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2. (2024·泰安)如图8,直线$l// m$,等边三角形$ABC$的两个顶点$B$、$C$分别落在直线$l$、$m$上,若$∠ABE=21°$,则$∠ACD$的度数是 ()
A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：1. 等边三角形的三个内角均为60°，可先确定△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数；2. 已知直线l//m，可联想到平行线的同旁内角互补的性质，将已知的∠ABE和要求的∠ACD放到同旁内角的关系中进行转化；最后通过角的和差关系即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABE=21°，
∴∠EBC=∠ABE + ∠ABC = 21° + 60° = 81°，
∵l//m，
∴∠EBC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BCD = 180° - 81° = 99°，
又
∵∠BCD = ∠ACB + ∠ACD，
∴∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 99° - 60° = 39°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查等边三角形和平行线性质的综合应用，解题的关键是明确各角之间的和差关系，结合平行线的性质完成角度的转化计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：1. 等边三角形的三个内角均为60°，可先确定△ABC的两个内角∠ABC、∠ACB的度数；2. 已知直线l//m，可联想到平行线的同旁内角互补的性质，将已知的∠ABE和要求的∠ACD放到同旁内角的关系中进行转化；最后通过角的和差关系即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABE=21°，
∴∠EBC=∠ABE + ∠ABC = 21° + 60° = 81°，
∵l//m，
∴∠EBC + ∠BCD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BCD = 180° - 81° = 99°，
又
∵∠BCD = ∠ACB + ∠ACD，
∴∠ACD = ∠BCD - ∠ACB = 99° - 60° = 39°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查等边三角形和平行线性质的综合应用，解题的关键是明确各角之间的和差关系，结合平行线的性质完成角度的转化计算。
【难度系数】
0.7
3.(2024·济南)如图9,已知$l_1// l_2$,$△ ABC$是等腰直角三角形,$∠ BAC=90°$,顶点A、B分别在$l_1$、$l_2$上,当$∠1=70°$时,$∠2$的度数为.
答案
$\boldsymbol{115°}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用等腰直角三角形的性质，已知∠BAC=90°，可得出底角∠ACB的度数为45°；其次通过作过点C且平行于l₁的辅助线，结合平行线的传递性可知该辅助线也平行于l₂，利用平行线内错角相等的性质，将已知角∠1与三角形的内角建立联系；最后通过角的和差计算以及平行线的性质，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：过点C作CD//l₁。
∵l₁//l₂，
∴CD//l₁//l₂（平行线的传递性），
∴∠1=∠BCD=70°（两直线平行，内错角相等）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=70°-45°=25°。
∵CD//l₁，
∴∠2=180°-(90°-25°+45°)=115°。
【答案】
$\boldsymbol{115°}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线性质和等腰直角三角形性质的结合应用，解题关键是通过作辅助线搭建已知角和待求角的等量关系，是几何板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用等腰直角三角形的性质，已知∠BAC=90°，可得出底角∠ACB的度数为45°；其次通过作过点C且平行于l₁的辅助线，结合平行线的传递性可知该辅助线也平行于l₂，利用平行线内错角相等的性质，将已知角∠1与三角形的内角建立联系；最后通过角的和差计算以及平行线的性质，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：过点C作CD//l₁。
∵l₁//l₂，
∴CD//l₁//l₂（平行线的传递性），
∴∠1=∠BCD=70°（两直线平行，内错角相等）。
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=70°-45°=25°。
∵CD//l₁，
∴∠2=180°-(90°-25°+45°)=115°。
【答案】
$\boldsymbol{115°}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；平行线的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线性质和等腰直角三角形性质的结合应用，解题关键是通过作辅助线搭建已知角和待求角的等量关系，是几何板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图10，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且$BD=CE$. 求证：$AD=BE$. 
