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平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的
两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的
平方的差
.用字母表示为$(a + b)(a - b)=$$a^2 - b^2$
.答案
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差，用字母表示为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的基础内容，解题时可以从两个方向思考：一是直接回忆已经识记的平方差公式的定义作答；二是利用多项式乘多项式的运算法则，将$(a+b)(a-b)$展开后合并同类项，根据计算结果对应得出文字表述和字母表达式。
【解析】
我们可以通过多项式乘多项式的运算推导结果：
$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a· a - a· b + b· a - b· b\\&=a^2 - ab + ab - b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
根据推导结果可知，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差，对应的字母表示为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
【答案】
平方的差；$a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对平方差公式的识记和理解程度，熟练掌握平方差公式的文字表述和字母形式，是后续开展整式化简、简便运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的基础内容，解题时可以从两个方向思考：一是直接回忆已经识记的平方差公式的定义作答；二是利用多项式乘多项式的运算法则，将$(a+b)(a-b)$展开后合并同类项，根据计算结果对应得出文字表述和字母表达式。
【解析】
我们可以通过多项式乘多项式的运算推导结果：
$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a· a - a· b + b· a - b· b\\&=a^2 - ab + ab - b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
根据推导结果可知，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差，对应的字母表示为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。
【答案】
平方的差；$a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对平方差公式的识记和理解程度，熟练掌握平方差公式的文字表述和字母形式，是后续开展整式化简、简便运算的重要前提。
【难度系数】
0.9
典例1 利用平方差公式计算：
(1)$(3x+5y)(3x-5y)$；
(2)$(0.5b+a)(-0.5b+a)$；
(3)$(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)·(3x+4y)$。
(1)$(3x+5y)(3x-5y)$；
(2)$(0.5b+a)(-0.5b+a)$；
(3)$(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)·(3x+4y)$。
答案
解 (1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2.$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$= 13x^2 - 25y^2.$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$= 13x^2 - 25y^2.$
解析
【分析】
解题前先明确平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，应用时核心是准确找到两个因式中相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$）。
1. 第(1)题可直接识别出相同项为$3x$，相反项为$5y$和$-5y$，直接代入公式计算即可；
2. 第(2)题先调整两个因式中项的顺序，把相同项$a$放在前面，即可转化为平方差公式的标准形式，再代入计算；
3. 第(3)题先分别对两个乘积部分应用平方差公式计算，再去括号、合并同类项得到最终结果，注意第二个乘积前是减号，去括号时要变号。
【解析】
(1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= (2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$= 13x^2 - 25y^2$
【答案】
(1) $9x^2 - 25y^2$
(2) $a^2 - 0.25b^2$
(3) $13x^2 - 25y^2$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是准确辨识平方差公式的结构特征，找准公式对应的$a$和$b$，计算时要注意幂的运算规则以及去括号的符号问题，熟练掌握后可快速解决同类整式计算问题。
【难度系数】
0.8
解题前先明确平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，应用时核心是准确找到两个因式中相同的项（对应公式里的$a$）和互为相反数的项（对应公式里的$b$）。
1. 第(1)题可直接识别出相同项为$3x$，相反项为$5y$和$-5y$，直接代入公式计算即可；
2. 第(2)题先调整两个因式中项的顺序，把相同项$a$放在前面，即可转化为平方差公式的标准形式，再代入计算；
3. 第(3)题先分别对两个乘积部分应用平方差公式计算，再去括号、合并同类项得到最终结果，注意第二个乘积前是减号，去括号时要变号。
【解析】
(1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= (2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$= 13x^2 - 25y^2$
【答案】
(1) $9x^2 - 25y^2$
(2) $a^2 - 0.25b^2$
