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6. 如图12,在△ABC中,∠ABC=70°,AB=AC=8,D为BC的中点,点N在线段AD上,NM//AC交AB于点M,BN=3.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求△BMN的周长.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求△BMN的周长.
答案
解：(1)
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=70°，
∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40°，
∵ D为BC的中点，AB=AC，由等腰三角形三线合一性质得AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
(2)
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BN=CN，
∵ NM//AC，
∴ ∠MNA=∠CAD，
又∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ ∠MNA=∠BAD，
∴ MA=MN，
∴ △BMN的周长=BM+MN+BN=BM+MA+BN=AB+BN，
∵ AB=8，BN=3，
∴ △BMN的周长=8+3=11。
综上，(1) ∠CAD=20°；(2) △BMN的周长为11。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=70°，
∴ ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40°，
∵ D为BC的中点，AB=AC，由等腰三角形三线合一性质得AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
(2)
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BN=CN，
∵ NM//AC，
∴ ∠MNA=∠CAD，
又∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ ∠MNA=∠BAD，
∴ MA=MN，
∴ △BMN的周长=BM+MN+BN=BM+MA+BN=AB+BN，
∵ AB=8，BN=3，
∴ △BMN的周长=8+3=11。
综上，(1) ∠CAD=20°；(2) △BMN的周长为11。
解析
【分析】
(1) 求∠CAD的度数：首先由AB=AC判定△ABC是等腰三角形，根据等边对等角得到∠C=∠ABC=70°，再利用三角形内角和为180°算出顶角∠BAC的度数；最后结合等腰三角形三线合一的性质，D是BC中点因此AD平分∠BAC，即可求出∠CAD的度数。
(2) 求△BMN的周长：△BMN的周长为BM+MN+BN，其中BN长度已知，因此只需转化BM+MN的长度。首先由NM//AC可得∠MNA=∠CAD，结合AD平分∠BAC可知∠CAD=∠BAD，等量代换得∠MNA=∠BAD，因此MN=MA，那么BM+MN=BM+MA=AB，代入已知的AB和BN的长度即可求出周长。
【解析】
(1) 解：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=70°，
由三角形内角和定理可得：∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40°，
∵ AB=AC，D为BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
(2) 解：
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BN=CN，
∵ NM//AC，
∴ ∠MNA=∠CAD，
又
∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ ∠MNA=∠BAD，
∴ MA=MN，
∴ △BMN的周长=BM+MN+BN=BM+MA+BN=AB+BN，
∵ AB=8，BN=3，
∴ △BMN的周长=8+3=11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAD=20°}$；
(2) $\boldsymbol{△BMN}$的周长为$\boldsymbol{11}$。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用考题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，同时通过角的等量关系实现线段的转化，将未知的周长转化为已知线段的和，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠CAD的度数：首先由AB=AC判定△ABC是等腰三角形，根据等边对等角得到∠C=∠ABC=70°，再利用三角形内角和为180°算出顶角∠BAC的度数；最后结合等腰三角形三线合一的性质，D是BC中点因此AD平分∠BAC，即可求出∠CAD的度数。
(2) 求△BMN的周长：△BMN的周长为BM+MN+BN，其中BN长度已知，因此只需转化BM+MN的长度。首先由NM//AC可得∠MNA=∠CAD，结合AD平分∠BAC可知∠CAD=∠BAD，等量代换得∠MNA=∠BAD，因此MN=MA，那么BM+MN=BM+MA=AB，代入已知的AB和BN的长度即可求出周长。
【解析】
(1) 解：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C=70°，
由三角形内角和定理可得：∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-70°-70°=40°，
∵ AB=AC，D为BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
(2) 解：
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴ AD垂直平分BC，
∴ BN=CN，
∵ NM//AC，
∴ ∠MNA=∠CAD，
又
∵ ∠CAD=∠BAD，
∴ ∠MNA=∠BAD，
∴ MA=MN，
∴ △BMN的周长=BM+MN+BN=BM+MA+BN=AB+BN，
∵ AB=8，BN=3，
∴ △BMN的周长=8+3=11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAD=20°}$；
(2) $\boldsymbol{△BMN}$的周长为$\boldsymbol{11}$。