图10
图10答案
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC，∠ABD = ∠C = 60°。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠C \\BD = CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ AD = BE。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC，∠ABD = ∠C = 60°。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠C \\BD = CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ AD = BE。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。首先观察图形可得AD属于△ABD，BE属于△BCE，结合△ABC是等边三角形的已知条件，可先推出等边三角形边相等、内角为60°的性质，再结合题目给出的BD=CE的条件，可判断两个三角形满足SAS的全等判定条件，证得全等后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC，∠ABD = ∠C = 60°。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠C \\BD = CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ AD = BE。
【答案】
证明过程如上，可证得$AD=BE$。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是找准待证线段对应的三角形，结合已知条件推导全等所需的要素，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，常用思路是证明两条线段所在的三角形全等。首先观察图形可得AD属于△ABD，BE属于△BCE，结合△ABC是等边三角形的已知条件，可先推出等边三角形边相等、内角为60°的性质，再结合题目给出的BD=CE的条件，可判断两个三角形满足SAS的全等判定条件，证得全等后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = BC，∠ABD = ∠C = 60°。
在△ABD和△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AB = BC \\∠ABD = ∠C \\BD = CE\end{array} $
∴ △ABD ≌ △BCE（SAS），
∴ AD = BE。
【答案】
证明过程如上，可证得$AD=BE$。
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是找准待证线段对应的三角形，结合已知条件推导全等所需的要素，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图11，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问：△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论. 
答案
解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°。
在△ABP和△ACQ中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ABP = ∠ACQ \\BP = CQ\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ACQ（SAS）。
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∴ ∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°。
又∵ AP = AQ，
∴ △APQ是等边三角形。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°。
在△ABP和△ACQ中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ABP = ∠ACQ \\BP = CQ\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ACQ（SAS）。
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∴ ∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°。
又∵ AP = AQ，
∴ △APQ是等边三角形。
解析
【分析】
要判断△APQ的形状，可按如下思路推导：首先，根据等边△ABC的性质可得AB=AC，结合题目给出的∠ABP=∠ACQ、BP=CQ的条件，可通过SAS判定△ABP≌△ACQ；其次，利用全等三角形的性质可得AP=AQ，即△APQ为等腰三角形，同时得到对应角∠BAP=∠CAQ；最后通过角的和差转化得到∠PAQ=∠BAC=60°，结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，即可得出△APQ的形状。
【解析】
解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°。
在△ABP和△ACQ中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ABP = ∠ACQ \\BP = CQ\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ACQ（SAS）。
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∴ ∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°。
又
∵ AP = AQ，
∴ △APQ是等边三角形。
【答案】
△APQ是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°。在△ABP和△ACQ中，$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ABP = ∠ACQ \\BP = CQ\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ACQ（SAS）。
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∴ ∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°。又
∵ AP = AQ，
∴ △APQ是等边三角形。
【知识点】
全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形的综合基础题，解题核心是先利用已知条件证明三角形全等，得到边、角的等量关系，再结合等边三角形的判定定理推导结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断△APQ的形状，可按如下思路推导：首先，根据等边△ABC的性质可得AB=AC，结合题目给出的∠ABP=∠ACQ、BP=CQ的条件，可通过SAS判定△ABP≌△ACQ；其次，利用全等三角形的性质可得AP=AQ，即△APQ为等腰三角形，同时得到对应角∠BAP=∠CAQ；最后通过角的和差转化得到∠PAQ=∠BAC=60°，结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，即可得出△APQ的形状。
【解析】
解：△APQ是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°。
在△ABP和△ACQ中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ABP = ∠ACQ \\BP = CQ\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ACQ（SAS）。
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∴ ∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°。
又
∵ AP = AQ，
∴ △APQ是等边三角形。
【答案】
△APQ是等边三角形，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB = AC，∠BAC = 60°。在△ABP和△ACQ中，$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ABP = ∠ACQ \\BP = CQ\end{array} $
∴ △ABP ≌ △ACQ（SAS）。
∴ AP = AQ，∠BAP = ∠CAQ。
∴ ∠PAQ = ∠PAC + ∠CAQ = ∠PAC + ∠BAP = ∠BAC = 60°。又
∵ AP = AQ，
∴ △APQ是等边三角形。
【知识点】
全等三角形的SAS判定，全等三角形的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形与等边三角形的综合基础题，解题核心是先利用已知条件证明三角形全等，得到边、角的等量关系，再结合等边三角形的判定定理推导结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
