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典例2 计算：
(1)$103×97$；
(2)$59.8×60.2$。
规律方法 平方差公式能简化两数之积的运算，解这类题时，首先看两个数能否转化成$(a+b)(a-b)$的形式，然后看$a^2$与$b^2$是否容易计算。
举一反三 用乘法公式计算：$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$
(1)$103×97$；
(2)$59.8×60.2$。
规律方法 平方差公式能简化两数之积的运算，解这类题时，首先看两个数能否转化成$(a+b)(a-b)$的形式，然后看$a^2$与$b^2$是否容易计算。
举一反三 用乘法公式计算：$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}$
答案
解 (1) $103 × 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991.$
(2) $59.8 × 60.2 = (60 - 0.2)(60 + 0.2) = 60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96.$
举一反三：$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})=1\ 600-\dfrac{4}{9}=1\ 599\dfrac{5}{9}.$
(2) $59.8 × 60.2 = (60 - 0.2)(60 + 0.2) = 60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96.$
举一反三：$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})=1\ 600-\dfrac{4}{9}=1\ 599\dfrac{5}{9}.$
解析
【分析】
这三道题均是利用乘法公式简化有理数乘法运算的题型，解题核心是运用平方差公式。首先观察每组两个乘数的特征：两个乘数的平均值为整数，可将其转化为“同一个数加一个较小的数”和“同一个数减同一个较小的数”的形式，即符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，再分别计算$a^2$和$b^2$作差即可快速得到结果，避免直接计算大数、小数或分数乘法的繁琐。
【解析】
(1) 观察得103和97均接近100，变形后套用平方差公式计算：
$103×97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$
(2) 观察得59.8和60.2均接近60，变形后套用平方差公式计算：
$59.8×60.2 = (60 - 0.2)(60 + 0.2) = 60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96$
举一反三部分：
观察得$40\dfrac{2}{3}$和$39\dfrac{1}{3}$均接近40，变形后套用平方差公式计算：
$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})= 40^2 - (\dfrac{2}{3})^2 = 1600 - \dfrac{4}{9} = 1599\dfrac{5}{9}$
【答案】
(1)$9991$；(2)$3599.96$；举一反三：$1599\dfrac{5}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 有理数简便运算
【点评】
本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，解题关键是准确识别两个乘数的结构特征，将其转化为平方差公式的标准形式，既降低了运算量，也能提升计算准确率，是乘法公式的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
这三道题均是利用乘法公式简化有理数乘法运算的题型，解题核心是运用平方差公式。首先观察每组两个乘数的特征：两个乘数的平均值为整数，可将其转化为“同一个数加一个较小的数”和“同一个数减同一个较小的数”的形式，即符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，再分别计算$a^2$和$b^2$作差即可快速得到结果，避免直接计算大数、小数或分数乘法的繁琐。
【解析】
(1) 观察得103和97均接近100，变形后套用平方差公式计算：
$103×97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$
(2) 观察得59.8和60.2均接近60，变形后套用平方差公式计算：
$59.8×60.2 = (60 - 0.2)(60 + 0.2) = 60^2 - 0.2^2 = 3600 - 0.04 = 3599.96$
举一反三部分：
观察得$40\dfrac{2}{3}$和$39\dfrac{1}{3}$均接近40，变形后套用平方差公式计算：
$40\dfrac{2}{3}×39\dfrac{1}{3}=(40+\dfrac{2}{3})×(40-\dfrac{2}{3})= 40^2 - (\dfrac{2}{3})^2 = 1600 - \dfrac{4}{9} = 1599\dfrac{5}{9}$
【答案】
(1)$9991$；(2)$3599.96$；举一反三：$1599\dfrac{5}{9}$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 有理数简便运算
【点评】
本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，解题关键是准确识别两个乘数的结构特征，将其转化为平方差公式的标准形式，既降低了运算量，也能提升计算准确率，是乘法公式的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
1. 下列计算中可采用平方差公式的是(
A.$(x+y)(x-z)$
B.$(-x+2y)(x+2y)$
C.$(-3x-y)(3x+y)$
D.$(2a+3b)(2b-3a)$
B
).A.$(x+y)(x-z)$
B.$(-x+2y)(x+2y)$
C.$(-3x-y)(3x+y)$
D.$(2a+3b)(2b-3a)$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征即可使用平方差公式。解题时需逐个分析选项中的两个二项式，判断是否存在一组相同项、一组互为相反数的项。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是两个因式中存在一组相同项、一组互为相反数的项。
