7. 已知$0<x<1$,则$x$、$x^2$、$\frac{1}{x}$、$\sqrt{x}$的大小关系为()
A.$x^2 > x > \frac{1}{x} > \sqrt{x}$
B.$\frac{1}{x} > \sqrt{x} > x > x^2$
C.$\frac{1}{x} > x > \sqrt{x} > x^2$
D.$\sqrt{x} > x > x^2 > \frac{1}{x}$
A.$x^2 > x > \frac{1}{x} > \sqrt{x}$
B.$\frac{1}{x} > \sqrt{x} > x > x^2$
C.$\frac{1}{x} > x > \sqrt{x} > x^2$
D.$\sqrt{x} > x > x^2 > \frac{1}{x}$
答案
B
解析
【分析】
本题是给定取值范围比较多个代数式大小的选择题,可采用两种思路解题:一是特殊值法,因为0<x<1的范围固定,选取一个符合条件的具体数值代入四个代数式,计算结果后直接比较大小,简单直观,适合选择题快速作答;二是性质推导法,根据0到1之间正数的运算规律:大于0小于1的数,乘自身后数值变小(即$x^2<x$),开平方后数值比原数大但小于1(即$x<\sqrt{x}<1$),倒数大于1(即$\frac{1}{x}>1$),据此也可快速排序。
【解析】
采用特殊值法求解,选取符合0<x<1的数值,令$x=\frac{1}{4}$:
1. 分别计算各代数式的值:
$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}=0.0625$
$x=\frac{1}{4}=0.25$
$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0.5$
$\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
2. 比较计算结果的大小:$4>0.5>0.25>0.0625$,对应代数式的大小关系为$\frac{1}{x}>\sqrt{x}>x>x^2$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较;特殊值法;乘方与开方性质
【点评】
本题考查0~1区间内正数的运算结果变化规律,选择题使用特殊值法可快速得到答案,避免复杂推导,是非常实用的解题技巧,掌握该方法能有效提升选择题的作答效率。
【难度系数】
0.8
本题是给定取值范围比较多个代数式大小的选择题,可采用两种思路解题:一是特殊值法,因为0<x<1的范围固定,选取一个符合条件的具体数值代入四个代数式,计算结果后直接比较大小,简单直观,适合选择题快速作答;二是性质推导法,根据0到1之间正数的运算规律:大于0小于1的数,乘自身后数值变小(即$x^2<x$),开平方后数值比原数大但小于1(即$x<\sqrt{x}<1$),倒数大于1(即$\frac{1}{x}>1$),据此也可快速排序。
【解析】
采用特殊值法求解,选取符合0<x<1的数值,令$x=\frac{1}{4}$:
1. 分别计算各代数式的值:
$x^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}=0.0625$
$x=\frac{1}{4}=0.25$
$\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0.5$
$\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$
2. 比较计算结果的大小:$4>0.5>0.25>0.0625$,对应代数式的大小关系为$\frac{1}{x}>\sqrt{x}>x>x^2$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较;特殊值法;乘方与开方性质
【点评】
本题考查0~1区间内正数的运算结果变化规律,选择题使用特殊值法可快速得到答案,避免复杂推导,是非常实用的解题技巧,掌握该方法能有效提升选择题的作答效率。
【难度系数】
0.8
8.(2026·福建)实数a、b在数轴上的对应点的位置如图2所示,下列结论正确的是 ()

A.$a+b>0$
B.$a-b<0$
C.$ab>0$
D.$\dfrac{a}{b}<0$
A.$a+b>0$
B.$a-b<0$
C.$ab>0$
D.$\dfrac{a}{b}<0$
答案
D
解析
【分析】
解决这类问题首先要根据数轴上点的位置,确定实数a、b的正负、取值范围以及绝对值的大小关系,再结合有理数加减乘除的符号判断规则,逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得:$ b < -1 < 0 < a < 1 $,且$ |b| > |a| $,对各选项逐一判断:
A. 异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,由于$ |b|>|a| $且b为负数,因此$ a+b < 0 $,该选项错误;
B. $ a-b = a + (-b) $,因为b是负数,所以$ -b $是正数,正数加正数结果为正,即$ a - b > 0 $,该选项错误;
C. 两数相乘,异号得负,a为正数、b为负数,因此$ ab < 0 $,该选项错误;
