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6. 如图 3,AD 是等边$△ ABC$的中线,$AE = AD$,则$∠ EDC$的度数为 ()
A.$30°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$15°$
A.$30°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$15°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形“三线合一”的性质，由AD是中线得到AD垂直BC，且AD平分顶角∠BAC，算出∠ADC和∠DAC的度数；再结合AE=AD的条件，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理算出∠ADE的度数；最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∵AD是等边△ABC的中线
∴AD⊥BC，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°（等边三角形三线合一）
∴∠ADC=90°
∵AE=AD
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED
在△ADE中，根据三角形内角和为180°：
∠ADE=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°
【答案】
D
【知识点】
等边三角形性质；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一和等腰三角形等边对等角的性质，通过角度的和差运算得到结果，是几何角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.75
解题时先利用等边三角形“三线合一”的性质，由AD是中线得到AD垂直BC，且AD平分顶角∠BAC，算出∠ADC和∠DAC的度数；再结合AE=AD的条件，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理算出∠ADE的度数；最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°
∵AD是等边△ABC的中线
∴AD⊥BC，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°（等边三角形三线合一）
∴∠ADC=90°
∵AE=AD
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED
在△ADE中，根据三角形内角和为180°：
∠ADE=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°
【答案】
D
【知识点】
等边三角形性质；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一和等腰三角形等边对等角的性质，通过角度的和差运算得到结果，是几何角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.75
7. 如图4,在$△ ABC$中,已知$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的平分线相交于点F,过点F作$DE// BC$,交AB于点D,交AC于点E.若$AB=9$,$AC=7$,则$△ ADE$的周长为 ()
A.13
B.14
C.15
D.16
A.13
B.14
C.15
D.16
答案
D
解析
【分析】
解题时先结合已知的角平分线和平行线两个条件，推导得到等腰三角形，实现线段的等量替换是关键。第一步：根据角平分线定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，推导得到等角，利用等角对等边得到BD=DF、EF=EC；第二步：将△ADE的周长拆解为AD+DE+AE，把DE拆为DF+EF后，用已经得到的相等线段替换，即可将周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=DF（等角对等边），
同理可得：EF=EC，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE，且DE=DF+EF，
∴周长=AD+DF+EF+AE，
将DF=BD、EF=EC代入得：
周长=AD+BD+EC+AE=(AD+BD)+(AE+EC)=AB+AC，
∵AB=9，AC=7，
∴△ADE的周长=9+7=16。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形结合的典型模型题，解题核心是通过等角对等边实现线段的转化，将未知三角形的周长转化为已知边长的和，这类模型在几何线段计算类题目中出现频率较高，熟练掌握可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的角平分线和平行线两个条件，推导得到等腰三角形，实现线段的等量替换是关键。第一步：根据角平分线定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等，推导得到等角，利用等角对等边得到BD=DF、EF=EC；第二步：将△ADE的周长拆解为AD+DE+AE，把DE拆为DF+EF后，用已经得到的相等线段替换，即可将周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=DF（等角对等边），
同理可得：EF=EC，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE，且DE=DF+EF，
∴周长=AD+DF+EF+AE，
将DF=BD、EF=EC代入得：
周长=AD+BD+EC+AE=(AD+BD)+(AE+EC)=AB+AC，
∵AB=9，AC=7，
∴△ADE的周长=9+7=16。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线、平行线与等腰三角形结合的典型模型题，解题核心是通过等角对等边实现线段的转化，将未知三角形的周长转化为已知边长的和，这类模型在几何线段计算类题目中出现频率较高，熟练掌握可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
8. (2025·辽宁)如图5,在$△ ABC$中,$AB=16,BC=12,CA=10$,∠ABC的平分线BP与AC相交于点D.在线段AD上取一点K,以点C为圆心,CK长为半径作弧,与射线BP相交于点M和点N,再分别以点M和点N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧相交于点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连接DE.则$△ DAE$的周长为 ()
