，
∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠B=∠ACB=60°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAD = ∠ CAE \\AD = AE\end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS），
∴ ∠ACE = ∠B = 60°。
∵ 点B,C,D在同一直线上，∠BCD=180°，
∴ ∠DCE = 180° - ∠ACB - ∠ACE = 180° - 60° - 60° = 60°。
【答案】
(1) ∠BAD=∠CAE，证明成立；
(2) ∠DCE大小不变，为$\boldsymbol{60°}$。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平角的定义
【点评】
本题是三角形章节的典型综合题，核心考查等边三角形边角性质及“手拉手”全等模型的应用，解题关键是结合图形分析角的和差关系，找到全等三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7