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用考题，解题的核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，同时通过角的等量关系实现线段的转化，将未知的周长转化为已知线段的和，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
1. (2024·凉山)如图13,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$DE$垂直平分$AB$交$BC$于点$D$.若$△ ACD$的周长为$50\ \mathrm{cm}$,则$AC+BC$的值为 ()
A.$25\ \mathrm{cm}$
B.$45\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$55\ \mathrm{cm}$
A.$25\ \mathrm{cm}$
B.$45\ \mathrm{cm}$
C.$50\ \mathrm{cm}$
D.$55\ \mathrm{cm}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得AD=BD。再结合△ACD的周长公式，将AD替换为BD，即可把△ACD的周长转化为AC+BC的和，直接得到所求结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB
∴根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=BD$
∵△ACD的周长为$50\ \mathrm{cm}$，即$AC+CD+AD=50\ \mathrm{cm}$
将$AD$替换为$BD$，代入得：$AC+CD+BD=50\ \mathrm{cm}$
又
∵$CD+BD=BC$
∴$AC+BC=50\ \mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质实现相等线段的替换，将三角形周长和所求线段和建立关联，是基础类考题，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得AD=BD。再结合△ACD的周长公式，将AD替换为BD，即可把△ACD的周长转化为AC+BC的和，直接得到所求结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB
∴根据线段垂直平分线的性质，可得$AD=BD$
∵△ACD的周长为$50\ \mathrm{cm}$，即$AC+CD+AD=50\ \mathrm{cm}$
将$AD$替换为$BD$，代入得：$AC+CD+BD=50\ \mathrm{cm}$
又
∵$CD+BD=BC$
∴$AC+BC=50\ \mathrm{cm}$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算、等量代换
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质实现相等线段的替换，将三角形周长和所求线段和建立关联，是基础类考题，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. (2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是 ()
A.4
B.3
C.2
D.1
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
C
解析
【分析】
首先读题提取关键信息：OC是∠AOB的角平分线，点P在角平分线上，已知P到OB边的垂线段PD长度为2，要求点P到OA边的距离。解题时首先想到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。这里点P到OB的距离就是PD的长度，因此P到OA的距离和PD长度相等，直接得出结果即可。
【解析】
过点P作PE⊥OA，垂足为E，则PE的长度就是点P到OA的距离。
∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA
∴ 根据角平分线的性质可得：PE = PD
又
∵ PD = 2
∴ PE = 2，即点P到OA的距离为2，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是熟记角平分线的性质，明确点到直线的距离指的是垂线段的长度，不需要复杂计算，可直接得出答案。
【难度系数】
0.9
首先读题提取关键信息：OC是∠AOB的角平分线，点P在角平分线上，已知P到OB边的垂线段PD长度为2，要求点P到OA边的距离。解题时首先想到角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。这里点P到OB的距离就是PD的长度，因此P到OA的距离和PD长度相等，直接得出结果即可。
【解析】
过点P作PE⊥OA，垂足为E，则PE的长度就是点P到OA的距离。
∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA
∴ 根据角平分线的性质可得：PE = PD
又
∵ PD = 2
∴ PE = 2，即点P到OA的距离为2，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是熟记角平分线的性质，明确点到直线的距离指的是垂线段的长度，不需要复杂计算，可直接得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 请写出定理“两直线平行,同位角相等”的逆定理：.
答案
解：同位角相等，两直线平行。
解析
【分析】
要写出一个定理的逆定理，首先需要明确原定理的题设（条件）和结论分别是什么，再将题设和结论的位置互换，最后验证互换后得到的命题是否为真命题，若为真命题，就是原定理的逆定理。本题中原定理“两直线平行，同位角相等”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”，将两者互换即可得到对应的逆定理。
【解析】
1. 拆分原定理结构：原定理“两直线平行，同位角相等”中，条件为“两条直线被第三条直线所截，这两条直线平行”，结论为“截得的同位角相等”。
2. 交换条件和结论的位置，得到新命题：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行，简写为“同位角相等，两直线平行”。
3. 验证可知该命题是真命题，因此为原定理的逆定理。
【答案】
同位角相等，两直线平行
【知识点】
逆定理的概念；平行线的性质与判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆定理的推导方法，只要能准确拆分原定理的条件和结论，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要写出一个定理的逆定理，首先需要明确原定理的题设（条件）和结论分别是什么，再将题设和结论的位置互换，最后验证互换后得到的命题是否为真命题，若为真命题，就是原定理的逆定理。本题中原定理“两直线平行，同位角相等”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”，将两者互换即可得到对应的逆定理。