A.12
B.14
C.16
D.18
A.12
B.14
C.16
D.18
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确两个关键作图结论：①BP是∠ABC的角平分线；②第二步尺规作图的本质是作CE⊥BD（CE为射线CQ与AB的连线）。第一步，结合角平分线和垂直条件，通过全等三角形证明△BCE为等腰三角形，得到BE=BC，进而求出AE的长度；第二步，由全等可得BD垂直平分CE，根据垂直平分线的性质得DE=DC，将△DAE的周长转化为AD+DC+AE=AC+AE，代入已知线段长度即可计算结果。
【解析】
设BD与CE交于点O，由尺规作图的步骤可知：CE⊥BD，即∠BOC=∠BOE=90°。
∵BP平分∠ABC，
∴∠OBC=∠OBE。
在△BOC和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠OBC=∠OBE \\BO=BO \\∠BOC=∠BOE=90°\end{array} $
∴△BOC≌△BOE（ASA）
∴BC=BE=12，OC=OE，即BD是CE的垂直平分线。
∴AE=AB-BE=16-12=4。
∵点D在CE的垂直平分线BD上，
∴DE=DC。
∴△DAE的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=10+4=14。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图的识别，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图、三角形全等、线段垂直平分线性质结合考查，解题核心是利用转化思想将未知的DE转化为已知的DC，简化周长计算，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先明确两个关键作图结论：①BP是∠ABC的角平分线；②第二步尺规作图的本质是作CE⊥BD（CE为射线CQ与AB的连线）。第一步，结合角平分线和垂直条件，通过全等三角形证明△BCE为等腰三角形，得到BE=BC，进而求出AE的长度；第二步，由全等可得BD垂直平分CE，根据垂直平分线的性质得DE=DC，将△DAE的周长转化为AD+DC+AE=AC+AE，代入已知线段长度即可计算结果。
【解析】
设BD与CE交于点O，由尺规作图的步骤可知：CE⊥BD，即∠BOC=∠BOE=90°。
∵BP平分∠ABC，
∴∠OBC=∠OBE。
在△BOC和△BOE中：
$\{\begin{array}{l}∠OBC=∠OBE \\BO=BO \\∠BOC=∠BOE=90°\end{array} $
∴△BOC≌△BOE（ASA）
∴BC=BE=12，OC=OE，即BD是CE的垂直平分线。
∴AE=AB-BE=16-12=4。
∵点D在CE的垂直平分线BD上，
∴DE=DC。
∴△DAE的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=10+4=14。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图的识别，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图、三角形全等、线段垂直平分线性质结合考查，解题核心是利用转化思想将未知的DE转化为已知的DC，简化周长计算，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 写出命题“如果两个实数都是正数,那么它们的积是正数”的逆命题：.
9. 写出命题“如果两个实数都是正数,那么它们的积是正数”的逆命题：.
答案
解：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数。
解析
【分析】
要写出命题的逆命题，首先需要明确“如果……那么……”形式命题的结构：“如果”后面的内容是题设（已知条件），“那么”后面的内容是结论。逆命题的定义是将原命题的题设和结论互换位置，再整理为通顺的“如果……那么……”句式即可。本题先拆分原命题的题设是“两个实数都是正数”，结论是“它们的积是正数”，将二者互换就能得到逆命题。
【解析】
1. 拆分原命题的结构：原命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”中，题设为“两个实数都是正数”，结论为“它们的积是正数”。
2. 根据逆命题的定义，将题设和结论互换位置，调整语句通顺，得到逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数。
【答案】
如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数
【知识点】
逆命题的改写、命题的构成
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，解题核心是准确识别原命题的题设和结论，互换后注意语句表述通顺合理，属于常考的基础题型，掌握规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要写出命题的逆命题，首先需要明确“如果……那么……”形式命题的结构：“如果”后面的内容是题设（已知条件），“那么”后面的内容是结论。逆命题的定义是将原命题的题设和结论互换位置，再整理为通顺的“如果……那么……”句式即可。本题先拆分原命题的题设是“两个实数都是正数”，结论是“它们的积是正数”，将二者互换就能得到逆命题。
【解析】
1. 拆分原命题的结构：原命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”中，题设为“两个实数都是正数”，结论为“它们的积是正数”。
2. 根据逆命题的定义，将题设和结论互换位置，调整语句通顺，得到逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数。
【答案】
如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数
【知识点】
逆命题的改写、命题的构成
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，解题核心是准确识别原命题的题设和结论，互换后注意语句表述通顺合理，属于常考的基础题型，掌握规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
10.(2024·德州)如图6,C是AB的中点,CD=BE.请添加一个条件,使△ACD≌△CBE.
