3.计算:2 017×1 983=.

3. 2017×1983=3999711

【分析】首先观察两个因数的特征，2017和1983都与整数2000相差17，可分别转化为2000+17和2000-17的形式，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，套用公式计算即可避免复杂的多位数乘法运算，简化计算过程。
【解析】
解：$2017×1983$
$=(2000+17)×(2000-17)$
$=2000^2 - 17^2$
$=4000000 - 289$
$=3999711$
【答案】3999711
【知识点】平方差公式、有理数简便运算
【点评】本题是平方差公式在有理数运算中的典型应用，解题核心是发现两个因数与同一个整数的和差关系，通过构造平方差公式的形式简化计算，有效降低计算出错的概率。
【难度系数】0.8

4. 计算:
(1)$(-2x^2+\dfrac{1}{2})(-2x^2-\dfrac{1}{2})$;
(2)$(\dfrac{1}{2}x^2y^2+3m)(-3m+\dfrac{1}{2}x^2y^2)$;
(3)$9.6×10.4$.

解 (1)$(-2x^2+\dfrac{1}{2})(-2x^2-\dfrac{1}{2})$
$=(-2x^2)^2-(\dfrac{1}{2})^2$
$=4x^4-\dfrac{1}{4}.$
(2)$(\dfrac{1}{2}x^2y^2+3m)(-3m+\dfrac{1}{2}x^2y^2)$
$=(\dfrac{1}{2}x^2y^2)^2-(3m)^2$
$=\dfrac{1}{4}x^4y^4-9m^2.$
(3)$9.6×10.4=(10-0.4)(10+0.4)=100-0.16=99.84.$

【分析】
这三道题均可利用平方差公式简化计算，解题时先观察式子结构：平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，核心是找到两个因式中完全相同的项作为$a$，符号相反的项作为$b$，再代入公式展开、化简即可。第(1)题中相同项为$-2x^2$，相反项为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$；第(2)题先调整因式顺序，可得相同项为$\frac{1}{2}x^2y^2$，相反项为$3m$和$-3m$；第(3)题将两个小数转化为10与0.4的差、和的形式，即可套用平方差公式简便计算。
【解析】
(1) $(-2x^2+\dfrac{1}{2})(-2x^2-\dfrac{1}{2})$
$=(-2x^2)^2-(\dfrac{1}{2})^2$
$=4x^4-\dfrac{1}{4}$
(2) $(\dfrac{1}{2}x^2y^2+3m)(-3m+\dfrac{1}{2}x^2y^2)$
$=(\dfrac{1}{2}x^2y^2)^2-(3m)^2$
$=\dfrac{1}{4}x^4y^4-9m^2$
(3) $9.6×10.4$
$=(10-0.4)(10+0.4)$
$=10^2-0.4^2$
$=100-0.16$
$=99.84$
【答案】
(1) $4x^4-\dfrac{1}{4}$；(2) $\dfrac{1}{4}x^4y^4-9m^2$；(3) $99.84$
【知识点】
平方差公式；整式乘法；简便运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的关键是准确识别公式中的“相同项”和“相反项”，熟练掌握公式结构可大幅简化运算过程，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8

5. 如图,圆环形绿地的面积为 m²（结果保留π）.

5.$400π$ 解析 圆环形绿地的面积为$π×25^2-π×15^2=π(25+15)(25-15)=400π(\mathrm{m}^2).$

【分析】
要计算圆环形绿地的面积，首先明确圆环面积的计算逻辑：圆环面积等于外圆面积减去内圆面积，圆的面积公式为$S=π r^2$。已知外圆半径为25m、内圆半径为15m，代入公式后会出现平方差的形式，可利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$简化运算，避免分别计算平方再相减的繁琐步骤。
【解析】
圆环面积公式为$S_{\mathrm{圆环}}=S_{\mathrm{外圆}}-S_{\mathrm{内圆}}=π R^2-π r^2$，其中$R$为外圆半径，$r$为内圆半径。
将$R=25\mathrm{m}$、$r=15\mathrm{m}$代入公式：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{圆环}}&=π×25^2-π×15^2\\&=π×(25^2-15^2)\\&=π×(25+15)×(25-15)\\&=π×40×10\\&=400π(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
$400π$
【知识点】
圆环面积计算；平方差公式的应用
【点评】
本题是几何面积计算和代数运算公式结合的基础题型，通过平方差公式简化运算的思路，能帮助学生提升数形结合解决问题的能力，计算时注意半径的对应关系即可。
【难度系数】
0.8

6. 计算:
(1) $2026^2 - 2025 × 2027$;
(2) $(\frac{1}{3}x + y)(\frac{1}{3}x - y)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$;
(3) $(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$.

