1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B = 70°$，则$∠ A$的度数为（）.

A.$80°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$

1. A

【分析】
要求∠A的度数，首先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，也就是两个锐角的和为90°。题目已经给出∠A与∠B的差为70°，由此可以得到两个关于∠A、∠B的等量关系，联立两个式子即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据直角三角形两锐角互余的性质，可得$∠ A + ∠ B = 90°$ ①，
又已知$∠ A - ∠ B = 70°$ ②，
将①+②可得：$2∠ A = 160°$，
解得$∠ A = 80°$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角度和差运算
【点评】
本题属于基础题，是对直角三角形基础性质的直接考查，只要掌握直角三角形内角的特点，结合已知的角度差条件，通过简单的计算即可得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是().


A.35°
B.55°
C.60°
D.70°

2. D

【分析】
解题时首先从已知条件CD⊥BD入手，可得△BDC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠C=55°，可先计算出∠DBC的度数。再根据BD平分∠ABC的条件，可知∠ABC是∠DBC的2倍，代入计算即可得到∠ABC的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠C=55°，
∴∠DBC = 90° - ∠C = 90° - 55° = 35°，
又
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC = 2∠DBC = 2×35° = 70°。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和角平分线的定义，先求出中间角∠DBC的度数，再推导所求角的度数即可。
【难度系数】
0.8

3. 下列选项中,不能构成直角三角形的是().

A.$∠A=∠B=3∠C$
B.$∠A+∠B=∠C$
C.$∠A=∠B=\frac{1}{2}∠C$
D.$∠A:∠B:∠C=1:2:3$

3. A

【分析】
要判断各选项能否构成直角三角形，核心依据是：①三角形内角和为180°；②直角三角形有一个内角为90°。解题时只需将每个选项的角度关系代入内角和公式，计算最大角的度数，看是否等于90°即可，若最大角不是90°则不能构成直角三角形。
【解析】
根据三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐一分析选项：
选项A：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，代入内角和公式得：
$3∠ C+3∠ C+∠ C=180°$，即$7∠ C=180°$，解得$∠ C=\frac{180°}{7}\approx25.7°$，最大角$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}\approx77.1°＜90°$，不能构成直角三角形。
选项B：已知$∠ A+∠ B=∠ C$，代入内角和公式得：
$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，能构成直角三角形。
选项C：已知$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$，代入内角和公式得：
$\frac{1}{2}∠ C+\frac{1}{2}∠ C+∠ C=180°$，即$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，能构成直角三角形。
选项D：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：
$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，最大角$∠ C=3×30°=90°$，能构成直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，考查利用角度关系判定直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形内角和为180°的性质，结合各选项给出的角度关系计算最大角的度数即可判断。
【难度系数】
0.8

4.如图，$CE ⊥ AF$，垂足为$E$，$CE$与$BF$相交于点$D$，$∠ F = 40°$，$∠ C = 30°$，求$∠ EDF$和$∠ DBC$的度数.

解 $\because CE⊥ AF$，
$\therefore ∠ DEF=90°$，
$\therefore ∠ EDF=90°-∠ F=90°-40°=50°$.
$\because ∠ C+∠ DBC=∠ F+∠ DEF$，
$\therefore 30°+∠ DBC=40°+90°$，
$\therefore ∠ DBC=100°$.

【分析】
解题时先求∠EDF的度数：已知CE垂直于AF，可得△DEF是直角三角形，∠DEF为90°，根据直角三角形两个锐角互余的性质，结合已知∠F=40°，可直接计算出∠EDF。再求∠DBC的度数：利用对顶角相等可得∠BDC=∠EDF，再在△BDC中根据三角形内角和为180°，代入已知的∠C=30°，即可求出∠DBC。
【解析】
$\because CE⊥ AF$，
$\therefore ∠ DEF=90°$，
$\therefore ∠ EDF=90°-∠ F=90°-40°=50°$.
$\because ∠ EDF$与$∠ BDC$是对顶角，
$\therefore ∠ BDC=∠ EDF=50°$，
在$△ BDC$中，$∠ C+∠ BDC+∠ DBC=180°$，
$\therefore 30°+50°+∠ DBC=180°$，
$\therefore ∠ DBC=180°-30°-50°=100°$.
【答案】
$∠ EDF=50°$，$∠ DBC=100°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，对顶角相等
【点评】
本题属于几何基础计算题，重点考查直角三角形性质和三角形角相关定理的应用，解题时只要找准所求角所在的三角形，理清角之间的等量关系，代入数值即可求解，是对基础概念应用的常规考查。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = ∠ C$，$FD ⊥ BC$，$DE ⊥ AB$，$∠ AFD = 152°$，求$∠ EDF$的度数.

解 $\because ∠ AFD=152°$，
$\therefore ∠ DFC=28°$.
$\because ∠ B=∠ C,FD⊥ BC,DE⊥ AB$，
$\therefore ∠ EDB=∠ DFC=28°$，
$\therefore ∠ EDF = 180° - ∠ EDB - ∠ FDC=180°-28°-90°=62°$.