答案
解：
∵C是AB的中点，
∴$AC = CB$。
又∵$CD = BE$，
添加条件：$\boldsymbol{AD=CE}$，
在$△ ACD$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}AC = CB \\AD = CE \\CD = BE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ CBE$（SSS）。
注：本题答案不唯一，添加$∠ ACD=∠ B$等符合全等判定要求的条件也正确。
∵C是AB的中点，
∴$AC = CB$。
又∵$CD = BE$，
添加条件：$\boldsymbol{AD=CE}$，
在$△ ACD$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}AC = CB \\AD = CE \\CD = BE\end{cases}$
∴$△ ACD ≌ △ CBE$（SSS）。
注：本题答案不唯一，添加$∠ ACD=∠ B$等符合全等判定要求的条件也正确。
解析
【分析】
首先梳理已知条件：由C是AB的中点，根据线段中点的定义可推出$AC=CB$，题目还给出$CD=BE$，此时已经有两组对应边相等。要证明$△ ACD≌△ CBE$，可结合全等三角形的判定定理补充缺失条件：如果用SSS判定，只需补充第三组对应边相等即可；如果用SAS判定，只需补充两组已知边的夹角相等即可，补充的条件只要符合全等判定规则均正确。
【解析】
已知C是AB的中点，因此可得：
$\therefore AC=CB$
又已知$CD=BE$，以下举两种可行的添加条件示例：
示例1：添加条件$\boldsymbol{AD=CE}$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC = CB \\AD = CE \\CD = BE\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ CBE$（SSS）
示例2：添加条件$\boldsymbol{∠ACD=∠B}$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC = CB \\∠ACD=∠B \\CD = BE\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ CBE$（SAS）
注：本题答案不唯一，添加符合全等判定要求的条件均可。
【答案】
$AD=CE$（或$∠ACD=∠B$等，答案不唯一）
【知识点】
线段中点的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题属于开放性条件补充类习题，重点考查对全等三角形判定定理的灵活运用能力，解题时需要先整理已有的对应相等的边、角条件，再结合全等判定规则补充合适的条件，注意不能使用“SSA”这类不成立的判定方法。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：由C是AB的中点，根据线段中点的定义可推出$AC=CB$，题目还给出$CD=BE$，此时已经有两组对应边相等。要证明$△ ACD≌△ CBE$，可结合全等三角形的判定定理补充缺失条件：如果用SSS判定，只需补充第三组对应边相等即可；如果用SAS判定，只需补充两组已知边的夹角相等即可，补充的条件只要符合全等判定规则均正确。
【解析】
已知C是AB的中点，因此可得：
$\therefore AC=CB$
又已知$CD=BE$，以下举两种可行的添加条件示例：
示例1：添加条件$\boldsymbol{AD=CE}$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC = CB \\AD = CE \\CD = BE\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ CBE$（SSS）
示例2：添加条件$\boldsymbol{∠ACD=∠B}$
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AC = CB \\∠ACD=∠B \\CD = BE\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ CBE$（SAS）
注：本题答案不唯一，添加符合全等判定要求的条件均可。
【答案】
$AD=CE$（或$∠ACD=∠B$等，答案不唯一）
【知识点】
线段中点的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题属于开放性条件补充类习题，重点考查对全等三角形判定定理的灵活运用能力，解题时需要先整理已有的对应相等的边、角条件，再结合全等判定规则补充合适的条件，注意不能使用“SSA”这类不成立的判定方法。
【难度系数】
0.8
11. 如图7,在△ABC中,∠C=32°,∠B=40°,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E,则∠BAD的度数为。
答案
$\boldsymbol{76°}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知的垂直平分线条件，联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得AD=CD，进而推出∠DAC=∠C；再结合三角形内角和为180°，先计算出△ABC中∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠DAC的度数即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 32° = 108°
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴AD = CD
∴∠DAC = ∠C = 32°
∴∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 108° - 32° = 76°
【答案】
$\boldsymbol{76°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理完成角度推导，是几何角度计算类的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知的垂直平分线条件，联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得AD=CD，进而推出∠DAC=∠C；再结合三角形内角和为180°，先计算出△ABC中∠BAC的度数，最后用∠BAC减去∠DAC的度数即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 32° = 108°
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴AD = CD
∴∠DAC = ∠C = 32°
∴∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 108° - 32° = 76°
【答案】
$\boldsymbol{76°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和定理完成角度推导，是几何角度计算类的常见考法。
【难度系数】
0.7