选项A：$(x+y)(x-z)$中，相同项为$x$，剩余项为$y$和$-z$，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式特征，排除；
选项B：$(-x+2y)(x+2y)$可变形为$(2y-x)(2y+x)$，其中相同项为$2y$，互为相反数的项为$-x$和$x$，符合平方差公式特征；
选项C：$(-3x-y)(3x+y)=-(3x+y)(3x+y)$，两项均互为相反数，无相同项，属于完全平方公式的适用形式，不符合平方差公式特征，排除；
选项D：$(2a+3b)(2b-3a)$中不存在相同项，也不存在成对的互为相反数的项，不符合平方差公式特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式的结构特征
2. 整式乘法公式识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对平方差公式结构的理解，解题关键是准确找出两个因式中的相同项和相反项，熟练掌握公式特征可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征即可使用平方差公式。解题时需逐个分析选项中的两个二项式，判断是否存在一组相同项、一组互为相反数的项。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，核心特征是两个因式中存在一组相同项、一组互为相反数的项。
选项A：$(x+y)(x-z)$中，相同项为$x$，剩余项为$y$和$-z$，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式特征，排除；
选项B：$(-x+2y)(x+2y)$可变形为$(2y-x)(2y+x)$，其中相同项为$2y$，互为相反数的项为$-x$和$x$，符合平方差公式特征；
选项C：$(-3x-y)(3x+y)=-(3x+y)(3x+y)$，两项均互为相反数，无相同项，属于完全平方公式的适用形式，不符合平方差公式特征，排除；
选项D：$(2a+3b)(2b-3a)$中不存在相同项，也不存在成对的互为相反数的项，不符合平方差公式特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式的结构特征
2. 整式乘法公式识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对平方差公式结构的理解，解题关键是准确找出两个因式中的相同项和相反项，熟练掌握公式特征可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 计算结果为$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$的是(
A.$(\frac{2}{5}a +9b)(\frac{2}{5}a -9b)$
B.$(\frac{4}{5}a +3b)(\frac{4}{5}a -3b)$
C.$(\frac{2}{25}a +3b)(\frac{2}{25}a -3b)$
D.$(\frac{2}{5}a +3b)(\frac{2}{5}a -3b)$
D
).A.$(\frac{2}{5}a +9b)(\frac{2}{5}a -9b)$
B.$(\frac{4}{5}a +3b)(\frac{4}{5}a -3b)$
C.$(\frac{2}{25}a +3b)(\frac{2}{25}a -3b)$
D.$(\frac{2}{5}a +3b)(\frac{2}{5}a -3b)$
答案
2.D
解析
【分析】
观察待匹配的算式$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$，其结构为两个单项式的平方差，符合平方差公式的右侧特征。我们可以逆用平方差公式求解：首先确定两个平方项对应的底数，再按照平方差公式的逆运算形式写出对应的乘法表达式，最后和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
平方差公式为：$\boxed{(x+y)(x-y)=x^2 - y^2}$，逆用公式可得$\boxed{x^2 - y^2=(x+y)(x-y)}$。
第一步：将原式改写为平方差的标准形式：
$\frac{4}{25}a^2 -9b^2 = (\frac{2}{5}a)^2 - (3b)^2$
第二步：逆用平方差公式，令$x=\frac{2}{5}a$，$y=3b$，代入得：
$(\frac{2}{5}a)^2 - (3b)^2 = (\frac{2}{5}a + 3b)(\frac{2}{5}a - 3b)$
第三步：对比选项，只有D选项和推导结果一致。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；公式逆用；整式运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，核心是要熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别两个平方项对应的底数，只要掌握公式的正用和逆用方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
观察待匹配的算式$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$，其结构为两个单项式的平方差，符合平方差公式的右侧特征。我们可以逆用平方差公式求解：首先确定两个平方项对应的底数，再按照平方差公式的逆运算形式写出对应的乘法表达式，最后和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
平方差公式为：$\boxed{(x+y)(x-y)=x^2 - y^2}$，逆用公式可得$\boxed{x^2 - y^2=(x+y)(x-y)}$。
第一步：将原式改写为平方差的标准形式：
$\frac{4}{25}a^2 -9b^2 = (\frac{2}{5}a)^2 - (3b)^2$
第二步：逆用平方差公式，令$x=\frac{2}{5}a$，$y=3b$，代入得：
$(\frac{2}{5}a)^2 - (3b)^2 = (\frac{2}{5}a + 3b)(\frac{2}{5}a - 3b)$
第三步：对比选项，只有D选项和推导结果一致。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；公式逆用；整式运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的应用，核心是要熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别两个平方项对应的底数，只要掌握公式的正用和逆用方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