D. 两数相除,异号得负,a为正数、b为负数,因此$ \frac{a}{b} < 0 $,该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用;有理数运算符号判断
【点评】
本题是基础题型,解题的关键是准确从数轴中提取a、b的取值相关信息,再结合有理数运算法则判断式子的正负,考察基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
解决这类问题首先要根据数轴上点的位置,确定实数a、b的正负、取值范围以及绝对值的大小关系,再结合有理数加减乘除的符号判断规则,逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
由数轴上点的位置可得:$ b < -1 < 0 < a < 1 $,且$ |b| > |a| $,对各选项逐一判断:
A. 异号两数相加,取绝对值较大的数的符号,由于$ |b|>|a| $且b为负数,因此$ a+b < 0 $,该选项错误;
B. $ a-b = a + (-b) $,因为b是负数,所以$ -b $是正数,正数加正数结果为正,即$ a - b > 0 $,该选项错误;
C. 两数相乘,异号得负,a为正数、b为负数,因此$ ab < 0 $,该选项错误;
D. 两数相除,异号得负,a为正数、b为负数,因此$ \frac{a}{b} < 0 $,该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用;有理数运算符号判断
【点评】
本题是基础题型,解题的关键是准确从数轴中提取a、b的取值相关信息,再结合有理数运算法则判断式子的正负,考察基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题3分,共18分)
9. 已知$\sqrt{19}-2$的整数部分是$m$,小数部分是$n$,则$m=$, $n=$.
9. 已知$\sqrt{19}-2$的整数部分是$m$,小数部分是$n$,则$m=$, $n=$.
答案
$m=\boldsymbol{2}$,$n=\boldsymbol{\sqrt{19}-4}$
解析
【分析】
要确定$\sqrt{19}-2$的整数部分和小数部分,首先需要估算出无理数$\sqrt{19}$的取值范围:找到和19相邻的两个完全平方数,根据算术平方根的性质确定$\sqrt{19}$的区间,再推导$\sqrt{19}-2$的取值范围,即可得到整数部分$m$;最后根据“小数部分 = 原数 - 整数部分”的关系计算出$n$。
【解析】
第一步:估算$\sqrt{19}$的范围
因为$4^2=16$,$5^2=25$,且$16<19<25$,根据算术平方根的性质可得:
$\sqrt{16}<\sqrt{19}<\sqrt{25}$,即$4<\sqrt{19}<5$
第二步:推导$\sqrt{19}-2$的范围
给上述不等式三边同时减2,得:
$4-2<\sqrt{19}-2<5-2$,即$2<\sqrt{19}-2<3$
第三步:求整数部分$m$和小数部分$n$
由$2<\sqrt{19}-2<3$可知,$\sqrt{19}-2$的整数部分$m=2$
小数部分$n = (\sqrt{19}-2) - m = \sqrt{19}-2-2 = \sqrt{19}-4$
【答案】
$m=2$,$n=\sqrt{19}-4$
【知识点】
无理数估值;实数整数与小数部分求解
【点评】
本题是无理数估算的基础典型题,解题关键是利用相邻完全平方数锁定无理数的取值范围,需注意任意实数的小数部分是大于等于0且小于1的正数,计算时用原数减去其整数部分即可。
【难度系数】
0.8
要确定$\sqrt{19}-2$的整数部分和小数部分,首先需要估算出无理数$\sqrt{19}$的取值范围:找到和19相邻的两个完全平方数,根据算术平方根的性质确定$\sqrt{19}$的区间,再推导$\sqrt{19}-2$的取值范围,即可得到整数部分$m$;最后根据“小数部分 = 原数 - 整数部分”的关系计算出$n$。
【解析】
第一步:估算$\sqrt{19}$的范围
因为$4^2=16$,$5^2=25$,且$16<19<25$,根据算术平方根的性质可得:
$\sqrt{16}<\sqrt{19}<\sqrt{25}$,即$4<\sqrt{19}<5$
第二步:推导$\sqrt{19}-2$的范围
给上述不等式三边同时减2,得:
$4-2<\sqrt{19}-2<5-2$,即$2<\sqrt{19}-2<3$
第三步:求整数部分$m$和小数部分$n$
由$2<\sqrt{19}-2<3$可知,$\sqrt{19}-2$的整数部分$m=2$
小数部分$n = (\sqrt{19}-2) - m = \sqrt{19}-2-2 = \sqrt{19}-4$
【答案】
$m=2$,$n=\sqrt{19}-4$
【知识点】
无理数估值;实数整数与小数部分求解
【点评】
本题是无理数估算的基础典型题,解题关键是利用相邻完全平方数锁定无理数的取值范围,需注意任意实数的小数部分是大于等于0且小于1的正数,计算时用原数减去其整数部分即可。
【难度系数】
0.8
10. (2025·河南)请写出一个使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义的$x$的值:.