解 (1)$2\ 026^2-2\ 025×2\ 027$
$=2\ 026^2-(2\ 026-1)×(2\ 026+1)$
$=2\ 026^2-(2\ 026^2-1)$
$=2\ 026^2-2\ 026^2+1$
$=1.$
(2)$(\dfrac{1}{3}x+y)(\dfrac{1}{3}x-y)(\dfrac{1}{9}x^2+y^2)$
$=(\dfrac{1}{9}x^2-y^2)(\dfrac{1}{9}x^2+y^2)$
$=\dfrac{1}{81}x^4-y^4.$
(3)$(-3x-2y)(2y-3x)-(5y-3x)(3x+5y)$
$=9x^2-4y^2-25y^2+9x^2$
$=18x^2-29y^2.$

【分析】
这三道题均可以通过构造平方差公式的形式简化计算，无需进行繁琐的整式展开运算。（1）观察到2025=2026-1，2027=2026+1，可将后两项乘积改写为平方差公式的形式，抵消$2026^2$快速得解；（2）前两个因式符合“两数和乘两数差”的平方差结构，先计算前两个的乘积，得到的结果与第三个因式再次构成平方差结构，两次套用公式即可；（3）先调整每个因式中项的顺序，将两个乘积分别凑成平方差公式的结构，展开后再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) $2026^2 - 2025 × 2027$
$=2026^2-(2026-1)×(2026+1)$
$=2026^2-(2026^2-1^2)$
$=2026^2-2026^2+1$
$=1$
(2) $(\frac{1}{3}x + y)(\frac{1}{3}x - y)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$
$=[(\frac{1}{3}x)^2 - y^2](\frac{1}{9}x^2 + y^2)$
$=(\frac{1}{9}x^2 - y^2)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$
$=(\frac{1}{9}x^2)^2 - (y^2)^2$
$=\frac{1}{81}x^4 - y^4$
(3) $(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$
$=(-3x - 2y)(-3x + 2y) - (5y - 3x)(5y + 3x)$
$=[(-3x)^2 - (2y)^2] - [(5y)^2 - (3x)^2]$
$=9x^2 - 4y^2 - (25y^2 - 9x^2)$
$=9x^2 - 4y^2 -25y^2 +9x^2$
$=18x^2 -29y^2$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\dfrac{1}{81}x^4 - y^4}$；(3) $\boxed{18x^2 - 29y^2}$
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是准确识别或构造出“两数和与两数差相乘”的公式结构，能有效降低计算量，避免运算错误，需要注意符号处理和公式套用的准确性。
【难度系数】
0.75

7.(1)计算下列算式：
$\begin{cases} 8×8=\_\_\_\_\_\_, \\7×9=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=\_\_\_\_\_\_, \\4×6=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$
$\begin{cases}12×12=\_\_\_\_\_\_, \\11×13=\_\_\_\_\_\_. \end{cases}$
(2)从以上过程中,你发现了什么规律?
请用字母表示出来.
(3)请用你学过的数学知识说明你发现的规律的正确性.

解 (1)计算可得
$\begin{cases} 8×8=64, \\7×9=63, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24, \end{cases}$
$\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143. \end{cases}$
(2)$(n-1)(n+1)=n^2-1.$
(3)由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，
当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立。

【分析】
(1) 第(1)小问为基础整数乘法运算，直接按照乘法法则计算每组算式的结果即可；
(2) 第(2)小问观察每组算式的结构：每组第一个算式是两个相同的整数n相乘，第二个算式是比n小1的数与比n大1的数相乘，对比两组结果可发现(n-1)与(n+1)的乘积比n²小1，即可抽象出对应的字母表达式；
(3) 第(3)小问利用平方差公式，将左边的代数式展开，验证展开结果与右边表达式相等，即可证明规律的正确性。
【解析】
(1) 分别计算每组乘法：
第一组：$8×8=64$，$7×9=63$；
第二组：$5×5=25$，$4×6=24$；
第三组：$12×12=144$，$11×13=143$；
(2) 观察每组算式和对应结果：每组中第二个算式的乘积比第一个算式的乘积小1，第一个算式为$n×n=n^2$，第二个算式为$(n-1)(n+1)$，因此规律用字母表示为：$(n-1)(n+1)=n^2-1$；
(3) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=n$，$b=1$，代入可得：
$(n-1)(n+1)=n^2 - 1^2 = n^2 -1$，故所发现的规律成立。
【答案】
(1) $\begin{cases} 8×8=64, \\7×9=63, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24, \end{cases}$ $\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143. \end{cases}$
(2) $(n-1)(n+1)=n^2-1$
(3) 由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立。
【知识点】
整数乘法运算，规律探究，平方差公式
【点评】
本题从基础计算出发，引导学生经历“计算-观察-归纳-验证”的探究过程，既考查了基础运算能力，也锻炼了归纳推理能力和公式应用能力，有助于加深对代数公式的理解。
【难度系数】
0.9