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1. 如图1,用直尺和圆规作已知角的平分线,则说明OC为∠AOB的平分线的依据是 ()
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
A
解析
【分析】
要判断OC为角平分线的依据，首先回忆尺规作角平分线的步骤得到的相等线段：作图时以O为圆心画弧可得OM=ON，再分别以M、N为圆心画弧可得MC=NC，OC是△OMC和△ONC的公共边，因此可通过三边对应相等证明两个三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到OC平分∠AOB，匹配全等判定定理即可选出答案。
【解析】
根据尺规作角平分线的过程可知：
$OM=ON$，$MC=NC$，
又
∵$OC=OC$（公共边），
∴$△ OMC ≌ △ ONC$（SSS），
∴$∠ AOC = ∠ BOC$，即$OC$为$∠ AOB$的平分线，
因此判定依据是SSS，故选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作角平分线的原理，解题关键是明确作图过程中得到的相等线段，结合全等三角形判定定理分析即可，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.9
要判断OC为角平分线的依据，首先回忆尺规作角平分线的步骤得到的相等线段：作图时以O为圆心画弧可得OM=ON，再分别以M、N为圆心画弧可得MC=NC，OC是△OMC和△ONC的公共边，因此可通过三边对应相等证明两个三角形全等，再由全等三角形对应角相等得到OC平分∠AOB，匹配全等判定定理即可选出答案。
【解析】
根据尺规作角平分线的过程可知：
$OM=ON$，$MC=NC$，
又
∵$OC=OC$（公共边），
∴$△ OMC ≌ △ ONC$（SSS），
∴$∠ AOC = ∠ BOC$，即$OC$为$∠ AOB$的平分线，
因此判定依据是SSS，故选A。
【答案】
A
【知识点】
尺规作角平分线、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作角平分线的原理，解题关键是明确作图过程中得到的相等线段，结合全等三角形判定定理分析即可，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.9
2. 在联欢会上,有三名选手站在一个三角形的A、B、C三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜. 为使游戏公平,凳子应放的最适当的位置是在$△ ABC$的
（）
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中垂线的交点
D.三边上高的交点
（）
A.三边中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中垂线的交点
D.三边上高的交点
答案
C
解析
【分析】
要保证游戏公平，需满足凳子到三名选手所在的A、B、C三个顶点的距离相等，接下来结合三角形各特殊交点的性质逐一判断：首先回忆线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此到三角形两个顶点距离相等的点在对应边的垂直平分线上，那么到三个顶点都相等的点就是三条边垂直平分线的交点，再对照各选项的交点性质就能得出答案。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等，我们对各选项逐一分析：
1. 选项A：三边中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
2. 选项B：三条角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
3. 选项C：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边中垂线的交点到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合游戏公平的要求；
4. 选项D：三边上高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形外心的性质
3. 游戏公平的判定
【点评】
这道题将生活游戏和几何知识结合，解题的核心是把“游戏公平”转化为“凳子到三个顶点距离相等”的数学条件，再结合三角形特殊交点的性质判断即可，属于几何知识在实际生活中的基础应用题目。
【难度系数】
0.8
要保证游戏公平，需满足凳子到三名选手所在的A、B、C三个顶点的距离相等，接下来结合三角形各特殊交点的性质逐一判断：首先回忆线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此到三角形两个顶点距离相等的点在对应边的垂直平分线上，那么到三个顶点都相等的点就是三条边垂直平分线的交点，再对照各选项的交点性质就能得出答案。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等，我们对各选项逐一分析：
1. 选项A：三边中线的交点是三角形的重心，性质是重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
2. 选项B：三条角平分线的交点是三角形的内心，性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
3. 选项C：根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三边中垂线的交点到A、B、C三个顶点的距离都相等，符合游戏公平的要求；
4. 选项D：三边上高的交点是三角形的垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形外心的性质
3. 游戏公平的判定
【点评】
这道题将生活游戏和几何知识结合，解题的核心是把“游戏公平”转化为“凳子到三个顶点距离相等”的数学条件，再结合三角形特殊交点的性质判断即可，属于几何知识在实际生活中的基础应用题目。
【难度系数】
0.8
3. 下列命题中真命题的个数是 ()
①三边对应相等的两个三角形全等；
②两边对应相等且一个角对应相等的两个三角形全等；
③两边对应相等的两个直角三角形全等；
④一边对应相等的两个等边三角形全等.