答案
解:要使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义,被开方数需满足
$5 - x ≥ 0$
解得 $x ≤ 5$
可取$x=3$(答案不唯一,任意不大于5的实数均可)
$5 - x ≥ 0$
解得 $x ≤ 5$
可取$x=3$(答案不唯一,任意不大于5的实数均可)
解析
【分析】
要解决这个问题,首先需要明确二次根式在实数范围内有意义的核心要求:被开方数必须是非负数。首先找到$\sqrt{5-x}$的被开方数为$5-x$,据此列出关于$x$的不等式,解出$x$的取值范围后,在范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
要使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义,被开方数需满足:
$5 - x ≥ 0$
移项解得:$x ≤ 5$
因此所有不大于5的实数都符合要求,例如可取$x=3$(答案不唯一)。
【答案】
$3$(答案不唯一,任意不大于5的实数均可)
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考题,核心考查二次根式的基本性质,解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数的要求,列出不等式求解后任选符合范围的数值即可,得分率较高。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题,首先需要明确二次根式在实数范围内有意义的核心要求:被开方数必须是非负数。首先找到$\sqrt{5-x}$的被开方数为$5-x$,据此列出关于$x$的不等式,解出$x$的取值范围后,在范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
要使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义,被开方数需满足:
$5 - x ≥ 0$
移项解得:$x ≤ 5$
因此所有不大于5的实数都符合要求,例如可取$x=3$(答案不唯一)。
【答案】
$3$(答案不唯一,任意不大于5的实数均可)
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考题,核心考查二次根式的基本性质,解题关键是牢记二次根式的被开方数为非负数的要求,列出不等式求解后任选符合范围的数值即可,得分率较高。
【难度系数】
0.9
11. $\sqrt{81}$的算术平方根是.
答案
解:
$\because \sqrt{81}=9$,
又$\because 3^2=9$,算术平方根为非负的平方根,
$\therefore 9$的算术平方根是3,
$\therefore \sqrt{81}$的算术平方根是$\boldsymbol{3}$。
$\because \sqrt{81}=9$,
又$\because 3^2=9$,算术平方根为非负的平方根,
$\therefore 9$的算术平方根是3,
$\therefore \sqrt{81}$的算术平方根是$\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{81}$的算术平方根,而非81的算术平方根,不能直接跳过化简步骤计算。首先需要先计算出$\sqrt{81}$的结果,再根据算术平方根的定义(一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根),求出这个结果的算术平方根即可。
【解析】
首先化简二次根式:
$\because \sqrt{81}=9$,
根据算术平方根的定义,算术平方根为非负的平方根,
又$\because 3^2=9$,
$\therefore 9$的算术平方根是3,
即$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.二次根式化简
【点评】
本题属于易错题,易错点是忽略先化简$\sqrt{81}$,直接求81的算术平方根得到错误结果9。解题时要注意仔细审题,明确运算对象,先化简再结合定义计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确题目所求的是$\sqrt{81}$的算术平方根,而非81的算术平方根,不能直接跳过化简步骤计算。首先需要先计算出$\sqrt{81}$的结果,再根据算术平方根的定义(一个非负数的正的平方根叫做它的算术平方根),求出这个结果的算术平方根即可。
【解析】
首先化简二次根式:
$\because \sqrt{81}=9$,
根据算术平方根的定义,算术平方根为非负的平方根,
又$\because 3^2=9$,
$\therefore 9$的算术平方根是3,
即$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.二次根式化简
【点评】
本题属于易错题,易错点是忽略先化简$\sqrt{81}$,直接求81的算术平方根得到错误结果9。解题时要注意仔细审题,明确运算对象,先化简再结合定义计算。
【难度系数】
0.6
12. 1的立方根是,0的立方根是,-1的立方根是.
