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图8,衣架杆$OA=OB=16\ \mathrm{cm}$,衣架收拢时,$∠ AOB=60°$,则此时$A$、$B$两点之间的距离是 cm.
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
首先从已知条件入手，已知OA=OB，可得出△AOB是等腰三角形，又给出等腰三角形的顶角∠AOB=60°，根据等边三角形的判定规则：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可判断△AOB是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，就能直接得到AB的长度和OA、OB相等。
【解析】
连接AB，
∵ OA=OB=16 cm，∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=16 cm。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题核心是结合已知条件识别出等边三角形，再利用等边三角形的性质求解边长，是对基础几何性质的直接考查，掌握相关判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件入手，已知OA=OB，可得出△AOB是等腰三角形，又给出等腰三角形的顶角∠AOB=60°，根据等边三角形的判定规则：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可判断△AOB是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，就能直接得到AB的长度和OA、OB相等。
【解析】
连接AB，
∵ OA=OB=16 cm，∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=16 cm。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题核心是结合已知条件识别出等边三角形，再利用等边三角形的性质求解边长，是对基础几何性质的直接考查，掌握相关判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 如图9,点A、C、B、D在同一条直线上,BE//DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=30°,∠A=80°,则∠DBE的度数为 .
答案
$\boldsymbol{110°}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用平行线的性质，由$BE// DF$得到同位角$∠ ABE=∠ D$；第二步，结合已知的$∠ A=∠ F$、$AB=FD$，用ASA判定定理证明$△ ABC≌△ FDC$，得到对应角$∠ D=∠ ABC$；第三步，根据对顶角相等，得出$∠ ACB=∠ FCD=30°$，再利用三角形内角和为$180°$，在$△ ABC$中算出$∠ ABC$的度数，也就得到了$∠ D$的度数；第四步，再次利用平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出$∠ DBE$的度数。
【解析】
1. 由$BE// DF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ABE=∠ D$；
2. 在$△ ABC$和$△ FDC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ F \quad (\mathrm{已知})\\AB=FD \quad (\mathrm{已知})\\∠ ABE=∠ D \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ FDC \quad (\mathrm{ASA})$
3. $\because$点A、C、B、D在同一直线上，$∠ FCD$与$∠ ACB$是对顶角，$\therefore ∠ ACB=∠ FCD=30°$；
4. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-30°=70°$；
5. 由$△ ABC≌△ FDC$，得对应角$∠ D=∠ ABC=70°$；
6. 由$BE// DF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ DBE+∠ D=180°$，代入$∠ D=70°$得：
$∠ DBE=180°-70°=110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行线性质、全等三角形判定与性质、三角形内角和三个知识点结合考查，解题关键是先通过全等得到对应角的等量关系，再结合平行线的性质计算角度，需要熟练掌握基础定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用平行线的性质，由$BE// DF$得到同位角$∠ ABE=∠ D$；第二步，结合已知的$∠ A=∠ F$、$AB=FD$，用ASA判定定理证明$△ ABC≌△ FDC$，得到对应角$∠ D=∠ ABC$；第三步，根据对顶角相等，得出$∠ ACB=∠ FCD=30°$，再利用三角形内角和为$180°$，在$△ ABC$中算出$∠ ABC$的度数，也就得到了$∠ D$的度数；第四步，再次利用平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出$∠ DBE$的度数。
【解析】
1. 由$BE// DF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ABE=∠ D$；
2. 在$△ ABC$和$△ FDC$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ F \quad (\mathrm{已知})\\AB=FD \quad (\mathrm{已知})\\∠ ABE=∠ D \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ FDC \quad (\mathrm{ASA})$
3. $\because$点A、C、B、D在同一直线上，$∠ FCD$与$∠ ACB$是对顶角，$\therefore ∠ ACB=∠ FCD=30°$；
4. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-30°=70°$；
5. 由$△ ABC≌△ FDC$，得对应角$∠ D=∠ ABC=70°$；
6. 由$BE// DF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ DBE+∠ D=180°$，代入$∠ D=70°$得：
$∠ DBE=180°-70°=110°$。
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将平行线性质、全等三角形判定与性质、三角形内角和三个知识点结合考查，解题关键是先通过全等得到对应角的等量关系，再结合平行线的性质计算角度，需要熟练掌握基础定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
14.如图,已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动),∠O=30°,当∠A=时,△AOP为等腰三角形.