A.1
B.2
C.3
D.4
①三边对应相等的两个三角形全等；
②两边对应相等且一个角对应相等的两个三角形全等；
③两边对应相等的两个直角三角形全等；
④一边对应相等的两个等边三角形全等.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要判断真命题的个数，需结合三角形全等的判定定理，对4个命题逐一分析验证：符合全等判定定理的为真命题，不符合的可通过举反例判定为假命题，最后统计真命题的数量即可。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
① 三边对应相等的两个三角形全等，符合全等判定的“SSS（边边边）”定理，是真命题；
② 两边对应相等且一个角对应相等的两个三角形，若这个角不是两边的夹角，属于“SSA”的情况，无法判定全等，比如存在一个锐角三角形和一个钝角三角形满足两边及其中一边的对角相等，但两个三角形明显不全等，故是假命题；
③ 两边对应相等的两个直角三角形，若其中一个三角形的直角边对应另一个三角形的斜边，即使两边数值相等，也无法判定全等，例如：第一个直角三角形直角边为3和4，第二个直角三角形直角边为3、斜边为4，两组边数值均为3和4，但两个三角形不全等，故是假命题；
④ 等边三角形三条边长度相等，若两个等边三角形有一边对应相等，则两个三角形的三边都对应相等，符合“SSS”全等判定，是真命题。
综上，真命题为①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定；命题与定理；等边三角形的性质
【点评】
本题重点考查对三角形全等判定规则的细节理解，解题时要格外注意判定定理中“对应相等”的限定条件，不要忽略特殊情况，例如“SSA”不能判定普通三角形全等，直角三角形的两边相等也需要确认边的类型是否对应。
【难度系数】
0.7
要判断真命题的个数，需结合三角形全等的判定定理，对4个命题逐一分析验证：符合全等判定定理的为真命题，不符合的可通过举反例判定为假命题，最后统计真命题的数量即可。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
① 三边对应相等的两个三角形全等，符合全等判定的“SSS（边边边）”定理，是真命题；
② 两边对应相等且一个角对应相等的两个三角形，若这个角不是两边的夹角，属于“SSA”的情况，无法判定全等，比如存在一个锐角三角形和一个钝角三角形满足两边及其中一边的对角相等，但两个三角形明显不全等，故是假命题；
③ 两边对应相等的两个直角三角形，若其中一个三角形的直角边对应另一个三角形的斜边，即使两边数值相等，也无法判定全等，例如：第一个直角三角形直角边为3和4，第二个直角三角形直角边为3、斜边为4，两组边数值均为3和4，但两个三角形不全等，故是假命题；
④ 等边三角形三条边长度相等，若两个等边三角形有一边对应相等，则两个三角形的三边都对应相等，符合“SSS”全等判定，是真命题。
综上，真命题为①④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定；命题与定理；等边三角形的性质
【点评】
本题重点考查对三角形全等判定规则的细节理解，解题时要格外注意判定定理中“对应相等”的限定条件，不要忽略特殊情况，例如“SSA”不能判定普通三角形全等，直角三角形的两边相等也需要确认边的类型是否对应。
【难度系数】
0.7
4. (2026·南充)如图2,等边三角形ABC的顶点B、C分别在直线a、b上,且$a// b$,若$∠α=40°$,则$∠β$大小为 ()
A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
A.$95°$
B.$100°$
C.$105°$
D.$110°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，两直线平行时内错角相等，平角为180°。首先根据等边三角形的性质求出∠ABC的度数，再计算直线a与BC的夹角，接着利用平行线的性质得到直线b与BC的夹角，最后结合平角的定义就能算出∠β的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠α=40°
∴直线a与BC的夹角为：$∠ ABC - ∠ α = 60° - 40° = 20°$
∵$a// b$，根据两直线平行，内错角相等
∴直线b与BC的夹角也为$20°$
∵点C在直线b上，b为直线，平角为$180°$
∴$20° + ∠ ACB + ∠ β = 180°$
代入$∠ ACB=60°$，解得：
$∠ β = 180° - 20° - 60° = 100°$
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考查平行线和等边三角形性质的结合运用，只要找准平行线截线形成的相等角，结合平角特征就能顺利求解，是几何部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，两直线平行时内错角相等，平角为180°。首先根据等边三角形的性质求出∠ABC的度数，再计算直线a与BC的夹角，接着利用平行线的性质得到直线b与BC的夹角，最后结合平角的定义就能算出∠β的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵∠α=40°
∴直线a与BC的夹角为：$∠ ABC - ∠ α = 60° - 40° = 20°$
∵$a// b$，根据两直线平行，内错角相等
∴直线b与BC的夹角也为$20°$
∵点C在直线b上，b为直线，平角为$180°$
∴$20° + ∠ ACB + ∠ β = 180°$
代入$∠ ACB=60°$，解得：
$∠ β = 180° - 20° - 60° = 100°$
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考查平行线和等边三角形性质的结合运用，只要找准平行线截线形成的相等角，结合平角特征就能顺利求解，是几何部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
5. 已知等腰三角形的一个内角为$40°$,则这个等腰三角形的顶角为 ()
A.$40°$
B.$100°$
C.$40°$或$100°$
D.$70°$或$50°$
A.$40°$
B.$100°$
C.$40°$或$100°$
D.$70°$或$50°$
答案
C
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明一个内角为40°，没有明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算对应情况下的顶角度数，再验证结果是否符合三角形内角和规则，最终确定所有符合要求的答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若40°的内角是等腰三角形的顶角：此时顶角就是40°，满足三角形内角和要求；
2. 若40°的内角是等腰三角形的底角：因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也为40°，根据三角形内角和为180°，可得顶角度数为$180° - 40° × 2 = 100°$，该结果也符合三角形内角和要求。
综上，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用和分类讨论的数学思想，易错点是忽略已知角未明确类型的前提，仅考虑其中一种情况导致漏解，遇到未明确说明角是顶角还是底角的等腰三角形问题时，一定要分情况讨论并验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明一个内角为40°，没有明确这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算对应情况下的顶角度数，再验证结果是否符合三角形内角和规则，最终确定所有符合要求的答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 若40°的内角是等腰三角形的顶角：此时顶角就是40°，满足三角形内角和要求；
2. 若40°的内角是等腰三角形的底角：因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也为40°，根据三角形内角和为180°，可得顶角度数为$180° - 40° × 2 = 100°$，该结果也符合三角形内角和要求。
综上，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用和分类讨论的数学思想，易错点是忽略已知角未明确类型的前提，仅考虑其中一种情况导致漏解，遇到未明确说明角是顶角还是底角的等腰三角形问题时，一定要分情况讨论并验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