【分析】
我们可以从所求的∠EDF倒推解题思路：∠EDF与∠EDB、∠FDC在直线BC上构成平角，已知FD⊥BC可得∠FDC=90°，因此只需要求出∠EDB的度数即可。已知DE⊥AB，因此Rt△BED中∠EDB与∠B互余；又已知∠B=∠C，且FD⊥BC，因此Rt△DFC中∠C与∠DFC互余，根据等角的余角相等，可得∠EDB=∠DFC。而∠DFC与已知的∠AFD是邻补角，因此可先求出∠DFC，再依次推导得到∠EDF的度数。
【解析】
$\because ∠AFD=152°$，∠AFD与∠DFC为邻补角，
$\therefore ∠DFC=180°-152°=28°$.
$\because FD⊥BC,DE⊥AB$，
$\therefore ∠DEB=∠FDC=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△BED$中，$∠B+∠EDB=90°$，在$Rt△DFC$中，$∠C+∠DFC=90°$，
又$\because ∠B=∠C$，
$\therefore ∠EDB=∠DFC=28°$（等角的余角相等），
$\therefore ∠EDF = 180° - ∠EDB - ∠FDC=180°-28°-90°=62°$.
【答案】
$62°$
【知识点】
邻补角的性质；直角三角形两锐角互余；等角的余角相等
【点评】
本题属于角度计算的基础题，解题核心是梳理清楚角与角之间的关系，灵活运用垂直、互余、平角的性质进行等量代换，注意挖掘题目中隐含的直角、平角的固定度数条件。
【难度系数】
0.8

6.如图，在$△ ABC$中，$CD⊥ BA$，交$BA$的延长线于点$D$，$DE⊥ AC$于点$E$.

(1)如图①，若$∠ B＝35°$，$∠ CDE＝60°$，求$∠ ACB$的度数.
(2)如图②，若$AC$平分$∠ BCD$，$BF⊥ AC$交$CA$的延长线于点$F$，直接写出与$∠ ACB$相等的角($∠ ACB$除外).

解 (1)如题图①，
$\because CD⊥ BD,\therefore ∠ BDC=90°$.
$\because ∠ B=35°$，
$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=55°$.
$\because DE⊥ AC$于点$E$，
$\therefore ∠ DEC=90°$.
$\because ∠ EDC=60°$，
$\therefore ∠ DCE=90°-∠ EDC=30°$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ BCD - ∠ DCE = 55°-30°=25°$.
(2)$∠ DCA,∠ ADE,∠ FBA$.

【分析】
(1) 解题思路：先根据CD⊥BA得到直角三角形BCD，利用直角三角形两锐角互余，结合∠B的度数求出∠BCD的度数；再根据DE⊥AC得到直角三角形CDE，同样利用直角三角形两锐角互余，结合∠CDE的度数求出∠DCE的度数；最后用∠BCD减去∠DCE即可得到∠ACB的度数。
(2) 解题思路：首先根据角平分线的定义，AC平分∠BCD可直接得到∠DCA=∠ACB；再利用同角的余角相等，在Rt△ADE和Rt△CDE中，∠ADE和∠DCA都与∠DAE互余，故∠ADE=∠DCA=∠ACB；最后结合BF⊥AC、CD⊥BA的条件，∠FBA和∠ACB都与∠FAB（和∠DAC是对顶角，二者相等）互余，可得∠FBA=∠ACB，即可找出所有符合要求的角。
【解析】
(1) 如题图①，
$\because CD⊥BD,\therefore ∠BDC=90°$，
$\because ∠B=35°$，
$\therefore ∠BCD=90°-∠B=90°-35°=55°$，
$\because DE⊥AC$于点$E$，$\therefore ∠DEC=90°$，
$\because ∠CDE=60°$，
$\therefore ∠DCE=90°-∠CDE=90°-60°=30°$，
$\therefore ∠ACB = ∠BCD - ∠DCE = 55°-30°=25°$。
(2) $\because AC$平分$∠BCD$，$\therefore ∠ACB=∠DCA$；
$\because CD⊥BA,DE⊥AC$，$\therefore ∠ADE+∠DAE=90°,∠DCA+∠DAE=90°$，$\therefore ∠ADE=∠DCA=∠ACB$；
$\because BF⊥AC,CD⊥BA$，$\therefore ∠FBA+∠BAF=90°,∠ACB+∠DAC=90°$，又$\because ∠BAF=∠DAC$（对顶角相等），$\therefore ∠FBA=∠ACB$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$
(2) $\boldsymbol{∠DCA,∠ADE,∠FBA}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础题，主要考查直角三角形性质、角平分线定义和余角性质的应用，解题核心是熟练利用直角三角形锐角互余的关系推导角的等量关系，第二问需要结合对顶角相等的性质多角度推导相等的角，是角的计算类的常考题型。
【难度系数】
0.7