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1. (2025·广州)下列四个选项中,负无理数的是 ()
A.$-\sqrt{2}$
B.$-1$
C.$0$
D.$3$
A.$-\sqrt{2}$
B.$-1$
C.$0$
D.$3$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确负无理数的判定标准：需要同时满足两个条件，一是为负数（小于0），二是为无理数（无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等）。解题时可逐个分析选项，先判断是否为负数，再判断是否为无理数，同时满足两个条件的就是正确答案。
【解析】
首先明确相关概念：有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，负无理数是小于0的无理数。
对各选项逐一分析：
A选项：$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，且$-\sqrt{2}＜0$，因此是负无理数，符合题意；
B选项：$-1$是负整数，属于有理数，不符合题意；
C选项：$0$既不是正数也不是负数，属于有理数，不符合题意；
D选项：$3$是正整数，属于有理数，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；有理数的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对实数分类相关定义的理解与辨别，只要熟练掌握有理数、无理数及正负实数的判定规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确负无理数的判定标准：需要同时满足两个条件，一是为负数（小于0），二是为无理数（无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等）。解题时可逐个分析选项，先判断是否为负数，再判断是否为无理数，同时满足两个条件的就是正确答案。
【解析】
首先明确相关概念：有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，负无理数是小于0的无理数。
对各选项逐一分析：
A选项：$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，且$-\sqrt{2}＜0$，因此是负无理数，符合题意；
B选项：$-1$是负整数，属于有理数，不符合题意；
C选项：$0$既不是正数也不是负数，属于有理数，不符合题意；
D选项：$3$是正整数，属于有理数，不符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义；实数的分类；有理数的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，核心考查对实数分类相关定义的理解与辨别，只要熟练掌握有理数、无理数及正负实数的判定规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法正确的有 ()
①无限小数是无理数；
②无理数是无限小数；
③带根号的数是无理数；
④0有平方根，但0没有算术平方根；
⑤负数没有平方根，但有立方根；
⑥一个正数有两个平方根，它们的和为0.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
①无限小数是无理数；
②无理数是无限小数；
③带根号的数是无理数；
④0有平方根，但0没有算术平方根；
⑤负数没有平方根，但有立方根；
⑥一个正数有两个平方根，它们的和为0.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
【分析】
解题时需结合无理数、平方根、立方根的相关定义与性质，对题中6个说法逐一判断正误，最后统计正确说法的数量，对应选出正确选项。判断时要注意区分易混淆的概念，比如无限小数和无理数的包含关系、带根号的数和无理数的区别等。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，故①错误；
②无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数一定是无限小数，故②正确；
③带根号的数不一定是无理数，如$\sqrt{4}=2$，属于有理数，故③错误；
④0的平方根是0，0的算术平方根也是0，故④错误；
⑤因为平方根的被开方数必须是非负数，所以负数没有平方根；而立方根的被开方数可以是任意实数，负数有负的立方根，故⑤正确；
⑥一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，故⑥正确。
综上，正确的说法是②⑤⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题侧重考查实数相关的基础概念辨析，易错点在于混淆无限小数与无理数的范围、忽略带根号的数若能开得尽方就是有理数，以及对0的算术平方根的记忆，熟练掌握相关定义和性质即可准确判断。
【难度系数】
0.7
解题时需结合无理数、平方根、立方根的相关定义与性质，对题中6个说法逐一判断正误，最后统计正确说法的数量，对应选出正确选项。判断时要注意区分易混淆的概念，比如无限小数和无理数的包含关系、带根号的数和无理数的区别等。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，故①错误；
②无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数一定是无限小数，故②正确；
③带根号的数不一定是无理数，如$\sqrt{4}=2$，属于有理数，故③错误；
