16. (12分)如图12,在△ABC、△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C、D、E三点在同一直线上.求证:△BAD≌△CAE.

证明：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{array} $
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。

【分析】
要证明△BAD≌△CAE，首先结合已知条件梳理：题目已给出两组对应边相等（AB=AC，AD=AE），根据全等三角形的判定定理，只需证明两组等边的夹角∠BAD和∠CAE相等即可。已知∠BAC=∠DAE=90°，两个角同时加上公共角∠CAD，根据等式的性质可推导得到∠BAD=∠CAE，满足SAS的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{array} $
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。
【答案】
证明：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD，
即 ∠BAD = ∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{array} $
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS）。
【知识点】
全等三角形SAS判定，角的和差计算，等式的性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题核心是通过角的和差推导得到两组对应边的夹角相等，熟练掌握全等三角形的判定定理就能轻松解答。
【难度系数】
0.85

17. (12分)(2025·常州)如图13,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D、E$在$BC$上,$BD=CE$.
(1)求证:$△ ABD≌△ ACE$;
(2)用直尺和圆规作$∠ DAE$的平分线$AF$(保留作图痕迹,不要求写作法).

(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ B = ∠ C \\BD = CE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACE$（SAS）。
(2) 作图：
用圆规以点$A$为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交$AD$、$AE$于两点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于$∠ DAE$内部一点，作射线$AF$交$DE$于点$F$，射线$AF$即为所求的$∠ DAE$的平分线，保留所有作图圆弧痕迹即可。

【分析】
(1) 要证明△ABD≌△ACE，先梳理已知条件：已知AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形性质可得两底角∠B=∠C；又已知BD=CE，此时两个三角形满足两边及其夹角对应相等，符合全等三角形SAS判定的条件，即可完成证明。
(2) 作∠DAE的平分线是基础尺规作图，直接按照角平分线的标准尺规作图步骤操作即可，注意要保留所有作图痕迹。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠B = ∠C$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ B = ∠ C \\BD = CE\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ ACE$（SAS）。
(2) 作图：
用圆规以点$A$为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交$AD$、$AE$于两点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于$∠ DAE$内部一点，作射线$AF$交$DE$于点$F$，射线$AF$即为所求的$∠ DAE$的平分线，保留所有作图圆弧痕迹即可。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析，△ABD≌△ACE成立；
(2) 按上述尺规作图方法作出射线AF，保留完整作图痕迹即可。
【知识点】
等腰三角形的性质
全等三角形SAS判定
尺规作角平分线
【点评】
本题是基础几何题，侧重考查核心基础知识的应用，难度较低，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形判定规则、基本尺规作图的步骤即可解题；证明全等时要注意对应条件的逻辑顺序符合判定定理要求，作图时不要遗漏圆弧痕迹。
【难度系数】
0.85