答案
解:
∵ $1^3 = 1$,
∴ 1的立方根是1;
∵ $0^3 = 0$,
∴ 0的立方根是0;
∵ $(-1)^3 = -1$,
∴ -1的立方根是-1。
答案依次为:$\boldsymbol{1}$,$\boldsymbol{0}$,$\boldsymbol{-1}$。
∵ $1^3 = 1$,
∴ 1的立方根是1;
∵ $0^3 = 0$,
∴ 0的立方根是0;
∵ $(-1)^3 = -1$,
∴ -1的立方根是-1。
答案依次为:$\boldsymbol{1}$,$\boldsymbol{0}$,$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
本题考查立方根的求解,解题思路如下:首先回忆立方根的定义:如果一个数的三次方等于a,那么这个数就叫做a的立方根。接下来分别针对1、0、-1三个数,寻找满足三次方等于该数的数,即可得到对应的立方根。
【解析】
∵ $1^3 = 1$,
∴ 1的立方根是1;
∵ $0^3 = 0$,
∴ 0的立方根是0;
∵ $(-1)^3 = -1$,
∴ -1的立方根是-1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$,$\boldsymbol{0}$,$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题,主要考查对立方根定义的理解与应用,需熟练掌握特殊数的立方根,同时明确正数的立方根为正数、0的立方根为0、负数的立方根为负数的规律,为后续开立方运算打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查立方根的求解,解题思路如下:首先回忆立方根的定义:如果一个数的三次方等于a,那么这个数就叫做a的立方根。接下来分别针对1、0、-1三个数,寻找满足三次方等于该数的数,即可得到对应的立方根。
【解析】
∵ $1^3 = 1$,
∴ 1的立方根是1;
∵ $0^3 = 0$,
∴ 0的立方根是0;
∵ $(-1)^3 = -1$,
∴ -1的立方根是-1。
【答案】
$\boldsymbol{1}$,$\boldsymbol{0}$,$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题,主要考查对立方根定义的理解与应用,需熟练掌握特殊数的立方根,同时明确正数的立方根为正数、0的立方根为0、负数的立方根为负数的规律,为后续开立方运算打好基础。
【难度系数】
0.9
13. 已知等腰三角形的两边长分别为 $ a $ 和 $ b $,且 $ a、b $ 满足 $ \sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0 $,则此等腰三角形的周长为 。
答案
解:
∵ $\sqrt{2a - 3b + 5} ≥ 0$,$(2a + 3b - 13)^2 ≥ 0$,且$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$,
∴ $\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\ 2a + 3b - 13 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加得:$4a - 8 = 0$,解得$a=2$,
把$a=2$代入$2a - 3b + 5 = 0$,得$4 - 3b + 5 = 0$,解得$b=3$。
分两种情况计算等腰三角形周长:
1. 当腰长为2时,三边长为2、2、3,满足三角形三边关系,周长为$2+2+3=7$;
2. 当腰长为3时,三边长为3、3、2,满足三角形三边关系,周长为$3+3+2=8$。
综上,此等腰三角形的周长为$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{8}$。
∵ $\sqrt{2a - 3b + 5} ≥ 0$,$(2a + 3b - 13)^2 ≥ 0$,且$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$,
∴ $\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\ 2a + 3b - 13 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加得:$4a - 8 = 0$,解得$a=2$,
把$a=2$代入$2a - 3b + 5 = 0$,得$4 - 3b + 5 = 0$,解得$b=3$。
分两种情况计算等腰三角形周长:
1. 当腰长为2时,三边长为2、2、3,满足三角形三边关系,周长为$2+2+3=7$;
2. 当腰长为3时,三边长为3、3、2,满足三角形三边关系,周长为$3+3+2=8$。
综上,此等腰三角形的周长为$\boldsymbol{7}$或$\boldsymbol{8}$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式,等式左边是算术平方根与平方的和,算术平方根和平方数都具有非负性,两个非负数相加等于0,说明这两个非负数各自都为0,据此可以列出关于a、b的二元一次方程组,求解得到a、b的值;接下来因为题目没有明确等腰三角形的腰和底分别是多少,所以需要分两种情况讨论:①a为腰长,b为底边长;②b为腰长,a为底边长,每种情况都要先验证三边长是否满足三角形三边关系(两边之和大于第三边),符合条件的再计算周长即可。
【解析】