④0的平方根是0，0的算术平方根也是0，故④错误；
⑤因为平方根的被开方数必须是非负数，所以负数没有平方根；而立方根的被开方数可以是任意实数，负数有负的立方根，故⑤正确；
⑥一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0，故⑥正确。
综上，正确的说法是②⑤⑥，共3个。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题侧重考查实数相关的基础概念辨析，易错点在于混淆无限小数与无理数的范围、忽略带根号的数若能开得尽方就是有理数，以及对0的算术平方根的记忆，熟练掌握相关定义和性质即可准确判断。
【难度系数】
0.7
3. 已知$|x|=64$,且$x$没有平方根,则$x$的立方根是 ()
A.8
B.-8
C.$\pm4$
D.-4
A.8
B.-8
C.$\pm4$
D.-4
答案
D
解析
【分析】
解题时可分三步思考：第一步，先根据绝对值的定义求出x的所有可能取值；第二步，结合“x没有平方根”的条件，利用平方根的性质（只有非负数才有平方根，负数没有平方根）确定x的具体值；第三步，计算x的立方根，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：①由绝对值的性质，$|x|=64$，可得$x=64$或$x=-64$；
②因为负数没有平方根，已知x没有平方根，说明x是负数，因此排除$x=64$，得$x=-64$；
③计算$-64$的立方根：$\because (-4)^3=-64$，$\therefore \sqrt[3]{-64}=-4$，即x的立方根是-4。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，平方根的性质，立方根的计算
【点评】
本题属于基础概念综合题，解题核心是根据“没有平方根”的条件判断出x的符号，易错点是忽略x的取值限制，直接计算64的立方根导致选错答案。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：第一步，先根据绝对值的定义求出x的所有可能取值；第二步，结合“x没有平方根”的条件，利用平方根的性质（只有非负数才有平方根，负数没有平方根）确定x的具体值；第三步，计算x的立方根，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：①由绝对值的性质，$|x|=64$，可得$x=64$或$x=-64$；
②因为负数没有平方根，已知x没有平方根，说明x是负数，因此排除$x=64$，得$x=-64$；
③计算$-64$的立方根：$\because (-4)^3=-64$，$\therefore \sqrt[3]{-64}=-4$，即x的立方根是-4。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，平方根的性质，立方根的计算
【点评】
本题属于基础概念综合题，解题核心是根据“没有平方根”的条件判断出x的符号，易错点是忽略x的取值限制，直接计算64的立方根导致选错答案。
【难度系数】
0.8
4. $\sqrt{4}$的算术平方根是（）
A.$\pm\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm2$
D.$2$
A.$\pm\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm2$
D.$2$
答案
B
解析
【分析】
解这道题需要分两步思考，首先要明确题目要求的是$\sqrt{4}$的算术平方根，而非4的算术平方根，因此第一步需要先化简$\sqrt{4}$得到具体数值，第二步再结合算术平方根的定义（仅取非负的平方根）求解即可。解题时还要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根的结果只有非负值，避免误选带正负号的选项。
【解析】
步骤1：先化简$\sqrt{4}$，根据二次根式的计算规则，可得$\sqrt{4}=2$；
步骤2：原问题等价于求2的算术平方根，根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则非负数$x$叫做$a$的算术平方根。因为$(\sqrt{2})^2=2$，所以2的算术平方根是$\sqrt{2}$，即$\sqrt{4}$的算术平方根是$\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，易错点是直接将$\sqrt{4}$等同于4，误选D选项，或是混淆算术平方根与平方根的概念误选带正负号的选项，解题时需先化简原式，再严格按照算术平方根的非负性求解。
【难度系数】
0.6
解这道题需要分两步思考，首先要明确题目要求的是$\sqrt{4}$的算术平方根，而非4的算术平方根，因此第一步需要先化简$\sqrt{4}$得到具体数值，第二步再结合算术平方根的定义（仅取非负的平方根）求解即可。解题时还要注意区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根的结果只有非负值，避免误选带正负号的选项。
【解析】
步骤1：先化简$\sqrt{4}$，根据二次根式的计算规则，可得$\sqrt{4}=2$；
步骤2：原问题等价于求2的算术平方根，根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则非负数$x$叫做$a$的算术平方根。因为$(\sqrt{2})^2=2$，所以2的算术平方根是$\sqrt{2}$，即$\sqrt{4}$的算术平方根是$\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题属于易错题，易错点是直接将$\sqrt{4}$等同于4，误选D选项，或是混淆算术平方根与平方根的概念误选带正负号的选项，解题时需先化简原式，再严格按照算术平方根的非负性求解。
