三、解答题(共75分)
16.(8分)(2024·云南)如图12,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.

证明：
∵ ∠BAE = ∠CAD，
∴ ∠BAE + ∠CAE = ∠CAD + ∠CAE，
即 ∠BAC = ∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB = AE,\\∠BAC = ∠EAD,\\AC = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。

【分析】
要证明△ABC≌△AED，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等AB=AE、AC=AD，若用SAS判定定理证明全等，还需证明两组边的夹角相等，即∠BAC=∠EAD。已知∠BAE=∠CAD，观察角的组成可知，两个等角同时加上公共角∠CAE，根据等式的性质，所得的和仍相等，即可得到∠BAC=∠EAD，凑齐SAS的三个判定条件即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAE = ∠CAD，
∴ ∠BAE + ∠CAE = ∠CAD + ∠CAE，
即 ∠BAC = ∠EAD。
在△ABC和△AED中，
$\{\begin{array}{l}AB = AE,\\∠BAC = ∠EAD,\\AC = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △AED（SAS）。
【答案】
△ABC≌△AED
【知识点】
全等三角形SAS判定，角的和差计算，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常考题，解题核心是通过等角加公共角推导得到对应夹角相等，再结合已知的边相等条件用SAS判定全等，解题时需要注意全等证明的书写格式要规范。
【难度系数】
0.8

17. (9分)(2024·长沙)如图13,点C在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.

(1) 证明：
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD \\∠ B = ∠ D \\BC = DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE \ (\mathrm{SAS})$
---
(2) 解：
$\because △ ABC ≌ △ ADE$，
$\therefore AC = AE$，$∠ DAE = ∠ BAC = 60°$，即$∠ CAE = 60°$。
$\therefore △ ACE$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，
$\therefore △ ACE$为等边三角形，
$\therefore ∠ ACE = 60°$。
答：$∠ ACE$的度数为$60°$。

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：题目给出AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，正好满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，可采用SAS定理完成证明。
(2) 求∠ACE的度数，首先利用第一问的全等结论，得到对应边AC=AE、对应角∠DAE=∠BAC=60°，由此可知△ACE是有一个内角为60°的等腰三角形，根据等边三角形的判定可确定△ACE是等边三角形，进而得到∠ACE的度数。
【解析】
(1) 证明：
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}AB = AD \\∠ B = ∠ D \\BC = DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ ADE \ (\mathrm{SAS})$
(2) 解：
$\because △ ABC ≌ △ ADE$，
$\therefore AC = AE$，$∠ DAE = ∠ BAC = 60°$，即$∠ CAE = 60°$。
$\therefore △ ACE$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，
$\therefore △ ACE$为等边三角形，
$\therefore ∠ ACE = 60°$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{60°}$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形全等与等边三角形的基础综合题，解题关键是先利用已知条件证明三角形全等，再结合全等性质推导等边三角形，整体逻辑链条清晰，侧重对基础定理的应用考察。
【难度系数】
0.8

18.(9分)(2024·自贡)如图14,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$∠ EDF=∠ C$.
(1)求证:$∠ BDF=∠ A$;
(2)若$∠ A=45°$,$DF$平分$∠ BDE$,请直接写出$△ ABC$的形状.

证明：(1)
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ AED = ∠ C$。
又∵ $∠ EDF = ∠ C$，
∴ $∠ EDF = ∠ AED$，
∴ $DF// AC$，
∴ $∠ BDF = ∠ A$。
(2) $△ ABC$是等腰直角三角形。

【分析】
（1）要证明∠BDF=∠A，可通过证明DF平行于AC，利用平行线同位角相等的性质推导。首先由DE//BC的性质得到∠AED和∠C相等，结合已知∠EDF=∠C等量代换得到∠EDF=∠AED，由此判定DF//AC，最后由平行线的同位角相等即可得证。
（2）结合（1）的结论先得到∠BDF=45°，再根据角平分线的定义求出∠BDE的度数，利用DE//BC的同旁内角互补性质求出∠B的度数，结合三角形内角和求出∠C的度数，即可判断三角形形状。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE// BC$，
∴ $∠ AED = ∠ C$（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ $∠ EDF=∠ C$，
∴ $∠ EDF = ∠ AED$（等量代换），
∴ $DF// AC$（内错角相等，两直线平行），
∴ $∠ BDF = ∠ A$（两直线平行，同位角相等）。
(2) 解：由(1)得$∠BDF=∠A=45°$，
∵ $DF$平分$∠ BDE$，
∴ $∠BDE=2∠BDF=90°$，
∵ $DE// BC$，
∴ $∠B + ∠BDE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
解得$∠B=90°$，
在$△ ABC$中，$∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-90°=45°$，
即$∠A=∠C$且$∠B=90°$，故$△ ABC$为等腰直角三角形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 等腰直角三角形
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定
【点评】
本题是几何基础类题目，重点考查平行线相关定理的综合运用，解题核心是通过角的等量代换完成直线平行的判定，再结合平行线性质推导角的关系，逻辑链条清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.7