∵ $\sqrt{2a - 3b + 5} ≥ 0$,$(2a + 3b - 13)^2 ≥ 0$,且$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$,
∴ $\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\ 2a + 3b - 13 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加得:$4a - 8 = 0$,解得$a=2$,
把$a=2$代入$2a - 3b + 5 = 0$,得$4 - 3b + 5 = 0$,解得$b=3$。
分两种情况计算等腰三角形周长:
1. 当腰长为2时,三边长为2、2、3,$2+2>3$,满足三角形三边关系,周长为$2+2+3=7$;
2. 当腰长为3时,三边长为3、3、2,$2+3>3$,满足三角形三边关系,周长为$3+3+2=8$。
【答案】
7或8
【知识点】
非负数的性质,等腰三角形的性质,三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题,既考查了非负性的应用与二元一次方程组的求解,又要求学生掌握等腰三角形相关的分类讨论思想,解题时需注意一定要验证三边是否满足三角形构成条件,避免出现多解或错解的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知等式,等式左边是算术平方根与平方的和,算术平方根和平方数都具有非负性,两个非负数相加等于0,说明这两个非负数各自都为0,据此可以列出关于a、b的二元一次方程组,求解得到a、b的值;接下来因为题目没有明确等腰三角形的腰和底分别是多少,所以需要分两种情况讨论:①a为腰长,b为底边长;②b为腰长,a为底边长,每种情况都要先验证三边长是否满足三角形三边关系(两边之和大于第三边),符合条件的再计算周长即可。
【解析】
∵ $\sqrt{2a - 3b + 5} ≥ 0$,$(2a + 3b - 13)^2 ≥ 0$,且$\sqrt{2a - 3b + 5} + (2a + 3b - 13)^2 = 0$,
∴ $\begin{cases}2a - 3b + 5 = 0 \\ 2a + 3b - 13 = 0 \end{cases}$
将两个方程相加得:$4a - 8 = 0$,解得$a=2$,
把$a=2$代入$2a - 3b + 5 = 0$,得$4 - 3b + 5 = 0$,解得$b=3$。
分两种情况计算等腰三角形周长:
1. 当腰长为2时,三边长为2、2、3,$2+2>3$,满足三角形三边关系,周长为$2+2+3=7$;
2. 当腰长为3时,三边长为3、3、2,$2+3>3$,满足三角形三边关系,周长为$3+3+2=8$。
【答案】
7或8
【知识点】
非负数的性质,等腰三角形的性质,三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题,既考查了非负性的应用与二元一次方程组的求解,又要求学生掌握等腰三角形相关的分类讨论思想,解题时需注意一定要验证三边是否满足三角形构成条件,避免出现多解或错解的情况。
【难度系数】
0.7
14. 某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为 $125 \ \mathrm{cm}^3$,则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 $\mathrm{cm}^2$。
答案
$\boldsymbol{150}$
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体的体积和表面积计算公式:正方体体积=棱长³,正方体表面积=6×棱长²。已知体积求表面积,需先根据体积公式反推棱长,即对体积值开立方得到棱长,再代入表面积公式计算即可。
【解析】
设该正方体水果礼盒的棱长为$a\ \mathrm{cm}$。
根据正方体体积公式$V=a^3$,已知体积$V=125\ \mathrm{cm}^3$,可得:
$a^3=125$
对等式两边开立方,得$a=\sqrt[3]{125}=5\ \mathrm{cm}$。
再根据正方体表面积公式$S=6a^2$,代入$a=5$计算:
$S=6×5^2=6×25=150\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
正方体体积公式、立方根运算、正方体表面积公式
【点评】
本题属于基础运算类题目,核心考查正方体体积与表面积公式的关联应用,只要熟记公式、掌握立方根的基本运算就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正方体的体积和表面积计算公式:正方体体积=棱长³,正方体表面积=6×棱长²。已知体积求表面积,需先根据体积公式反推棱长,即对体积值开立方得到棱长,再代入表面积公式计算即可。
【解析】
设该正方体水果礼盒的棱长为$a\ \mathrm{cm}$。
根据正方体体积公式$V=a^3$,已知体积$V=125\ \mathrm{cm}^3$,可得:
$a^3=125$
对等式两边开立方,得$a=\sqrt[3]{125}=5\ \mathrm{cm}$。
再根据正方体表面积公式$S=6a^2$,代入$a=5$计算:
$S=6×5^2=6×25=150\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
正方体体积公式、立方根运算、正方体表面积公式
【点评】
本题属于基础运算类题目,核心考查正方体体积与表面积公式的关联应用,只要熟记公式、掌握立方根的基本运算就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
登录