【解析】
1. 拆分原定理结构：原定理“两直线平行，同位角相等”中，条件为“两条直线被第三条直线所截，这两条直线平行”，结论为“截得的同位角相等”。
2. 交换条件和结论的位置，得到新命题：两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行，简写为“同位角相等，两直线平行”。
3. 验证可知该命题是真命题，因此为原定理的逆定理。
【答案】
同位角相等，两直线平行
【知识点】
逆定理的概念；平行线的性质与判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握逆定理的推导方法，只要能准确拆分原定理的条件和结论，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. (2024·镇江)如图15，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD。若AC=8，CD=5，则BD=。
答案
解：
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ AD = BD。
∵ AC = 8，CD = 5，
∴ AD = AC - CD = 8 - 5 = 3，
∴ BD = 3。
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ AD = BD。
∵ AC = 8，CD = 5，
∴ AD = AC - CD = 8 - 5 = 3，
∴ BD = 3。
解析
【分析】
解题时首先抓住题干中的关键条件：点D在AB的垂直平分线上，回忆线段垂直平分线的性质，可推出BD=AD，将求BD的长度转化为求AD的长度。再结合已知的AC、CD的长度，利用线段的和差关系计算AD的长度，即可得到BD的数值。
【解析】
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ AD = BD。
∵ AC = 8，CD = 5，
∴ AD = AC - CD = 8 - 5 = 3，
∴ BD = 3。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质实现未知线段和已知可求线段的等量转化，再通过简单的线段运算即可求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先抓住题干中的关键条件：点D在AB的垂直平分线上，回忆线段垂直平分线的性质，可推出BD=AD，将求BD的长度转化为求AD的长度。再结合已知的AC、CD的长度，利用线段的和差关系计算AD的长度，即可得到BD的数值。
【解析】
∵ 点D在AB的垂直平分线上，
∴ AD = BD。
∵ AC = 8，CD = 5，
∴ AD = AC - CD = 8 - 5 = 3，
∴ BD = 3。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是利用性质实现未知线段和已知可求线段的等量转化，再通过简单的线段运算即可求解。
【难度系数】
0.9
5. (2024·广元)如图16,点F是正五边形ABCDE边DE的中点,连接BF并延长与CD的延长线交于点G,则∠BGC的度数为.
答案
$\boldsymbol{18°}$
解析
【分析】
要计算∠BGC的度数，可先将其置于△BCG中利用三角形内角和求解：①首先根据多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数，即可得到△BCG中∠BCD的度数；②结合正五边形的轴对称性质：过顶点与对边中点的直线是正五边形的对称轴，点B的对边为DE，F是DE中点，因此BF是正五边形的对称轴，可推出BF平分内角∠ABC，得到∠CBF的度数；③最后用三角形内角和减去已知的两个角的度数，就能算出∠BGC。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
因为正五边形每个内角相等，所以$∠ ABC=∠ BCD=540°÷5=108°$。
2. 利用正五边形的对称性求$∠ CBF$：
正五边形是轴对称图形，过顶点和其对边中点的直线是它的对称轴，
点B的对边为DE，F是DE的中点，因此直线BF是正五边形的一条对称轴，
所以BF平分$∠ ABC$，即$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×108°=54°$。
3. 在$△ BCG$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BGC=180°-∠ BCD-∠ CBF=180°-108°-54°=18°$。
【答案】
$\boldsymbol{18°}$
【知识点】
正多边形的性质，三角形内角和定理，多边形内角和公式
【点评】
本题综合考查正多边形的基本性质与三角形内角和的应用，解题的关键是识别出BF是正五边形的对称轴，进而得到角的数量关系，整体解题思路清晰，需要学生熟练掌握正多边形的轴对称性和内角计算方法。
【难度系数】
0.6
要计算∠BGC的度数，可先将其置于△BCG中利用三角形内角和求解：①首先根据多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数，即可得到△BCG中∠BCD的度数；②结合正五边形的轴对称性质：过顶点与对边中点的直线是正五边形的对称轴，点B的对边为DE，F是DE中点，因此BF是正五边形的对称轴，可推出BF平分内角∠ABC，得到∠CBF的度数；③最后用三角形内角和减去已知的两个角的度数，就能算出∠BGC。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，
因为正五边形每个内角相等，所以$∠ ABC=∠ BCD=540°÷5=108°$。
2. 利用正五边形的对称性求$∠ CBF$：
正五边形是轴对称图形，过顶点和其对边中点的直线是它的对称轴，
点B的对边为DE，F是DE的中点，因此直线BF是正五边形的一条对称轴，
所以BF平分$∠ ABC$，即$∠ CBF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×108°=54°$。
3. 在$△ BCG$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ BGC=180°-∠ BCD-∠ CBF=180°-108°-54°=18°$。
【答案】
$\boldsymbol{18°}$
【知识点】
正多边形的性质，三角形内角和定理，多边形内角和公式
【点评】
本题综合考查正多边形的基本性质与三角形内角和的应用，解题的关键是识别出BF是正五边形的对称轴，进而得到角的数量关系，整体解题思路清晰，需要学生熟练掌握正多边形的轴对称性和内角计算方法。
【难度系数】
0.6
