6. 如图17,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DE=4$,$BC=9$,则$BD$的长为.

$\boldsymbol{5}$

【分析】
解题时先梳理已知条件：AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，DE⊥AB，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可推出DC=DE；再结合BC的总长度，通过BD=BC-DC即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得：DC=DE，
∵DE=4，
∴DC=4，
又
∵BC=9，
∴BD=BC-DC=9-4=5。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是结合已知条件找到相等的线段DC和DE，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

7. 如图18,在$△ ABC$中,D为BC的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB,交AB于点F,EG⊥AC,交AC的延长线于点G,试问:BF与CG的大小如何?证明你的结论.

解：$BF=CG$，证明如下：
连接$BE$、$CE$。
∵ $D$为$BC$的中点，$DE⊥ BC$，
∴ $DE$是线段$BC$的垂直平分线，
∴ $BE=CE$。
∵ $AE$平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$，
∴ $EF=EG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$和$\mathrm{Rt}△ CEG$中，
$\begin{cases}BE=CE \\EF=EG\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BEF ≌ \mathrm{Rt}△ CEG$（HL），
∴ $BF=CG$。

【分析】
要判断BF与CG的大小关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察图形特征，可连接BE、CE构造包含BF、CG的直角三角形：第一步，由DE垂直且平分BC，根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE；第二步，由AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB、EG⊥AC，根据角平分线的性质可得EF=EG；第三步，两个直角三角形有斜边和一条直角边对应相等，可用HL定理证明全等，进而得到BF与CG的关系。
【解析】
解：$BF=CG$，证明如下：
连接$BE$、$CE$。
∵ $D$为$BC$的中点，$DE⊥ BC$，
∴ $DE$是线段$BC$的垂直平分线，
∴ $BE=CE$。
∵ $AE$平分$∠ BAC$，$EF⊥ AB$，$EG⊥ AC$，
∴ $EF=EG$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$和$\mathrm{Rt}△ CEG$中，
$\begin{cases}BE=CE \\EF=EG\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BEF ≌ \mathrm{Rt}△ CEG$（HL），
∴ $BF=CG$。
【答案】
$BF=CG$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质，以及全等三角形的判定方法，学会从已知条件出发寻找证明全等的条件。
【难度系数】
0.7