【难度系数】
0.6
5. 一个正数的两个不同平方根分别是$a+3$和$4-2a$,则这个正数是 ()
A.7
B.10
C.$-10$
D.100
A.7
B.10
C.$-10$
D.100
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数有两个互为相反数的平方根，因此这两个不同平方根的和为0。我们可以据此先列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根表达式，将结果平方即可得到这个正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数，其和为0
∴ 可列方程：$(a+3)+(4-2a)=0$
去括号合并同类项得：$-a +7=0$
解得：$a=7$
将$a=7$代入$a+3$得，其中一个平方根为$7+3=10$
则这个正数为$10^2=100$
【答案】
D
【知识点】
正数平方根的性质、解一元一次方程、乘方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正数平方根的性质，解题关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”建立方程求解参数，再通过平方运算得到原数，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：一个正数有两个互为相反数的平方根，因此这两个不同平方根的和为0。我们可以据此先列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值后，代入任意一个平方根表达式，将结果平方即可得到这个正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数，其和为0
∴ 可列方程：$(a+3)+(4-2a)=0$
去括号合并同类项得：$-a +7=0$
解得：$a=7$
将$a=7$代入$a+3$得，其中一个平方根为$7+3=10$
则这个正数为$10^2=100$
【答案】
D
【知识点】
正数平方根的性质、解一元一次方程、乘方运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查正数平方根的性质，解题关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”建立方程求解参数，再通过平方运算得到原数，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 要制作一个如图
所示容积为120 cm³的小玻璃杯，设计正方体内壁时，内壁边长大致长度在（）
A.4.4~4.6 cm之间
B.4.6~4.8 cm之间
C.4.8~5.0 cm之间
D.5.0~5.2 cm之间
所示容积为120 cm³的小玻璃杯，设计正方体内壁时，内壁边长大致长度在（）A.4.4~4.6 cm之间
B.4.6~4.8 cm之间
C.4.8~5.0 cm之间
D.5.0~5.2 cm之间
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确正方体容积的计算方法：正方体容积=内壁边长的立方。根据题意可知内壁边长的立方等于120，因此我们需要估算$\sqrt[3]{120}$的取值范围。先计算与120接近的整数的立方确定边长的整数范围，再进一步计算相邻一位小数的立方，逐步缩小边长的范围，即可匹配到正确选项。
【解析】
设正方体内壁边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体容积公式可得：
$a^3=120$，即$a=\sqrt[3]{120}$
第一步确定整数范围：
计算得$4^3=64$，$5^3=125$
因为$64＜120＜125$，所以$4＜a＜5$
第二步细化小数范围：
计算得$4.8^3=4.8×4.8×4.8=110.592$，$4.9^3=4.9×4.9×4.9=117.649$
因为$117.649＜120＜125$，所以$4.9＜a＜5$，该区间属于4.8~5.0 cm的范围。
【答案】
C
【知识点】
正方体容积计算，立方根估算
【点评】
本题结合生活场景考查立方根的估算，解题核心是掌握立方运算的逆运算，用逐步逼近的方法确定无理数的取值范围，难度不大，侧重对基础估算能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确正方体容积的计算方法：正方体容积=内壁边长的立方。根据题意可知内壁边长的立方等于120，因此我们需要估算$\sqrt[3]{120}$的取值范围。先计算与120接近的整数的立方确定边长的整数范围，再进一步计算相邻一位小数的立方，逐步缩小边长的范围，即可匹配到正确选项。
【解析】
设正方体内壁边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体容积公式可得：
$a^3=120$，即$a=\sqrt[3]{120}$
第一步确定整数范围：
计算得$4^3=64$，$5^3=125$
因为$64＜120＜125$，所以$4＜a＜5$
第二步细化小数范围：
计算得$4.8^3=4.8×4.8×4.8=110.592$，$4.9^3=4.9×4.9×4.9=117.649$
因为$117.649＜120＜125$，所以$4.9＜a＜5$，该区间属于4.8~5.0 cm的范围。
【答案】
C
【知识点】
正方体容积计算，立方根估算
【点评】
本题结合生活场景考查立方根的估算，解题核心是掌握立方运算的逆运算，用逐步逼近的方法确定无理数的取值范围，难度不大，侧重对基础估算能力的考查。
【难度系数】
0.7