(3) $13x^2 - 25y^2$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题关键是准确辨识平方差公式的结构特征，找准公式对应的$a$和$b$，计算时要注意幂的运算规则以及去括号的符号问题，熟练掌握后可快速解决同类整式计算问题。
【难度系数】
0.8
举一反三 利用平方差公式计算：
(1)$(x+6)(6-x)$；
(2)$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$；
(3)$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)·(2a-b)$。
(1)$(x+6)(6-x)$；
(2)$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$；
(3)$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)·(2a-b)$。
答案
解 (1)$(x+6)(6-x)=6^2-x^2=36-x^2.$
(2)$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$
$=(-x)^2-(\dfrac{1}{2})^2$
$=x^2-\dfrac{1}{4}.$
(3)$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)$
$=2(2a^2+ab-4ab-2b^2)-(4a^2-b^2)$
$=4a^2+2ab-8ab-4b^2-4a^2+b^2$
$=-6ab-3b^2.$
(2)$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$
$=(-x)^2-(\dfrac{1}{2})^2$
$=x^2-\dfrac{1}{4}.$
(3)$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)$
$=2(2a^2+ab-4ab-2b^2)-(4a^2-b^2)$
$=4a^2+2ab-8ab-4b^2-4a^2+b^2$
$=-6ab-3b^2.$
解析
【分析】
解题前先明确平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，公式核心是识别两个相乘多项式中，完全相同的项为$a$，符号相反的项为$b$。
(1) 先将$(x+6)(6-x)$变形为$(6+x)(6-x)$，可识别出相同项是$6$，相反项是$x$和$-x$，直接套用平方差公式计算即可；
(2) 观察$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$，相同项是$-x$，相反项是$\dfrac{1}{2}$和$-\dfrac{1}{2}$，直接套用平方差公式计算，注意符号运算规则；
(3) 观察式子，第一项$2(a-2b)(2a+b)$不符合平方差公式结构，先按多项式乘多项式法则展开，第二项$(2a+b)(2a-b)$符合平方差公式结构，先套用公式简化，再将两部分展开后的结果去括号、合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 调整因式顺序后套用平方差公式：
$(x+6)(6-x)=(6+x)(6-x)=6^2-x^2=36-x^2$
(2) 识别对应项后套用平方差公式：
$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})=(-x)^2-(\dfrac{1}{2})^2=x^2-\dfrac{1}{4}$
(3) 分别运算后合并同类项：
$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)$
$=2(2a^2+ab-4ab-2b^2)-(4a^2-b^2)$
$=4a^2+2ab-8ab-4b^2-4a^2+b^2$
$=-6ab-3b^2$
【答案】
(1) $\boxed{36-x^2}$；(2) $\boxed{x^2-\dfrac{1}{4}}$；(3) $\boxed{-6ab-3b^2}$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的识别与应用，解题关键是准确判断多项式相乘是否符合平方差公式的结构特征，不符合公式结构的运算要严格按照整式乘法法则计算，去括号和合并同类项时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题前先明确平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，公式核心是识别两个相乘多项式中，完全相同的项为$a$，符号相反的项为$b$。
(1) 先将$(x+6)(6-x)$变形为$(6+x)(6-x)$，可识别出相同项是$6$，相反项是$x$和$-x$，直接套用平方差公式计算即可；
(2) 观察$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})$，相同项是$-x$，相反项是$\dfrac{1}{2}$和$-\dfrac{1}{2}$，直接套用平方差公式计算，注意符号运算规则；
(3) 观察式子，第一项$2(a-2b)(2a+b)$不符合平方差公式结构，先按多项式乘多项式法则展开，第二项$(2a+b)(2a-b)$符合平方差公式结构，先套用公式简化，再将两部分展开后的结果去括号、合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 调整因式顺序后套用平方差公式：
$(x+6)(6-x)=(6+x)(6-x)=6^2-x^2=36-x^2$
(2) 识别对应项后套用平方差公式：
$(-x+\dfrac{1}{2})(-x-\dfrac{1}{2})=(-x)^2-(\dfrac{1}{2})^2=x^2-\dfrac{1}{4}$
(3) 分别运算后合并同类项：
$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)$
$=2(2a^2+ab-4ab-2b^2)-(4a^2-b^2)$
$=4a^2+2ab-8ab-4b^2-4a^2+b^2$
$=-6ab-3b^2$
【答案】
(1) $\boxed{36-x^2}$；(2) $\boxed{x^2-\dfrac{1}{4}}$；(3) $\boxed{-6ab-3b^2}$
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的识别与应用，解题关键是准确判断多项式相乘是否符合平方差公式的结构特征，不符合公式结构的运算要严格按照整式乘法法则计算，去括号和合并同类项时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.7
