7. 如图6,已知AD与BC相交于点O,∠CAB=∠DBA,AC=BD.
求证:
(1) ∠C=∠D;
(2) △AOC≌△BOD.

证明：
(1) 在$△ ABC$和$△ BAD$中，
$\{\begin{array}{l}AC = BD \\∠ CAB = ∠ DBA \\AB = BA\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ BAD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ C = ∠ D$
(2) 在$△ AOC$和$△ BOD$中，
$\{\begin{array}{l}∠ C = ∠ D \\∠ AOC = ∠ BOD \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\AC = BD\end{array} $
$\therefore △ AOC ≌ △ BOD(\mathrm{AAS})$

【分析】
要证明(1)中∠C=∠D，可通过证明两角所在的三角形全等来推导。观察已知条件：有AC=BD，∠CAB=∠DBA，还有公共边AB=BA，满足SAS全等判定的条件，因此先证△ABC≌△BAD，再利用全等三角形对应角相等的性质即可得到∠C=∠D。要证明(2)中△AOC≌△BOD，借助(1)已经得到的∠C=∠D，结合已知条件AC=BD，再加上对顶角相等的隐含条件∠AOC=∠BOD，满足AAS全等判定的条件，即可完成证明。
【解析】
(1) 在$△ ABC$和$△ BAD$中，
$\{\begin{array}{l}AC = BD \\∠ CAB = ∠ DBA \\AB = BA\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ BAD(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ C = ∠ D$
(2) 在$△ AOC$和$△ BOD$中，
$\{\begin{array}{l}∠ C = ∠ D \\∠ AOC = ∠ BOD \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\AC = BD\end{array} $
$\therefore △ AOC ≌ △ BOD(\mathrm{AAS})$
【答案】
证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题时要善于挖掘公共边、对顶角这类隐含的已知条件，结合给出的边角条件选择合适的全等判定定理即可完成证明。
【难度系数】
0.8

8. 如图7，点B、F、C、E在直线l上(点F、C之间不能直接测量)，点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB//DE，∠A=∠D。
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10，BF=3，求FC的长度。

(1) 证明：
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ ABC = ∠ DEF$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\AB = DE \\∠ ABC = ∠ DEF\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（ASA）。
(2) 解：
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $BC = EF$。
∴ $BC - FC = EF - FC$，即 $BF = CE$。
∵ $BE = 10$，$BF = 3$，
∴ $CE = BF = 3$，
∴ $FC = BE - BF - CE = 10 - 3 - 3 = 4$。
答：$FC$的长度为4。

【分析】
(1) 要证明△ABC≌△DEF，先梳理已知条件：题目已给出AB=DE、∠A=∠D，还缺一组对应角相等的条件。由AB//DE，根据平行线的同位角相等性质可得到∠ABC=∠DEF，刚好满足ASA全等判定的三个条件，即可完成证明。
(2) 要求FC的长度，首先利用全等三角形对应边相等的性质得到BC=EF，再根据等式的性质，等式两边同时减去公共线段FC，可推出BF=CE，最后结合BE、BF的长度，用BE的总长减去BF和CE的长度即可求出FC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB// DE$，
∴ $∠ ABC = ∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\AB = DE \\∠ ABC = ∠ DEF\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（ASA）。
(2) 解：
∵ $△ ABC ≌ △ DEF$，
∴ $BC = EF$（全等三角形对应边相等）。
∴ $BC - FC = EF - FC$，即 $BF = CE$。
∵ $BE = 10$，$BF = 3$，
∴ $CE = BF = 3$，
∴ $FC = BE - BF - CE = 10 - 3 - 3 = 4$。
【答案】
(1) △ABC≌△DEF得证；(2) FC的长度为4
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是先通过平行线性质得到全等判定所需的角相等条件，再利用全等的性质转化线段的数量关系求解，重点考查基础逻辑推理能力和线段计算能力。
【难度系数】
0.7

1.一个等腰三角形的一边长是7 cm,另一边长为5 cm,那么这个等腰三角形的周长是 ()

A.12 cm
B.17 cm
C.19 cm
D.17 cm 或 19 cm

D

【分析】
首先回忆等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，题目给出两条边长分别为7cm和5cm，没有明确哪条是腰哪条是底，因此需要分两种情况讨论。同时要结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），验证两种情况是否都能构成三角形，最后分别计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当腰长为5cm时，三角形三边长分别为5cm，5cm，7cm。
验证三边关系：$5 + 5 ＞ 7$，$5 + 7 ＞ 5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$5 + 5 + 7 = 17\mathrm{cm}$。
② 当腰长为7cm时，三角形三边长分别为7cm，7cm，5cm。
验证三边关系：$7 + 7 ＞ 5$，$7 + 5 ＞ 7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时周长为：$7 + 7 + 5 = 19\mathrm{cm}$。
综上，这个等腰三角形的周长为17cm或19cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形相关计算，解题的关键是运用分类讨论思想，明确腰和底的两种可能情况，同时要注意验证三边是否满足三角形构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8