答案
$30°$或$75°$或$120°$
解析
【分析】
本题未明确等腰△AOP的腰与底边，因此需要分三种情况讨论等腰三角形的腰的组合：①OA=OP，②OA=AP，③OP=AP，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，分别计算每种情况对应的∠A的度数，同时验证角度是否符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
已知∠O=30°，△AOP为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 若 $OA=OP$，此时∠A和∠APO为底角，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠A=∠APO，结合三角形内角和为180°：
$∠ A=\frac{180°-∠ O}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
2. 若 $OA=AP$，此时∠O和∠APO为底角，得∠APO=∠O=30°，结合内角和定理：
$∠ A=180°-∠ O-∠ APO=180°-30°-30°=120°$
3. 若 $OP=AP$，此时∠A和∠O为底角，得∠A=∠O=30°。
以上三种情况的角度均符合三角形内角的取值要求，均成立。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题核心是明确未指定腰和底的等腰三角形需分情况讨论，避免漏解，计算后要注意验证角度是否符合三角形的内角要求。
【难度系数】
0.6
本题未明确等腰△AOP的腰与底边，因此需要分三种情况讨论等腰三角形的腰的组合：①OA=OP，②OA=AP，③OP=AP，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，分别计算每种情况对应的∠A的度数，同时验证角度是否符合三角形内角的取值要求即可。
【解析】
已知∠O=30°，△AOP为等腰三角形，分以下三种情况讨论：
1. 若 $OA=OP$，此时∠A和∠APO为底角，根据等腰三角形等边对等角的性质，得∠A=∠APO，结合三角形内角和为180°：
$∠ A=\frac{180°-∠ O}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
2. 若 $OA=AP$，此时∠O和∠APO为底角，得∠APO=∠O=30°，结合内角和定理：
$∠ A=180°-∠ O-∠ APO=180°-30°-30°=120°$
3. 若 $OP=AP$，此时∠A和∠O为底角，得∠A=∠O=30°。
以上三种情况的角度均符合三角形内角的取值要求，均成立。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题核心是明确未指定腰和底的等腰三角形需分情况讨论，避免漏解，计算后要注意验证角度是否符合三角形的内角要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共58分)
15.(10分)(2024·内江)如图11,点A、D、B、E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
15.(10分)(2024·内江)如图11,点A、D、B、E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
答案
(1) 证明：
∵ $AD = BE$，
∴ $AD + DB = BE + DB$，
即 $AB = DE$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF, \\BC = EF, \\AB = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ ABC = ∠ E = 45°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 55° - 45° = 80°$。
又∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ F = ∠ ACB = 80°$。
答：$∠ F$的度数为$80°$。
∵ $AD = BE$，
∴ $AD + DB = BE + DB$，
即 $AB = DE$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF, \\BC = EF, \\AB = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
---
(2) 解：
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ ABC = ∠ E = 45°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 55° - 45° = 80°$。
又∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ F = ∠ ACB = 80°$。
答：$∠ F$的度数为$80°$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DEF，已知两组对应边AC=DF、BC=EF，还缺一组对应边相等的条件。结合已知AD=BE，且点A、D、B、E在同一直线上，可得AD+DB=BE+DB，即可推出AB=DE，满足三边对应相等的条件，用SSS判定即可完成全等证明。
(2) 要求∠F的度数，根据全等三角形对应角相等的性质，可知∠F=∠ACB、∠ABC=∠E，先得到△ABC中两个内角的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠ACB，即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD = BE$，
∴ $AD + DB = BE + DB$，
即 $AB = DE$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF, \\BC = EF, \\AB = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
(2) 解：
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ ABC = ∠ E = 45°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 55° - 45° = 80°$。
又
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ F = ∠ ACB = 80°$。
【答案】
(1) 已证△ABC≌△DEF；
(2) $\boldsymbol{80°}$
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础题型，重点考查全等三角形的判定与性质的综合运用，解题时需先推导得到全等所需的边相等条件，再结合全等性质和内角和定理求解角度，要求学生掌握基础的几何逻辑推导方法，注意步骤书写的严谨性。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△ABC≌△DEF，已知两组对应边AC=DF、BC=EF，还缺一组对应边相等的条件。结合已知AD=BE，且点A、D、B、E在同一直线上，可得AD+DB=BE+DB，即可推出AB=DE，满足三边对应相等的条件，用SSS判定即可完成全等证明。
(2) 要求∠F的度数，根据全等三角形对应角相等的性质，可知∠F=∠ACB、∠ABC=∠E，先得到△ABC中两个内角的度数，再利用三角形内角和为180°计算出∠ACB，即可得到∠F的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD = BE$，
∴ $AD + DB = BE + DB$，
即 $AB = DE$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF, \\BC = EF, \\AB = DE,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（SSS）。
(2) 解：
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ ABC = ∠ E = 45°$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 55° - 45° = 80°$。
又
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $∠ F = ∠ ACB = 80°$。
【答案】
(1) 已证△ABC≌△DEF；
(2) $\boldsymbol{80°}$
【知识点】
全等三角形SSS判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础题型，重点考查全等三角形的判定与性质的综合运用，解题时需先推导得到全等所需的边相等条件，再结合全等性质和内角和定理求解角度，要求学生掌握基础的几何逻辑推导方法，注意步骤书写的严谨性。
【难度系数】
0.8
