19. (10分)把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色,且每种颜色都代表不同的数字,各种颜色所代表的数字情况如下表所示:
| 颜色 | 黄 | 白 | 红 | 紫 | 绿 | 蓝 |
| 数字 | 0 | 2 | | 1 | 5 | 4 |
将与上述大小相同、颜色分布完全一样的四个正方体拼成一个如图16所示的长方体,长方体水平放置,则:
(1)在正方体中,与涂蓝色的面相对的面是什么颜色?
(2)该长方体下底面四个正方形所涂颜色代表的数字的和是多少?

解：
(1) 由拼接的长方体可知，红色面相邻的面的颜色为白、紫、黄、蓝，结合正方体六个面为六种不同颜色，可得红色面的对面是绿色。
进一步可得黄色面相邻的面的颜色为白、蓝、红、绿，因此黄色面的对面是紫色。
剩余的两种颜色为白色和蓝色，因此与涂蓝色的面相对的面是白色。
(2) 四个正方体上表面的颜色从左到右依次为红、紫、黄、蓝，对应下底面的颜色分别为绿、黄、紫、白。
对应代表的数字分别为5、0、1、2，数字和为：
5+0+1+2=8
答：(1) 与涂蓝色的面相对的面是白色；(2) 该长方体下底面四个正方形所涂颜色代表的数字的和是8。

20. (9分)将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周,得到的几何体是圆柱。现在有一个长为8 cm、宽为4 cm 的长方形,绕它的一条边所在的直线旋转一周,求得到的圆柱体的体积是多少。

解：分两种情况计算：
1. 当长方形绕长为8 cm的边所在直线旋转一周时，
得到的圆柱底面半径为4 cm，高为8 cm，
体积$V_1 = π × 4^2 × 8 = 128π \ (\mathrm{cm}^3)$。
2. 当长方形绕长为4 cm的边所在直线旋转一周时，
得到的圆柱底面半径为8 cm，高为4 cm，
体积$V_2 = π × 8^2 × 4 = 256π \ (\mathrm{cm}^3)$。
答：得到的圆柱体的体积是$128π \ \mathrm{cm}^3$或$256π \ \mathrm{cm}^3$。

21. (10分)图17①所示的三棱柱,高为6 cm,底面是一个边长为4 cm的等边三角形。
(1)这个三棱柱有条棱,棱长共cm,有个面;
(2)图17②所示方框中的图形是该三棱柱的表面展开图的一部分,请将它补全;
(3)要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图形,至少需要剪开条棱。

解：
(1) 三棱柱上下底面各有3条棱，侧棱共3条，总棱数为9；
棱长总和为 $ 4× 6 + 6× 3 = 42 \, \mathrm{cm} $；
面包含2个底面和3个侧面，总面数为5。
答案依次为：$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{42}$，$\boldsymbol{5}$。
(2) 补全方法（答案不唯一）：在图中左侧长方形的左边，补画一个长6 cm、宽4 cm的长方形，再在三个并排长方形的任意一条长度为4 cm的边上，补画一个边长为4 cm的等边三角形，所得图形即为符合要求的三棱柱表面展开图，折叠后可围成指定的三棱柱。
(3) 三棱柱共有9条棱，展开为连通的平面图形后，未被剪开的相连棱共有4条，因此至少需要剪开的棱数为 $ 9-4=5 $。
答案为：$\boldsymbol{5}$。